【均值不等式在初等数学中的应用探究5700字（论文）】

均值不等式在初等数学中的应用研究目录TOC\o"1-2"\h\u121701前言 1277342均值不等式 1258992.1均值不等式的定义 1264182.2均值不等式的几何背景 2278992.3均值不等式及其变形 39453如何运用均值不等式求解最值 492883.1求解函数的最值 4157543.2生活中的最优化问题 8176983.3运用均值不等式解决几何中的最值问题 999704运用均值不等式比较一些代数式的大小 10326795均值不等式在证明特殊不等式中的应用 118435.1利用综合法证明不等式 11303415.2利用换元法证明不等式 12276676使用均值不等式常见的错例分析 121676.1漏记“一正”条件造成的错误 13313336.2连续使用均值不等式时等号成立条件不一直导致的错误 13248717结束语 14412参考文献 15摘要；均值不等式是高中数学教学的一个重要内容，在高中数学中合理地去使用均值不等式可以使一些解题过程简单化.均值不等式本身并不难理解，但要灵活地应用它去解决我们遇到的数学问题是很有难度的.因此本文就均值不等式历史起源、均值不等式的证明过程和均值不等式在初等数学中的一些应用等方面进行研究.关键字：均值不等式；初等数学；高中数学中的应用1前言众所周知等量关系是我们数学学习生涯中最常见的一种数量关系，然而除了等量关系之外，另一种数量关系不等关系在我们数学学习生涯中也占有一席之地.不等式是不等关系的重要表现形式，不等式不仅表示不等关系，而且在求解函数最值、比较大小、证明不等式等方面都要重要作用.均值不等式作为不等式的一个重要的分支，均值不等式自身包含着等价和非等价关系，在新课改下，均值不等式的内容有所删减，然而作为数学中应用最广泛的不等式之一，均值不等式是高中代数的重要知识点，也是高考命题的热点，近几年它在高考中出现的频率也非常高.因此本文主要从均值不等式在求解函数最值、比较大小、证明不等式等方面进行研究.2均值不等式2.1均值不等式的定义均值不等式又称为平均不等式或平均值不等式，它是高中数学数学中的重要内容，即公式的数学表达式为，其中；，被称为调和平均数.，被称为几何平均数.，被称为算数平均数.，被称为平方平均数.2.2均值不等式的几何背景2.2.1赵爽的“弦图”公元3世纪，中国数学家赵爽“负薪余日，聊观《周髀》”，他在给《周髀算经》“勾股网方图”作注时，给出图1所示的“大方图”.即用数学符号语言表示为若直角三角形两直角边为则，，从而可得到不等式REF_Ref28028\r\h[1].2.2.2欧几里得的矩形之变欧几里得在《几何原本》卷六命题13中给出了两条已知线段之间的几何中项的作图法，如图2，以AB为直径做半圆ADB，则CD为AC和CB之间的几何中项.由欧几里得的这种作图法，若设AC=，CB=，则CD=，AB=，我们可以发现是三角形ADB的外接圆的半径，添上外接圆O的半径OD（如图3），则OD=因CDOD，所以，这便是均值不等式的几何意义.2.2.3芝诺多鲁斯的等周问题在欧几里得之后，数学家芝诺多鲁斯，他写了一本名为《论等周图形》的书，专门研究等周问题.在书中，他给出了许多命题，其中一个是：“在边数相同、周长相等的所有多边形中，等边且等角的多边形的面积最大.”即在四边形中，我们考虑长为，宽为的矩形以及与之等周的正方形（边长为），即有不等式.综上所述，通过对这些历史资料的研究，仿佛再现了均值不等式的“源头”，揭示了均值不等式的历史意义，值得我们细细品味.2.3均值不等式及其变形均值不等式的表达式为.，当且仅当时可以取“=”.本文中所应用到的均值不等式及其变形公式有REF_Ref15027\r\h[2]：（1）若，则；（当且仅当时可以取“=”）（2）若，则；（当且仅当时可以取“=”）（3）若，则；（当且仅当时可以取“=”）说明；（1）与是均值不等式常见的两种表现形式.（2）这是求解最小值的有力武器.（3）与为均值不等式的变形公式.（4）“当且仅当”的含义是存在并且仅仅在这些条件成立的时候.（5）观察上式可以得出这样的结论；和定积最大；积定和最小.在使用均值不等式时需要注意均值不等式的使用口诀“一正二定三相等”.“一正”指的是在使用均值不等式时、的符号为正.“二定”指的是在不等式中、的积（或和）是一个定值.“三相等”指的是不等号成立的条件是在的时候.3如何运用均值不等式求解最值3.1求解函数的最值函数是我们初等数学中接触的知识，而函数的最值问题一直是初等数学中的重点和难点，同时函数最值也是高考的一个热门考点，而均值不等式一直是攻破解函数最值的最有力的武器，所以如何使用均值不等式去解决函数的最值问题就显得格外重要REF_Ref27456\r\h[3].少数函数式可以直接通过运用均值不等式进行求解，而大多数函数都不行，这时我们就需要通过我们学过的代换、分离、拼凑等多种方法来化简函数式，下面就分享一些解决函数问题的技巧和方法.3.1.1直接使用均值不等式求解最值例1已知，求的最小值.解；因为，所以，当且仅当时等号成立，即时有最小值，最小值为4.例2若，求的最小值.解；因为所以（当且仅当时等号成立）注；1）我们在解决此类问题时通过观察，便可看出可以直接使用均值不等式进行求解，在解题时需要注意不等式中的各项是否都为正数，然后带入公式直接求解即可.2）求解最值时一定要注意只有在等号成立时函数才能取到最值，否则不能使用均值不等式求最值.3.1.2配凑项后使用均值不等式例3已知，求函数的最大值.[4]解；恒大于0.当且仅当，即时等号成立，所以上式最大值为1.例4已知，求=的最大值.解；0<<，3-2>0当且仅当，即时等号成立，因为，所以上式最大值.评析；我们在进行解题时往往会出现不能直接运用均值不等式进行求解的题，此时可以通过观察，看能否通过增加或者减少某些项来满足均值不等式的使用条件，待满足均值不等式的使用条件后再使用均值不等式进行求解REF_Ref22766\r\h[5].3.1.3“1”代换后使用均值不等式例5已知，，求的最小值解；（当且仅当时可以取等号成立），又，可得时，.例6设，且，则的最小值为多少.解；因为，又因为，所以当且仅当时等号成立，故的最小值为4.评析；在解题时合理的运用数字“1”，可以起到事半功倍的作用，除上述直接给出的“1”的代换外，还应时刻牢记，这是个隐藏的条件有时题目不会明确给出.3.1.4平方后使用均值不等式例7求=的最大值.解；因为根号下两个式子的和为定值，所以又因为，所以，当且仅当，即时可以取等号.所以上式最大值为.例8已知，求函数的最大值.解；因为，所以.所以所以，当且仅当，即时等号成立.所以上式最大值为.评析；在解题时，如果解析式带有根号，可以将解析式两边同时平方，或立方n次方，然后在使用均值不等式进行解题.3.1.5换元后使用均值不等式例9求函数的最大值.解；令；则；当，.当时，；当且仅当，即时，可以取等号.所以时，上式有最大值，最大值为.评析；通过使用换元法，可以把原来杂乱无章的解析式转化为通俗易懂的式子，可能转化的过程比较复杂，但是换元后往往可以直接使用均值不等式进行求解.3.1.6引入参数后使用均值不等式例10求函数的最小值.[6]解；由题意得引入待定参数，且，则有当且仅当，即时等号成立，此时，所以上式的最小值为.例11求函数在区间上的最大值和取到最大值时的的值.解；引入两个正实数后利用均值不等式求解；；当且仅当且，即时等号成立，所以当时，上式最大值为.评析；在面对和（或积）不满足均值不等式使用条件的函数时，可以换一种解题思路试试，比如引入参数，引入参数后使得新的函数式满足均值不等式的使用条件再对其使用均值不等式求解.3.2生活中的最优化问题数学是人们对生活的总结，而解决生活中数学问题是生活对数学的反馈，生活中常见的数学问题有土地资源规划和商业投资等，解决这类数学问题往往需要结合实际情况建立数学模型在通过对模型的分析和求解从而得出最优的方案，而攻破数学模型的最有力的武器便是均值不等式，而解决问题的关键就是把均值不等式与这些最优化问题联系在一起，如何使用均值不等式就显得尤为重要，本文就如何解决这类数学问题得出以下几个结论：（1）首先仔细阅读题目，理解题意，设置合适的变量（在设置变量时一般把要求的最值的变量定为未知数）（2）挖掘并整理题目中给出的信息，根据这些信息建立函数关系式，从而把实际生活中的问题转化为数学问题，运用均值不等式对所建立的函数关系式进行求解，以此来直接解决数学问题，从而间接解决实际问题.（3）要注意所设函数的变量的使用范围以及条件.例12某学校计划修一个篮球场，已知篮球场是由学校与后门相连的一道足够长的围墙和100米的篱笆所围成的一个矩形场地，问怎样围才能使篮球场的面积最大？解；设围墙的邻边长为米，则围墙对边长为米，那么所围场地的面积为当且仅当，即米时，所围成的面积最大，最大面积为1250平方米.例13某可乐工厂准备投入适当的广告费对可乐进行促销，在一年内，预计年销量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系式为，已知生产可乐每年固定投入为3万元，每生产1万件可乐还需要再投入32万元，如果每件销售价为“年平均每件成本的150%”与“年平均每件所占产广告费的50%”之差，求年广告费投入多少时，企业利润最大？REF_Ref26077\r\h[13]解；假设该工厂的年利润为万元，所以年成本为万元，年收入为万元，则年利润，整理后得，所以.当且仅当，即时等号成立，该工厂的最大年利润为42万元.3.3运用均值不等式解决几何中的最值问题均值不等式这一利器，不仅是攻破函数最值得有利武器，而且在平面几何和立体几何求解最值问题的过程中也常常有出色的表现，一般先由题意列出等式，再由等式转化为不等式，最后用均值不等式进行求解.例14一圆柱的轴截面周长是一个定值，那么该圆柱的体积最大为多少？解；设该圆柱的半径和高为别为，体积为.则该圆柱的轴截面表达式为，化简后为；所以该圆柱的体积，所以该圆柱的最大体积为.4运用均值不等式比较一些代数式的大小不等式本身作为式就存在大小，而比较代数式的大小就显得尤为重要.在初等数学中我们也学习了许多比较代数式大小的方法，常见的有分析比较法、放缩法等.然而均值不等式本身就表示了两个代数式的大小关系，在进行代数式的大小比较时，在恰当的时机运用它可能会出现意想不到的效果，甚至有些很难比较大小的式子都能将其简化.例15若，，则的大小关系为？解；有题意可知，所以；所以有，所以；同理可得，所以.故的大小关系为.评析；我们在使用均值不等式时不能只想到它的表达式，当运用均值不等式出现困难时，如果把目光放到它的变形式上，可能出现新的突破口.例16若则的大小关系为？解；因为，当时等号成立；；所以的大小关系为.评析；均值不等式是在高中才开始接触的不等式，虽然我们接触它的时间很短暂，但是它却是非常重要的一类不等式，在很多时候巧妙灵活的运用均值不等式可以简化解题过程，在比较大小中，如果能灵活运用均值不等式，可以巧妙的得出结论.5均值不等式在证明特殊不等式中的应用在现阶段数学学习生涯中，我们学习了很多种证明不等式的方法，比如我们熟知的综合法、换元法等，如果我们在证明不等式成立的过程中巧妙地结合均值不等式，说不定能让问题变得更容易求解.本文就例举几个常见的证明不等式的方法进行研究REF_Ref18795\r\h[7].5.1利用综合法证明不等式例17假如是互不相等的正数，求证.解；由题意得，所以；又因为为互不相等的正数，所以；所以，即得证.评析；本小题在证明不等式的过程中巧妙运用了均值不等式，使计算变得更加简便.例18已知，求证；.解；因为，所以；同理可得，；三式相加有；即，得证.小结；证明不等式的方法有很多种，运用综合法证明不等式，其实就是合理的利用所有的已知的条件与均值不等式相结合从而进行求解的方法，该方法理解与应用起来比较简单，适合大多数不等式的证明，合理的应用往往能使解题过程简单化.5.2利用换元法证明不等式例19证明；若，则；解；设，，，则；所以；当且仅当，即时等号成立；所以；即；所以原式成立.评析；在证明不等式时可以通过换元来使不等式的项变多（或者变少），用这种方法可以使原来不满足均值不等式使用条件的不等式可以使用均值不等式或其变形式.6使用均值不等式常见的错例分析我们在使用均值不等式（，当且仅当“”时取等号）时常常会出现一些使用不当的现象，大到公式使用时机，小到运算符号，这些使用不当出现的错误都是可以通过更深入的了解均值不等式去避免的.本文就例举几个在使用均值不等式时常常出现的错误来研究REF_Ref14125\r\h[8].6.1漏记“一正”条件造成的错误例20已知，求的最值.错解；为定值，，的最小值为4.错解分析；虽然=4为定值，但是因为，，此时不能直接使用均值不等式，必须要将转化为正数能运用均值不等式进行求解.正解；，，，，所以，当且仅当即时可以取等号，所以上式的的最大值应为-4.6.2连续使用均值不等式时等号成立条件不一直导致的错误例21已知，，，求的最小值.错解；由题意可知，可得，所以得，所以上式的最小值为24.评析：上式在计算时没有仔细阅读题目，而盲目使用了两次均值不等式，导致了错误，正确的解法应该是使用1的代换.正解；，当且仅当时等号成立，所以上式的正确解为25.小结；我们在使用均值不等式时，或多或少都会存在一些计算上的失误和公式使用上的错误，以上是我举的两个常见的均值不等式使用错误导致计算错误的例子，让我们更加熟悉均值不等式，从而能更好的去使用它.7结束语均值不等式是我们在高中阶段才开始接触的新内容，它的运用范围非常的广泛，所