2024-2025学年广西大学附中九年级（上）开学数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2024-2025学年广西大学附中九年级（上）开学数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.x2+y=3 B.3x+y−5=0 C.x+12.下列垃圾分类的标志图案中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(

)A. B. C. D.3.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠C=125°，则∠A的度数为(

)A.25°

B.30°

C.50°

D.55°4.若二次函数y=ax2的图象经过点P(−2,4)，则该图象必经过点(

)A.(2,4) B.(−2,−4) C.(−4,2) D.(4,−2)5.若x1，x2是方程x2−6x−7=0A.x1+x2=6 B.x16.将抛物线y=(x−1)2+2向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的抛物线为A.y=(x−1)2+4 B.y=(x−4)2+47.据国家统计局发布的《2022年国民经济和社会发展统计公报》显示，2020年和2022年全国居民人均可支配收入分别为3.2万元和3.7万元.设2020年至2022年全国居民人均可支配收入的年平均增长率为x，依题意可列方程为(

)A.3.2(1−x)2=3.7 B.3.2(1+x)2=3.78.如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=65°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB′C′.当AB′落在AC上时，∠BAC′的度数为(

)A.65°B.70°

C.80°D.85°9.关于x的一元二次方程x2+4x−k=0有两个相等的实数根，则k的值为(

)A.−4 B.4 C.0 D.1610.已知A(−1,y1)，B(2,y2)，C(4,y3)是二次函数y=−xA.y1<y2<y3 B.11.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交AB于点C，测出AB=40cm，CD=10cm，则圆形工件的半径为(

)A.50cm

B.35cm

C.25cm

D.20cm12.如图，抛物线m：y=ax2+b(a<0,b>0)与x轴于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.将抛物线m绕点B旋转180°，得到新的抛物线n，它的顶点为C1，与x轴的另一个交点为A1.若四边形AC1A.ab=−2 B.ab=−3 C.ab=−4 D.ab=−5二、填空题：本题共6小题，每小题2分，共12分。13.抛物线y=(x−2)2+514.一元二次方程2x2=9x+515.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为(−3,0)，对称轴为直线x=−1，抛物线与x轴的另一个交点坐标为______．16.一元二次方程4x(x−2)=x−2的解为______．17.点F是正五边形ABCDE边DE的中点，连接BF并延长与CD延长线交于点G，则∠BGC的度数为

．18.《九章算术》中记载：“今有勾六步，股八步.问勾中容圆径几何？”译文：今有一个直角三角形，勾(短直角边)长为6步，股(长直角边)长为8步，则该直角三角形内切圆的直径是等于______步.三、计算题：本大题共1小题，共6分。19.解一元二次方程：x2四、解答题：本题共7小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。20.(本小题6分)

计算：−1221.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(1,4)，B(4,2)，C(3,5)．

(1)画出△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；

(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°得到△22.(本小题10分)

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E．

(1)求证：BE=CE；

(2)若AB=6，∠BAC=54°，求AD的长．

23.(本小题10分)

一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线.当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m.已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．

(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)；

(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？

24.(本小题10分)

如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，点C是BE的中点，AE⊥CD，垂足为点D，DC的延长线交AB的延长线于点F．

(1)求证：CD是⊙O的切线；

(2)若CD=3，∠ABC=60°，求线段AF25.(本小题10分)

课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y=x2+2ax+a−3的最值问题展开探究．

【经典回顾】二次函数求最值的方法．

(1)老师给出a=−4，求二次函数y=x2+2ax+a−3的最小值．

①请你写出对应的函数解析式；

②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值；

【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在xa…−4−2024…x…∗20−2−4…y的最小值…∗−9−3−5−15…注：∗为②的计算结果．

【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.”

甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取x=−a，就能得到y的最小值.”

乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值”

(2)请结合函数解析式y=x2+2ax+a−3，解释甲同学的说法是否合理？

26.(本小题10分)

如图1，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=1，D为△ABC内部的一动点(不在边上)，连接BD，将线段BD绕点D逆时针旋转60°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转60°，使点A到达点E的位置，连接AD，CD，AE，AF，BF，EF．

(1)求证：△BDA≌△BFE；

(2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD//BF；

(3)如图2，M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，连接MP，NP，在点D运动的过程中，请判断∠MPN的大小是否为定值．若是，求出其度数；若不是，请说明理由．

参考答案1.D

2.B

3.D

4.A

5.A

6.B

7.B

8.B

9.A

10.D

11.C

12.B

13.(2,5)

14.−9

15.(1,0)

16.x1=2，17.18°

18.4

19.解：(x−3)(x−1)=0，

x−3=0或x−1=0，

所以x1=3，x20.解：−12+(3−π)021.解：(1)如图：△A1B1C1即为所求；点C1的坐标(−3,−5)．

(2)如图：22.(1)证明：如图，连接AE．

∵AB是圆O的直径，

∴∠AEB=90°，

即AE⊥BC．

又∵AB=AC，

∴AE是边BC上的中线，

∴BE=CE；

(2)解：∵AB=6，

∴OA=3．

又∵OA=OD，∠BAC=54°，

∴∠AOD=180°−2×54°=72°，

∴AD的长为：72×π×3180=23.解：(1)∵8−6=2，

∴抛物线的顶点坐标为(2,3)，

设抛物线为y=a(x−2)2+3，

把点A(8,0)代入得：36a+3=0，

解得a=−112，

∴抛物线的函数表达式为y=−112(x−2)2+3；

当x=0时，y=−112×4+3=83>2.44，

∴球不能射进球门．

(2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112(x−2−m)2+3，

24.(1)证明：连接OC，

∵点C是BE的中点，

∴BC=CE，

∴∠BAC=∠CAE，

∵OC=OA，

∴∠OCA=∠OAC，

∴∠OCA=∠CAD，

∴OC//AD，

∵AE⊥CD，

∴OC⊥DF，

∵OC是⊙O的半径，

∴CD是⊙O的切线；

(2)解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BAC=30°，

∴∠CAD=∠BAC=30°，

∵∠D=90°，CD=3，

∴AD=3CD=3，25.解：(1)①a=−4，y=x2+2ax+a−3=x2−8x−7；

②当x=−b2a=4时，y取得最小值为：16−32−7=−23；

(2)合理，理由：

∵1>0，故函数有最小值，

当x=−b2a=−a时，y取得最小值，

故甲同学的说法合理；

(3)正确，理由：

当x=−a时，y=x2+2ax+a−3=−26.解：(1)证明：由旋转的性质可得DB=DF，∠BDF=60°，AB=EB，∠ABE=60°，

∴△BDF是等边三角形，BD=BF，

∴∠DBF=∠ABE=60°，

∴∠DBF−∠ABF=∠ABE−∠ABF，

∴∠ABD=∠EBF，

在△BDA与△BFE中，

{BD=BF∠ABD=∠EBFAB=EB,

∴△BDA≌△BFE(SAS)；

(2)证明：由(1)可知△BDF是等边三角形，

∴∠BFD=∠BDF=60°，

∵当C，D，F，E共线时，CD+DF+FE最小，

∴∠BFE=180°−∠BFD=120°，

∵△BDA≌△BFE，

∴∠BDA=∠BFE=120°，

∴∠ADF=∠BDA−∠BDF=120°−60°=60°，

∴∠ADF=∠BFD，

∴AD//BF；

(3)∠MPN的大小是定值，理由如下：

∵M，N，P分别是DF，AF，AE的中点，

∴MN//AD，MN=12AD，PN//EF，PN=12EF，

∵△BDA≌△BFE，

∴∠BEF=∠BAD，AD=EF，

∴MN=PN，

∵