新人教版八年级数学下导学案(全册)

八年级数学下导学案

第十六章二次根式

一、教材分析

1、内容安排

本章安排了3个小节和1个选学内容，教学时间约需9课时，大体分配如下（供参考）:

16.1二次根式约2课时

16.2二次根式的乘除约2课时

16.3二次根式的加减约3课时

阅读与思考海伦一秦九韶公式（选学）

数学活动约1课时

小结约1课时

2、本章知识结构图

次

二二次根式的乘除

式

二次根式的性质根

化

二次根式的

\[a^=a(a>0)

与

。是非负数）简

(Va)2=a(a>0)运

算二次根式的加减

在“实数”一章中，学生已学习了平方根、算术平方根的概念，利用平方运算与开平方

运算的互逆关系，求非负数的平方根和算术平方根的方法。

本章将进一步研究二次根式的概念、性质和运算，目的是以二次根式这个类典型的“式”为

载体，进一步学习对数字、符号实行运算的方法，体会通过符号运算所得结果的一般性，培

养符号意识和运算水平。

本章重点：二次根式的运算和运算法则；

本章难点：理解二次根式的性质和运算法则的基础上，养成良好的运算习惯。

3、本章的主要内容包括：

16.1二次根式的概念和性质；

16.2二次根式的乘除（最简二次根式的概念）；

16.3二次根式的加减。

二次根式的运算中，乘除运算比加减运算更容易，并且是加减运算的基础，所以先安排

二次根式的乘除。

二次根式的运算类似于整式的运算。

4,本章主要变化

降低了对一些内容的要求，如只要求了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会用它们

实行相关的简单四则运算(根号下仅限于数)等，注明“二次根式”一章中根号下含有字母

的二次根式的化简与运算是选学内容。

二、本章学习目标

(1)了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由。

(2)了解最简二次根式的概念。

(3)理解二次根式的性质。

(4)了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会用它们实行简单四则运算。

(5)了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用。

三、教学法指导

本章内容，核心是以“二次根式”这个特殊的“式”为载体，进一步引导学生体会运算

在代数中的核心地位，学习用运算法则实行运算，体会运算法则的逻辑相容性，体会数系运

算律在代数中的基础地位。

(1)一以贯之地实行代数基本思想和方法的教学

内容安排线索：

二次根式的概念(定义研究对象)一一“二次根式的性质”一一二次根式的运算(运算

法则和运算律的应用)。

其中，概念、性质是运算的基础，在运算中自然地提出如何算的问题，并使用运算律而

得到相对应的运算法则，从而实现有效地、有系统地实行二次根式的运算。

“归纳法是整个代数学的基本大法和基本功”，“归纳地去探索、发现，然后归纳地定义，

再归纳地论证”是解决代数问题的基本过程。

教材特别注意归纳法的应用。例如，通过具体实例，从正数的平方根、算术平方根中归纳出

研究对象二次根式；通过具体实例归纳二次根式的性质；通过具体实例说明&(a^O)是

一个实数，进而明确”这个类实数满足怎样的运算法则”的问题；所有运算法则都是采用从

特殊到一般的归纳方式得出的；等等。

(2)以运算为核心，增强运算水平的培养

代数的基本思路：引入一种新的数，就要研究它的运算；定义一种运算，就要研究它的

运算律。

二次根式是运算的结果一对非负实数实行开平方运算，一般化而得到二次根式，接着

的研究主题就是“对这个类数如何实行运算”。

从整体上看，初中阶段学习二次根式的概念、性质和运算法则，主要目的是以这个类实数（重

点是无理数）的运算问题为载体，使学生对实数运算形成基本完整的理解。

课标规定：了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除运算法则，会用它们实行

相关的简单四则运算。这里，“根号下为数的二次根式”的限定是最低要求。

为了使学生更全面地了解二次根式的运算，提升运算水平，也为今后高中阶段的数学学习打

下必要的基础，教材在正文中设置了“选学例题”，采用举例的方式，让那些学有余力的学

生能学到“根号下为字母的二次根式”的运算。

为了增强二次根式与整式之间的联系，强化用整式的运算法则、乘法公式等简化二次根

式运算的方法，进而培养学生的运算水平，教材在二次根式混合运算的例题中，强调了利用

多项式的乘法法则和乘法公式实行运算，突出了二次根式运算的本质，并用“小贴士”醒目

的标明；在小结中，引导学生概括，指出二次根式的加减法与整式的加减法类似，只要将根

式化为最简二次根式后，去括号与合并被开方数相同的二次根式就能够了。二次根式的乘法

与整式的乘法类似，以往学过的乘法公式等都能够用。二次根式的除法与分式的运算类似，

如果分子分母中含有相同的因式，可以直接约去。

四、学情分析

（1）代数学的整体性

作为初中阶段“数一式”内容的最后一章，本章不仅承担二次根式知识的教学任务，而

且也有整理"数与式''的内容、方法和基本思想的任务。因此，教学时一定要有整体观。

对于二次根式概念的教学，要从运算的角度提出学习任务，在分析开方运算的意义中使学生

认识被开方数为非负数的合理性，并通过简单的变式，使学生养成“看到根号就要注意被开

方数的符号”的习惯。

对于二次根式的性质，要注意从“考察特例’'的角度提出问题，并注意从联系性中发现

它们的关系。

对于二次根式的运算，要注意放在“代数运算”这个大系统下，加强“从概念到法则”、

“利用运算律进行运算”、“利用乘法公式简化运算”等思想方法的教学。总之，要在“二

次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用''的

思想指导下，展开二次根式运算法则的学习和运算技能的训练。

由于本章内容与以前所学的实数内容有较多联系，在思考问题的方法上与整式的内容又有很

多相通之处，因此，教学中一定要从联系性上多做文章，使学生通过本章学习建立完整的代

数知识结构，并进一步地体会代数问题的基本研究方法。当然，这种“联系性的教学”应该

结合具体内容进行。

(2)归纳法，使学生经历特殊到一般的认识过程

教学时一定要根据教材内容，从具体数字的算术平方根的运算中观察规律，归纳得出二

次根式的性质、运算法则，编写意图，让学生通过观察、思考、讨论等，经历从特殊到一般

的过程，归纳得出有关结论。

(3)运算技能训练，提高运算能力

运算技能的训练是代数教学的基本任务，本章的训练点在两个方面。一是用二次根式的

运算法则进行运算，核心是有效地利用二次根式的性质和乘法法则、除法法则，其中将各式

转化为最简二次根式是关键步骤；二是运算习惯的培养，与数感、符号意识等相关，具体可

以从先观察，后计算、先化为最简二次根式，后计算、利用乘法公式进行计算等方面着手。

二次根式(1)

一、乐学目标

1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。

2、掌握二次根式有意义的条件。

3,掌握二次根式的基本性质：6之0(。20)和(右)2=以。20)

二、乐学重点、难点

重点：二次根式有意义的条件；二次根式的性质.

难点：综合运用性质&20(。20)和(、石-=0(。20)。

三、乐学过程

(-)复习回顾：

(1)已知x?=a,那么a是x的；》是。的,记为，。一定是数。

(2)4的算术平方根为2,用式子表示%=；正数。的算术平方根为,0的

算术平方根为—；式子&N0(aN0)的意义是o

(-)自主预习

(1)V16的平方根是;

(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是寅单位：秒)与开始下落时的高度力(单位:

米)满足关系式〃=如果用含力的式子表示t,则i=；

(3)圆的面积为S,则圆的半径是；

(4)正方形的面积为匕-3,则边长为。

思考：而，£,J?,g等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.

定义：一般地我们把形如石(“20)叫做二次根式，。叫做oyo

1、试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？

出,-灰,四，Q,—(a>0),G+1

2、当。为正数时而指”的—，而。的算术平方根是—，负数—，只有非负数“才有算术

平方根。所以，在二次根式6中，字母“必须满足—,校才有意义。

3、根据算术平方根意义计算：

(1)(V4)2⑵(扬2(3)(V(X5)2(4)(J1)2

根据计算结果，你能得出结论：(而『=------,其中

4、由公式(6)2=a(aN0),我们可以得到公式。=(右尸，利用此公式可以把任意一个非负

数写成一个数的平方的形式。

如(石y=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如5=(石尸.

练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：

60.35

(2)在实数范围内因式分解

--74a2-11

(三)合作探究

例：当x是怎样的实数时，正点在实数范围内有意义？

解：由x-220,得

x>2

当xN2时，J7用在实数范围内有意义。

练习：1、x取何值时，下列各二次根式有意义？

2、(1)若而行工有意义，则a的值为

（2）若Q在实数范围内有意义，则X为（）o

A.正数B.负数C.非负数D.非正数

J1-2%

3、（1）在式子一'中，x的取值范围是____________.

1+X

(2)已知7%2-4+J2x+y=0,则x-y=.

(3)已知y=yj3-x+Jx-3一2,则yx=。

（四）反思升华

（一）填空题：

IV5J------

2、若J2x-1=0,那么x=,y=。

3、当尸时，代数式有最小值，其最小值是

4、在实数范围内因式分解：

（1）x2-9=%2-（）2=（户）（厂）

（2）x2-3=%2-（）2=（户__）（厂）

（二）选择题：

1、一个数的算术平方根是4比这个数大3的数为（）

A、a+3B、—3C、y[ci+3D、+3

2、二次根式后二i中，字母a的取值范围是（）

A、a<lB、aWlC、a21D、a>l

2、已知而5=0则x的值为

A、x>-3B、水-3C、A=-3D、x的值不能确定

3、下列计算中，不正确的是（）o

A、3=（V3）2B、0.5=（V（X5）2C、VO6?=0.6D、（577）2=35

教学反思：

二次根式(2)

一、乐学目标

1、掌握二次根式的基本性质：行=时

2、能利用上述性质对二次根式进行化简.

二、乐学重点、难点

重点：二次根式的性质行=时.

难点：综合运用性质行=时进行化简和计算。

三、乐学过程

(-)复习引入：

(1)什么是二次根式，它有哪些性质？

(2)二次根式、匚三有意义，则__________o

Vx-5

(3)在实数范围内因式分解：X2-6=X2-()2=(户—)(尸)

(-)自主预习

1,计算：B=____而亍=______而7=

观察其结果与根号内森底数的关系，归纳得到：当以>0时;必=

2、计算：心存=—J(-0.2)2=,管2=,(-20)2=

观察其结果与根号内募底数的关系，归纳得到：当“<0时，、斤=

3、计算：=当々=0日寸,Ja?=

(三)合作交流

a。>0

1、归纳总结：=|a|=<00

-aa<0

2、化简下列各式：

⑴、703?=_(2).J(-0.5)2=_

(3)、J(-6)2=_⑷、7(2^7=—(。＜0)

3、讨论二次根式的性质(G)2=a(aZ0)与行=时有什么区别与联系。

(四)巩固练习

化简下列各式：(1)A/4?(X>0)(2)

(3)J(a-(a>3)(4)J(2x+3)2(xV-2)

注：利用叱=14可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的,

进行化简的关键是准确确定“a”的取值。

(五)反思升华：

A组

1、填空：(1)>V^-1)2~(V2x-3)2(x>2)=.(2)、乃-4)2=

(3)a、b、c为三角形的三条边，则-c)2+忸_a_c|=.

2、已知2VxV3,化简：7U-2)2+|x-3|

B组

3已知OVxVl,化简：^(X-1)2+4-^(X+1)2-4

4边长为a的正方形桌面，正中间有一个边长为巴的

3

正方形方孔.若沿国中虚线锯开，可以拼成一个新的

正方形桌面.你会拼吗？试求出新的正方形边长.

5、把(2-X)、［二的根号外的(2-x)适当变形后移入根号内，得()

Vx-2

A、V2—xB、Jx-2C、_A/2—xD、—x—2

6,若二次根式J-2x+6有意义，化简|尸4|-|7-川°

教学反思：

二次根式的乘法

一、乐学目标

理解而,>Jb=-fab(a，0,b，0),4ab-4ci•\[b(a20,Z>20),并利用它们进行

计算和化简

二、乐学重点、难点

重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质化简二次根式。

三、乐学过程

(-)复习引入

1.填空：(1)V4XA/9=,74^9=;74X^/9_^/4^9

(2)V16X725=,716x25=—；屈义后_J16x25

(二)、探索新知

交流总结规律：一般地，对二次根式的乘法规定为

4a•\Jb=4ab.(aNO,b'O反过来：|•枢(a20,b20)

例1、计算

(1)V5XV7(2)A义囱(3)376X2V1O(4)45a•小gay

例2、化简

(1)79x16(2)716x81(3)781x100(：4)32y2(5)V54

巩固练习

③12a3•4y2

(1)计算：①屈X瓜②5GX2后

(2)化简：V20；V18；V24；V54；Jl2a2〃

(三)、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1)J(T)x(—9)=Cx"

(2)XV25=4X^1|XV25=4^|XV25=4^

历=8百

(四)展示反馈

展示学习成果后，讨论：对于百X后的运算中不必把它变成历后再进行计算,

你有什么好办法?

注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为

积的系数，被开方数之积为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：

（1）被开方数进行因数或因式分解。（2）分解后把能开尽方的开出来。

（五）反思升华：

1、选择题

(1)等式Jx+11=/X。-1成立的条件是()

A.xNlB.x2-lC.-LWxWlD.x21或x<T

(2)二次根式J(-2)2x6的计算结果是()

A.2A/6B.-276C.6D.12

2、化筒:

(1)V360；(2))32、4.

3,计算：

(1)炳x病；(2)6x舞;

1、选择题

|<7-2|+/??+4Z?+4+^c2~c+~>处.八.&=()

C.-2D.1

2,计算：(1)6A/8X(-2V6)；(2)-J&ibxy16cB；

3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。

(1)-3

教学反思:

二次根式的除法

一、乐学目标

1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。

二、乐学重点、难点

重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。

难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质化简二次根式。

三、乐学过程

（-）复习回顾

1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质

2、计算：（1）3次X（-476）(2)J12abxJ6ab3

>---V16；

V16叵

局----V36

一般地，对二次根式的除法规定:

[a_4a

(a，0,b>0)反过来,(a20,b>0)

2、化简:

注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商

的系数，被开方数之商为被开方数。

2、化简二次根式达到的要求：

（1）被开方数不含分母；（2）分母中不含有二次根式。

（三）拓展延伸

1百G22近2石

----------=---,-----------=----

Ggx百3V5#）乂加5

数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。

利用上述方法化简：

2/八1/,、厢

⑴-r==____（2）=一⑸>—⑷达=一

V63V2

（四）反思升华：

A组

1、选择题

⑴计算的结果是().

A.26B.-C.V2D.—

777

（2）化简要的结果是（

)

V27

V22

AA.——BD.——f=C.--D.-y/2

3y/33

2,计算：

（1）4（2）N箕(3)、［十口(4)

V48，底V4V16764y2

B组

用两种方法计算：

⑴华(2)芈

瓜4V3

教学反思：

最简二次根式

一、乐学目标

1、理解最简二次根式的概念。

2、把二次根式化成最简二次根式.

3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。

二、乐学重点、难点

重点：最简二次根式的运用。

难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。

三、乐学过程

（-）复习回顾

1、化简（1）J96/=⑵嵯

V27

(3)=/八30⑸£

3(4)>=

yj2a

2、结合上题的计算结果,回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到

的要求是什么？

（二）自主预习

观察上面计算1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点:

1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.

2、化简：

⑷青

⑴3后⑵+"

(3)y/Sxy

（三）合作交流

2、比较下列数的大小

(2)-7痣与-66

注：1、常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。

2、判断是否为最简二次根式的两条标准：

（1）被开方数不含分母；

（2）被开方数中所有因数或因式的幕的指数都小于2.

（四）拓展延伸

观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式:

1_1x(后_1)_叵_\_h]

V2+1-(V2+D(V2-1)-2-1’

11x(73-72)73-72_c片

京7F®物回扬—不-

同理可得：-----j==2-M,......

2-V3

从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算

1]

)(V2009+1)的值.

V2+1V3+V2J2009+J2008

（五）反思升华:

1、选择题

（1）如果（7>0）是二次根式，化为最简二次根式是（）.

A.4(y>0)B.而(y>0)C.互(y>0)D.以上都不对

Jyy

（2）化简二次根式的结果是

A、J-a-2B、—J-a-2C、Ja-2D、—Ja-2

2、填空:

(1)化简>]x4+x2y~=.(x，0)

(2)已知x=-—,则x-4的值等于__________.

V5-2x

3、计算:

(1)

4、计算：-7^*（--7^）-3--（a>0,b>0）

b2\a

5、若x、y为实数，且y=」-4+4x+1求・）可一），的值。

教学反思:

二次根式的加减(1)

学习内容：

同类二次根式二次根式的加减

乐学目标：

1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式

2、理解和掌握二次根式加减的方法.

3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再

总结经验，用它来指导根式的计算和化简.

乐学重点、难点

1、重点：二次根式化简为最简根式.

2、难点：会判定是否是最简二次根式.

乐学过程

一、自主预习

(一)、复习引入

计算.(1)2x+3x；(2)2x2-3x2+5x2；(3)x+2x+3y；(4)3a2-2a2+a2

(二)、探索新知

学生活动：计算下列各式.

(1)2拒+3收=(2)278-378+5^=

(3)万+26+3反7=(4)36-2百+加=

由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如2及与次表面上看是不相同

的，但它们可以合并吗？也可以.(与整数中同类项的意义相类似我们把3石与-26，36、

-2G与4&这样的几个二次根式，称为同类二次根式)

372+78=372+272=5723e+后=36+38=6百

所以，二次根式加减时，先将二次根式化成最简二次根式，口再将同类二次根式进行合

并.

例1.计算（1）瓜+回(2)J16x+

例2.计算(1)3V48-9^1+3V12

(2)(V48+V20)+(V12-V5)

归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;

第二步，将相同的最简二次根式进行合并.

二、巩固练习

(2)(V48+V20)+(V12-V5)

⑶军+历-争军⑷3痴-（叱-6x0

三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展

例3.已知4x2+y2-4x-6y+10=0,求（）-（x2^--5x^-）的值.

四、反思升华

（一）、选择题

1.以下二次根式：①瓜②亚;③板；④后中,与G是同类二次根式的是（）.

A.①和②B.②和③C.①和④D.③和④

2.下列各式：0373+3=673；②［币=1；③0+6=际=20；④华=2后，其

7百

中错误的有（）A.3个B.2个C.1个D.0个

3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是（）

（A）省和a(B)V3和(C)Vcrb和Vab~(D)Ja+1和Ja-1

4.下列各式的计算中，成立的是（）

(A)2+45=245(B)4V5-3V5=1(C)+/(D)V45-V20=V5

5.若a="—,b=一一则

的值为（)

V2-1V2+1\b

(A)2(B)-2(0V2(D)2V2

二、填空题

1.在人、-775^,2屈、J芮、乙信、3d、-2、口中，与A是同类二次根

33aV8

式的有.

2.计算二次根式5石-3折-76+9耳的最后结果是.

3.若最简二次根式3/2无+1与J3光-1是同类二次根式,则刀=.

4.若最简二次根式反而与“+/是同类二次根式，则&=—,b=—.

5.计算：(1)127a一/JI+3a口一处如砺

3、aV34

三、综合提高题

先化简，再求值.+—y]xy3)—(4x^^-+-J36xy),其中jr=y,产27.

教学反思：

二次根式的混合运算

一、乐学目标

熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。

二、乐学重点、难点

重点：熟练进行二次根式的混合运算。

难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。

三、乐学过程

(-)复习回顾：

1,填空

(1)整式混合运算的顺序是：O

(2)二次根式的乘除法法则是：0

(3)二次根式的加减法法则是：o

(4)写出已经学过的乘法公式：

①②

2、计算:

(1)V6•J3a•Jqb(2)(3)2y-+.J12+§0

(二)合作交流

1、探究计算：

(1)(V8+V3)XV6(2)(4A/2-3V6)4-2V2

2、探究计算：

(1)(72+3)(72+5)(2)(2A/3-V2)2

(S)展示反馈

计算：(1)(|V27-V^-3^|)-712(2)(2V3-V5)(V2+V3)

注：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代

表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。

(四)拓展延伸

观察：(V2-I)2=(V2)2-2xlx>/2+12=2-272+1=3-272

反之，3-272=2-272+1=(>/2-1)2

，3-20=(0-1)2

：.43_2垃=叵-1

仿上例，求：(1);“+2上

(2)你会算J"J汇吗?

(3)若』a±2&=金+匹,则卬、n与a、6的关系是什么？并说明理由.

(六)反思升华：

A组

1、计算：

(1)(厢+90)+6(2)V24-V3-V6x2V3

(3)(Ja3b_3ab+J加)+(a>0,6>0)

2,已知“二十一,b=十—,求,/+/;2+1()的值。

V2-1V2+1

1、计算：(1)(V3+V2-1)(V3-V2+1)(2)(3-ViO)2,,09(3+ViO)2,,09

教学反思:

《二次根式》复习

一、乐学目标

1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。

2、熟练进行二次根式的乘除法运算。

3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算和化简。

二、乐学重点、难点

重点：二次根式的计算和化简。

难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。

三、复习过程

(-)自主复习

1.若a>0,a的平方根可表示为,a的算术平方根可表示

2.当a时，Jl-2a有意义,当a时，J3a+5没有意义。

3.J(*3)2=J(G_2)2=

4.V14xV48=而:屈=

5.V12+V27=;V125-V20=

(-)合作交流，展示反馈

1、式子、目成立的条件是什么？

工一5

125/

2、计算：(1)2mxL百十5行

3.计算：(1)夜一56-3屏(2)(-3V2-2V3)2

（三）精讲点拨

在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子:

(1)=a{a>0)与a-(y/a)2(a>0)

atz>0

(2)=同=<0a=0

-aa<0

(3)y[a•\!b-\[ah(a>0,Z?>0)^y[ah=4a•y/b(a>0,h>0)

y[a

(4)*（。》0力＞0）与[a_4a(a>0,/?>0)

h访

(5)(a±0)2=a2+2ab+b2^(a+b)(a-b)=a2-b2

（四）反思升华：

1、选择题:

（D化简耐7的结果是（）

A5B-5Ci5D25

（2）代数式汜2中，x的取值范围是

()

Vx一2

Ax>-^Bx>2Cx>w2Dx>-4_§Lxw2

⑶化简嗟的结果是（

)

A一旦屈

Cr--------D-72

33

2、计算.

(1)历-26+国(2)J臂(3)(G+2)(G2)

与口后6~V2A/3+V2忐11如估

3、已知a=-------,b=-------求-----的值

22ab

教学反思:

第十七章勾股定理

一、教材分析

1、内容安排

本章安排了两个小节和两个选学内容，教学时间约需9课时，大体分配如下:

17.1勾股定理约4课时

阅读与思考勾股定理的证明（选学）

17.2勾股定理的逆定理约3课时

阅读与思考费马大定理（选学）

数学活动约1课时

小结约1课时

2,本章知识结构图

勾股定理是初等几何的一个重要定理，有广泛的应用。本章主要介绍了勾股定理及其逆

定理，并介绍这两个定理的一些初步的应用，另外，结合这两个定理，介绍了逆命题和逆定

理的有关知识。

直角三角形是一种极常见而特殊的三角形，它有许多性质，如两个锐角互余，30°的角

所对的直角边等于斜边的一半。本章所研究的勾股定理，是直角三角形的非常重要的性质，

有极其广泛的应用。

勾股定理指出了直角三角形三边之间的数量关系，这就搭建起了几何图形与数量关系之

间的一座桥梁，从而发挥了重要的作用。勾股定理不仅在平面几何中是重要的定理，而且在

三角学、解析几何学、微积分学中都是理论的基础，定理对现代数学的发展也产生了重要而

深远的影响。没有勾股定理，就难以建立起整个数学的大厦。所以，勾股定理不仅被认为是

平面几何中最重要的定理之一，也被认为是数学中最重要的定理之一。

本章分为两节，第一节介绍勾股定理及其应用，第二节介绍勾股定理的逆定理及其应用。

在第一节中，教科书安排了对于勾股定理的观察、计算、猜想、证明及简单应用的过程。教

科书首先简略讲述了毕达哥拉斯从观察地面图案的面积关系发现勾股定理的故事，并让学生

也去观察同样的图案，以发现等腰直角三角形这种特殊直角三角形下的特殊面积关系，进而

得出三边之间的关系。在进一步的“探究”中又让学生对某些直角三角形进行计算，计算以

直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积和以斜边为边长的正方形的面积，发现以两直

角边为边长的小正方形的面积的和等于以斜边为边长的正方形的面积。于是，对于更一般的

结论提出了猜想。

历史上对于勾股定理的证明的研究很多，得到了许多证明方法。教科书正文中介绍了公

元3世纪三国时期中国数学家赵爽的证明方法。这是一种面积证法，依据是图形在经过适当

切割后再另拼接成一个新图形，切割拼接前后图形的各部分的面积之和不变，即利用面积不

变的关系和对于图形面积的不同算法推出图形的性质。在教科书中，图17.1—6(1)中的图

形经过切割拼接后得到图17.1—6(3)中的图形，证明了勾股定理。

根据勾股定理，已知两条直角边的长a,b,就可以求出斜边c的根据勾股定理还可以得

到。2=*一〃2,由此可知，已知斜边与一条直角边的长，就可以求出另一条

直角边的长。也就是说，在直角三角形中，已知两条边的长，就可以求出第三条边的长。教

科书相应安排了两个例题和一个“探究”栏目，让学生学习运用勾股定理解决问题，并运用

定理证明了斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

在第二节中，教科书首先让学生画出一些两边的平方和等于第三边的平方的三角形，可

以发现画出的三角形都是直角三角形，从而作出猜想：如果三角形的三边满足两边的平方和

等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。教科书借助于勾股定理和判定全等三角

形的定理(SSS)证明了这个猜想，得到了勾股定理的逆定理。勾股定理的逆定理是判定一个

三角形是直角三角形的一种重要依据。本节结合勾股定理的逆定理的内容的展开，穿插介绍

了逆命题、逆定理的概念，并举例说明原命题成立其逆命题不一定成立。

3、本章主要变化

进一步突出证明勾股定理采用的面积法；加强总结；增加实践；

数学活动2：运用勾股定理证明直角三角形全等的一个判定定理：斜边和一条直角边对

应相等的两个直角三角形全等

二、本章学习目标

(1)经历勾股定理及其逆定理的探索过程，知道这两个定理的联系和区别，能用这两

个定理解决一些简单的实际问题。

(2)初步认识勾股定理及其逆定理的重要意义，会用这两个定理解决一些几何问题。

(3)通过具体的例子，了解逆命题、逆定理的概念，会识别两个互逆的命题，知道原

命题成立其逆命题不一定成立。

（4）通过对于我国古代研究勾股定理的成就的介绍，培养民族自豪感。通过对于勾股

定理及其逆定理的探索，培养数学学习的自信心。

三、教学法指导

（1）让学生经历勾股定理及其逆定理的探索过程

对于勾股定理的探索，教科书设计了从非常特殊的等腰直角三角形，到比较特殊的方格

图上构造的直角三角形，最后到一般的直角三角形的过程。这是一个典型的从特殊到一般的

探索过程。对于勾股定理的逆定理的探索，教科书也设计了从特殊到一般的过程。

教科书对于勾股定理的教学，设计了一个从特殊到一般的探索、发现和证明的过程。先是很

特殊的等腰直角三角形，再到一些特殊的直角三角形，再到一般直角三角形的结论证明的赵

爽证法的引入。这是一个典型的探索和证明的过程。类似地，对于勾股定理的逆定理，教科

书也设计了从特殊结论到一般结论的探索和证明的完整过程。

这样安排教学，有利于学生认识结论研究的必要性，培养学生对于结论的探索兴趣和热情，

培养学生数学学习的兴趣，培养学生发现、提出、分析和解决问题的能力，培养严密审慎的

思考习惯，培养科学精神。

（2）通过介绍我国古代研究勾股定理的成就培养民族自豪感

我国古代对于数学有许多杰出的研究成果，许多成就为世界所瞩目和高度评价，在数学

教学中应结合教学内容，适当介绍我国古代数学成就，培养学生爱国热情和民族自豪感。

我国古代对于勾股定理的研究就是一个突出的例子。根据大约在公元前100年之前写成的《周

髀算经》的记载和推算，在公元前21世纪大禹治水时人们就能应用“勾三股四弦五”的特

殊结论，公元前6、7世纪时人们还知道了勾股定理的一般结论并能灵活运用结论解决许多

实际测量问题。约公元3世纪三国时期赵爽为《周髀算经》作注写《勾股圆方图注》，用“弦

图”对勾股定理给出了一般的证明，这是我国对于勾股定理一般结论的最早的证明。

我国古代不仅较早独立地发现了勾股定理有关“勾三股四弦五”的一些特殊结论，而且也比

较早使用了巧妙的方法独立证明了勾股定理一般结论，在勾股定理的应用方面也有许多深入

的研究并达到熟练的程度。从《周髀算经》对勾股定理的多方面的论述，此书所记录的从公

元前6、7世纪时在我国人们已经能够熟练且自信地把勾股定理应用到任意边长的直角三角

形的事实。这些，都说明我国古代劳动人民的卓越聪明才智，也是我国对世界数学的重要贡

献，是值得我们自豪的。

四、学情分析

（1）通过教学提高学生分析问题和解决问题的能力

本章内容虽然不多，但教学内涵却很丰富。勾股定理及其逆定理不仅在数学中有重要的

地位，定理本身也有重要的实际应用。本章还结合两个定理引入了逆命题、逆定理等比较抽

象的概念。这些知识本身易混易错，学习有一定的难度。应该对本章的教学引起重视，使本

章的教学对培养学生逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力发挥应有的作用。

在勾股定理的教学中，一方面要重视学生观察、猜想能力的培养，也要重视从特殊结论到一

般结论的严密思维能力的培养。从勾股定理到它的逆定理，学生往往会从直觉出发想当然地

认为勾股定理的逆命题也一定成立，而从这种直觉上升到逻辑严密地思考和证明，认识到两

个结论有联系但却并不相同，认识到新的结论仍需要经过严格地证明，这是思维能力提高的

重要体现，这在教学中是应该引起重视的。另外，逆命题概念的教学也是一个教学难点，怎

样写出一个命题的逆命题，原命题和逆命题真假的多种可能性，怎样的命题可以称为逆定理,

这些都是学生容易出错的知识点。

(2)围绕证明勾股定理培养学生数学学习的自信心

一个缺乏自信的人是不可能成就一番事业的。自信就是不示弱，自信就是自强不息，相

信自己的能力，相信自己行，勇于同困难作斗争。数学课往往是初中学生最想学好又不容易

学好的一门课，而在数学学习中所培养起来的自信心往往成为学生今后成长的重要力量，在

数学教学中要特别重视培养学生数学学习的自信心，进而培养更广泛的自信心。

(3)总结和定理、逆定理有关的内容

本章引出了逆定理的概念，为了让学生对这一概念掌握得更好，可以在小结时结合已经

学过的一些结论以加深理解。例如，可以结合在本套教科书第十二章“全等三角形”中的两

个定理：“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”和“角的内部到角的两边的距离相等

的点在角的平分线上”来进行复习。这里，前一个结论是角的平分线的性质定理，后一个结

论就是角的平分线的性质定理的逆定理。还可以举出其他的一些适当的例子。这样就可以从

定理、逆定理的角度认识已学的一些结论，明确其中一些结论之间的关系。

课题：17.1勾股定理(1)

乐学目标：

1.了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。

2.培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。

学习重点：勾股定理的内容及证明。

学习难点：勾股定理的证明。

乐学过程：

一、自主预习

画一个直角边为3cm和4cm的直角△*（；,用刻度尺量出AB的长。（勾3,股4,弦5）。

再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。

你是否发现32+后与5?的关系，52+122^13?的关系,即32+4?52,52+122132,

那么就有2+2=2。（用勾、股、弦填空），对于任意的直角三角形也有这个性质

吗？

勾股定理内容

文字表述：—几何表述：—

二、交流展示

例1、已知：在AABC中，NC=90°,NA、NB、NC的对边为a、b、c。求证：a2+b2=c2»

分析：⑴准备多个三角形模型，利用面积相等进行证明。

⑵拼成如课本图所示，其等量关系为：4sA+S小正=S大正

即4义,X+（）2=c2,化简可证。

2

例2已知：在aABC中，ZC=90°,NA、NB、NC的对边为a、b、c。

222

求证：a+b=co

分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等。

左边S=_____________

右边S=_____________

左边和右边面积相等，即

化简可得

三、合作探究

1.已知在Rt^ABC中，ZB=90°a、b,c是AABC的三边，则

(l)c=0(已知a、b,求c)

(2)a=o(已知b、c,求a)

(3)b=o(已知a、c,求b)

2.如下表，表中所给的每行的三个数a、b、c,有aVbVc,试根据表中已有数的规律,

写出当a=19时，b,c的值，并把b、c用含a的代数式表示出来。

3、4、532+4-52

5、12、1352+122=132

7、24、2572+242=252

9、40、4192+402=412

19,b、c192+b2=c2

3.△河（：的三边a、b、c,

（1）若满足b?=a2+c2,则=90°；

（2）若满足b2>c?+a2,则NB是角；

（3）若满足片〈厂+£,则NB是角。

四、反思升华

1.一个直角三角形，两直角边长分别为3和4,下列说法正确的是（）

2.斜边长为25B.三角形的周长为25C.斜边长为5D.三角形面积为20

3.一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2,另一直角边长为6,则斜边长为（）

A.4B.8C.10D.12

4.直角三角形的两直角边的长分别是5