2024-2025学年广西大学附中九年级（上）开学数学试卷（含详解）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西大学附中九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x2+y=3 B.3x+y−5=0 C.x+12.下列垃圾分类的标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=125°，则∠A的度数为(

)A.25°

B.30°

C.50°

D.55°4.若二次函数y=ax2的图象经过点P(−2,4)，则该图象必经过点(

)A.(2,4) B.(−2,−4) C.(−4,2) D.(4,−2)5.若x1，x2是方程x2−6x−7=0A.x1+x2=6 B.x16.将抛物线y=(x−1)2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为A.y=(x−1)2+4 B.y=(x−4)2+47.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为(

)A.3.2(1−x)2=3.7 B.3.2(1+x)2=3.78.如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′.当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为(

)A.65°B.70°

C.80°D.85°9.关于x的一元二次方程x2+4x−k=0有两个相等的实数根，则k的值为(

)A.−4 B.4 C.0 D.1610.已知A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是二次函数y=−xA.y1<y2<y3 B.11.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB=40cm，CD=10cm，则圆形工件的半径为(

)A.50cm

B.35cm

C.25cm

D.20cm12.如图，抛物线m：y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A.ab=−2 B.ab=−3 C.ab=−4 D.ab=−5二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。13.抛物线y=(x−2)2+514.一元二次方程2x2=9x+515.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的另一个交点坐标为______．16.一元二次方程4x(x−2)=x−2的解为______．17.点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为

．18.《九章算术》中记载：“今有勾六步，股八步.问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾(短直角边)长为6步，股(长直角边)长为8步，则该直角三角形内切圆的直径是等于______步.三、计算题：本大题共1小题，共6分。19.解一元二次方程：x2−4x+3=0四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题6分)

计算：−12+(21.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)．

(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；

(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△22.(本小题10分)

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．

(1)求证：BE=CE；

(2)若AB=6，∠BAC=54°，求AD的长．

23.(本小题10分)

一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；

(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？

24.(本小题10分)

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是BE的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若CD=3，∠ABC=60°，求线段AF25.(本小题10分)

课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a−3的最值问题展开探究．

【经典回顾】二次函数求最值的方法．

(1)老师给出a=−4，求二次函数y=x2+2ax+a−3的最小值．

①请你写出对应的函数解析式；

②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；

【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在xa…−4−2024…x…∗20−2−4…y的最小值…∗−9−3−5−15…注：∗为②的计算结果．

【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”

甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=−a，就能得到y的最小值.”

乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值”

(2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a−3，解释甲同学的说法是否合理？

26.(本小题10分)

如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点(不在边上)，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．

(1)求证：△BDA≌△BFE；

(2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD//BF；

(3)如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．

答案解析1.D

【解析】解：A、选项中有两个未知数，所以不是一元二次方程；

B、选项中有两个未知数，所以不是一元二次方程；

C、选项中未知数出现在分母里，不是整式方程，所以不是一元二次方程；

D、选项中未知数只有一个并且未知数的次数最高为2次，所以是一元二次方程；

故选：D．

根据一元二次方程的概念进行判断即可．

本题主要考查一元二次方程的概念，熟练掌握一元二次方程的概念是解决本题的关键．2.B

【解析】解：A、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、该图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

D、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意．

故选：B．

中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重台，这样的图形叫做轴对称图形．根据定义依次对各个选项进行判断即可．

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．正确掌握中心对称图形与轴对称图形定义是解题关键．3.D

【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠C+∠A=180°，

∵∠C=125°，

∴∠A=55°，

故选：D．

根据圆内接四边形的对角互补计算即可．

本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．4.A

【解析】解：∵二次函数y=ax2的对称轴为y轴，

∴若图象经过点P(−2,4)，

则该图象必经过点(2,4)．

故选：5.A

【解析】解：∵x1，x2是方程x2−6x−7=0的两个根，

∴x1+x2=−6.B

【解析】解：将抛物线y=(x−1)2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后所得抛物线解析式为y=(x−1−3)2+2+2，即y=(x−4)2+47.B

【解析】解：由题意得：3.2(1+x)2=3.7，

故选：B．

根据2020年的人均可支配收入×(1+年平均增长率)8.B

【解析】解：由旋转的性质可得出∠B′AC′=∠BAC，

∵∠BAC+∠B+∠C=180°，

∴∠BAC=180°−80°−65°=35°，

∴∠B′AC′=∠BAC=35°，

∴∠BAC′=∠BAC+∠B′AC′=70°，

故选：B．

由三角形内角和定理可得出∠B′AC′=∠BAC=35°，最后根据角的和差关系即可得出答案．

本题主要考查了旋转的性质，掌握三角形内角和定理，由旋转的性质可得∠B′AC′=∠BAC是解题的关键．9.A

【解析】解；∵关于x的一元二次方程x2+4x−k=0有两个相等的实数根，

∴Δ=42+4k=0，

∴k=−4，

故选：A．

根据一元二次方程根的判别式解答即可．

本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟知对于一元二次方程ax210.D

【解析】解：因为二次函数解析式为y=−x2+2x+c，

所以抛物线的对称轴为直线x=1，且开口向下，

则抛物线上的点，离对称轴越远，其函数值越小．

因为1−(−1)=2，2−1=1，4−1=3，且3>2>1，

所以y3<y1<y2．

故选：D．11.C

【解析】解：设圆心为O，连接OB，如图所示，

∵CD垂直平分AB，AB=40cm，

∴BD=20cm，

∵CD=10cm，OC=OB，

∴OD=OB−10，

∵∠ODB=90°，

∴OD2+BD2=OB2，

∴(OB−10)2+202=OB2，

解得OB=2512.B

【解析】解：令x=0，得：y=b.∴C(0,b)．

令y=0，得：ax2+b=0，∴x=±−ba，∴A(−−ba,0)，B(−ba,0)，

∴AB=2−ba，BC=OC2+OB2=b213.(2,5)

【解析】解：∵抛物线y=(x−2)2+5，

∴顶点坐标为：(2,5)．

故答案为：(2,5)．

由于抛物线y=a(x−ℎ)214.−9

【解析】解：2x2=9x+5，

∴2x2−9x−5=0，

∴一次项的系数为−9；

故答案为：−9．

根据一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，其中a为二次项系数，b15.(1,0)

【解析】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，对称轴为直线x=−1，

∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，

故答案为：(1,0)．

根据抛物线的对称性解答即可．

本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，正确理解抛物线的对称性是解题的关键．16.x1=2，【解析】解：4x(x−2)=x−2

4x(x−2)−(x−2)=0

(x−2)(4x−1)=0

x−2=0或4x−1=0

解得x1=2，x2=14．

故答案为：x1=2，17.18°

【解析】解：由正五边形的性质可知，BG是正五边形ABCDE的对称轴，

∴∠DFG=90°，

∵∠FDG是正五边形ABCDE的外角，

∴∠FDG=360°5=72°，

∴∠BGC=90°−72°=18°，

故答案为：18°．

由正五边形的对称性得出BG是正五边形ABCDE的对称轴，进而得到BG⊥DE18.4

【解析】解：连接OD、OE，如下图：

由题意可得AC、AB、BC与⊙O相切，AC=8步，BC=6步，

∴∠C=∠OED=∠ODC=90°，BD=BF，CD=CE，AF=AE，

∴四边形ODCE为矩形，AB=AC2+BC2=82+62=10(步)，

又∵OD=OE，

∴矩形ODCE为正方形，

设半径为r，则CD=OD=CE=r步，

∴AF=AE=(8−r)步，BF=BD=(6−r)步，

∴8−r+6−r=10，

解得r=2，

19.解：(x−3)(x−1)=0，

x−3=0或x−1=0，

所以x1=3，x【解析】利用因式分解法解方程．

本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．20.解：−12+(3−π)0【解析】先根据乘方、零次幂、负整数次幂、立方根化简，然后再进行计算即可．

本题主要考查了实数的混合运算、零次幂、负整数次幂、立方根等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键．21.解：(1)如图：△A1B1C1即为所求；点C1的坐标(−3,−5)．

(2)如图：△【解析】(1)先根据中心对称的定义得到A、B、C的对称点A1、B1、C1，然后顺次连接即可完成作图；最后再确定点C1的坐标即可；

(2)先根据中心对称的定义得到A、B、C的对称点A2、B2、22.(1)证明：如图，连接AE．

∵AB是圆O的直径，

∴∠AEB=90°，

即AE⊥BC．

又∵AB=AC，

∴AE是边BC上的中线，

∴BE=CE；

(2)解：∵AB=6，

∴OA=3．

又∵OA=OD，∠BAC=54°，

∴∠AOD=180°−2×54°=72°，

∴AD的长为：72×π×3180=【解析】本题考查了圆周角定理、弧长的计算以及等腰三角形的判定与性质．通过作辅助线，利用圆周角定理(或圆半径相等)的性质求得相关角的度数是解题的难点．

(1)如图，连接AE，利用圆周角定理推知AE是等腰△ABC的垂线，结合等腰三角形的性质证得结论；

(2)如图，连接OD，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可以求得圆心角∠AOD的度数，然后利用弧长公式进行解答．23.解：(1)∵8−6=2，

∴抛物线的顶点坐标为(2,3)，

设抛物线为y=a(x−2)2+3，

把点A(8,0)代入得：36a+3=0，

解得a=−112，

∴抛物线的函数表达式为y=−112(x−2)2+3；

当x=0时，y=−112×4+3=83>2.44，

∴球不能射进球门．

(2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112(x−2−m)2+3，

【解析】(1)求出抛物线的顶点坐标为(2,3)，设抛物线为y=a(x−2)2+3，用待定系数法可得y=−112(x−2)2+3；当x=0时，y=−112×4+3=83>2.44，知球不能射进球门．

(2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−11224.(1)证明：连接OC，

∵点C是BE的中点，

∴BC=CE，

∴∠BAC=∠CAE，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OCA=∠CAD，

∴OC//AD，

∵AE⊥CD，

∴OC⊥DF，

∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

(2)解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠CAD=∠BAC=30°，

∵∠D=90°，CD=3，

∴AD=3CD=3，【解析】(1)连接OC，由点C是BE的中点，得到BC=CE，根据圆周角定理得到∠BAC=∠CAE，求得∠OCA=∠CAD，根据平行线的性质得到OC⊥DF，根据切线的判定定理得到结论；

(2)根据圆周角定理得到∠ACB=90°，求得∠BAC=30°，得到AD=25.解：(1)①a=−4，y=x2+2ax+a−3=x2−8x−7；

②当x=−b2a=4时，y取得最小值为：16−32−7=−23；

(2)合理，理由：

∵1>0，故函数有最小值，

当x=−b2a=−a时，y取得最小值，

故甲同学的说法合理；

(3)正确，理由：

当x=−a时，y=x2+2ax+a−3=−【解析】(1)①a=−4，y=x2+2ax+a−3=x2−8x−7；

②当x=−b2a=4时，y取得最小值，即可求解；

(2)1>0，故函数有最小值，即可求解

(3)当x=−a26.解：(1)证明：由旋转的性质可得DB=DF，∠BDF=60°，AB=EB，∠ABE=60°，

∴△BDF是等边三角形，BD=BF，

∴∠DBF=∠ABE=60°，

∴∠DBF−∠ABF=∠ABE−∠ABF，

∴∠ABD=∠EBF，

在△BDA与△BFE中，

{BD=BF∠ABD=∠EBF