随机过程：随机过程的基本概念

随机过程第二章随机过程的基本概念本章学习的主要内容★随机过程的概念和定义★随机过程的统计特性分析★平稳随机过程★各态历经过程★随机过程的联合分布与互相关函数★随机过程的功率谱密度2.2随机过程的统计特性分析★随机过程的概率分布★随机过程的示性函数★随机过程的特征函数本堂课的作业★第99页习题2.32.42.5★第99页习题2.262.272.2.1随机过程的概率分布★问题的提出已知随机过程是随时间变化的随机变量，在确定的时刻t，随机过程就是通常的随机变量。如果取n个确定的时刻t1,t2,…tn

，则随机过程X(t)相应地表现为n个随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)。当n足够大，时间间隔△t=ti-ti-1足够小时，这些随机变量便可足够精确地表示出随机过程的变化特性。因此，在一定近似程度上，我们可用研究多维随机变量的方法来研究随机过程。根据以上理解，我们可以给出描述随机过程统计特性的分布函数和概率密度。2.2.1随机过程的概率分布★随机过程的一维分布函数在某固定时刻t1,随机过程X(t)就是一维随机变量X(t1)。根据随机变量分布函数的定义，X(t1)的分布函数为FX(x1)=P{X(t1)≤x1}。式中x1为随机变量X(t1)的某一取值。推广到随机过程的情况，若t取任意可能的时刻，x为此时刻X(t)的取值，则随机过程X(t)的一维分布函数定义为：

FX(x,t)=P{X(t)≤x}(2.2.1)

由上式可知，随机过程X(t)的一维分布函数取决于给定时刻t和相应的取值x。实际上，求已知随机过程X(t)的分布函数就是要知道所给定时刻的随机变量的一维分布函数。2.2.1随机过程的概率分布★随机过程的一维概率密度与随机变量的情况一样，如果随机过程X(t)的分布函数存在着对x的偏导数，则定义下式(2.2.2)为随机过程X(t)的一维概率密度：如果知道了随机过程的一维概率密度，也就确定了所有时刻上随机变量的一维概率密度。随机过程的一维分布函数和一维概率密度具有一维随机变量的分布函数和概率密度的各种性质，所不同的是，它们还是时间t的函数。2.2.1随机过程的概率分布★随机过程的二维分布函数和二维概率密度如果将X(t1)和X(t2)分别看作是随机过程X(t)在任意两个不同时刻t1和t2的随机变量，则随机过程X(t)在t1和t2的二维分布函数定义为：

FX(x1,x2;t1,t2)=P{X(t1)≤x1,X(t2)≤x2

}(2.2.3)

同理，根据随机过程X(t)的二维分布函数就可导出相应的二维概率密度，即：

2.2.1随机过程的概率分布★随机过程的n维分布函数和n维概率密度用类似的方法，可以建立随机过程X(t)的n维分布函数和n维概率密度，即：

FX(x1,x2

…

xn;t1,t2…

tn)=P{X(t1)≤x1,X(t2)≤x2

…

X(tn)≤xn

}(2.2.5)

2.2.1随机过程的概率分布★随机过程一、二维分布的例子[例2.2.1]设随机振幅信号X(t)=Ycosω0t，式中ω0是常数，Y是均值为零，方差为1的随机变量，求在t=0,2π/3ω0

,π/2ω0时X(t)的概率密度，以及任意时刻t，X(t)的概率密度。2.2.1随机过程的概率分布★随机过程一、二维分布的例子（续）[解]当t=0时，X(0)=Y，所以fX(x,0)=fY(y)。

当t=2π/3ω0

时，X(2π/3ω0)=－Y/2，即有y=－2x，y’=－2，

由fX(x,2π/3ω0)=|y’|fY(y)得

2.2.1随机过程的概率分布★随机过程一、二维分布的例子（续）

当t=π/2

ω0

时，X(π/2

ω0)=0，也就是说，此时无论Y如何变化，

X(π/2

ω0)始终为0，即有P{X(π/2

ω0)=0}=1，所以X(π/2

ω0)的分布函数为

FX(x,π/2ω0)=u(x)

因此，fX(x,π/2ω0)=δ(x)2.2.1随机过程的概率分布★随机过程一、二维分布的例子（续）

一般而言，对任意时刻t，随机变量X(t)是Y的函数，如果cosω0t不等于零，则有y=x/cosω0t

，y’=1/cosω0t

，所以

如果cosω0t=0，即t=(±k+1/2)π/ω0

时，有

fX(x,(±k+1/2)π/ω0)=δ(x)2.2.1随机过程的概率分布★随机过程一、二维分布的例子（续）[例2.2.2]设X(t)=cos(ω0t+Φ)，式中Φ为随机变量，其样本空间S={e1,e2}，e1为φ=0，e2为φ=－π/2，出现的概率皆为1/2。即随机过程X(t)有两个样本函数：xⅠ

(t)=cosω0txⅡ

(t)=cos(ω0t－π/2)

下面来分析在t1和t2时刻上随机过程X(t)的一维和二维概率分布。2.2.1随机过程的概率分布★随机过程一、二维分布的例子（续）[解]依据题意，我们可以得出随机变量X(t1)和X(t2)的分布律如下：根据一维概率分布的定义，我们可以得出FX(x1,t1)，FX(x2,t2)，fX(x1,t1)和fX(x2,t2)。X(t1)10p(x1)0.50.5X(t2)-10p(x2)0.50.52.2.1随机过程的概率分布★随机过程一、二维分布的例子（续）我们还可以得出随机变量X(t1)和X(t2)的二维分布律如下：由此可以得出FX(x1,x2,t1

,t2)和fX(x1,x2,t1

,t2)。

X(t1)X(t2)10-11/20001/22.2.2随机过程的示性函数★数学期望数学期望表示随机过程的瞬时统计均值。★方差方差描述了随机过程诸样本偏离其数学期望的程度。2.2.2随机过程的示性函数★自相关函数数学期望和方差仅仅描述了随机过程在各个时刻上取值的特性，它们不能反映随机过程不同时刻取值之间的内存联系。两个随机过程可以具有相同的数学期望和方差，但它们各自不同时刻之间的相关性的差别却可能是很大的。为了表征随机过程在任意两个不同时刻上取值之间的联系，我们引入随机过程的自相关函数。2.2.2随机过程的示性函数★自相关函数（续）自相关函数反映了X(t)在任意两个不同时刻取值之间的相关程度。它实际上是X(t)在t1和t2的随机变量X(t1)和X(t2)之间的原点相关矩。自相关函数的绝对值越大，表示相关性越强。2.2.2随机过程的示性函数★自相关函数（续）一般t1和t2相隔越远，相关性越弱，相应的自相关函数的绝对值就越小。当t1＝t2＝t时，其相关性应当是最强的，相应的自相关函数RX(t,t)就有最大值，此时有2.2.2随机过程的示性函数★协方差函数协方差函数与自相关函数的关系为：当t1＝t2＝t时，有2.2.2随机过程的示性函数★状态离散的随机过程的示性函数

2.2.2随机过程的示性函数★不相关、正交和统计独立的概念1、若KX(t1,t2)=0，则称随机变量X(t1)和X(t2)之间不相关；2、若RX(t1,t2)=0，则称随机变量X(t1)和X(t2)之间相互正交；3、若fX(x1,x2;t1,t2)=fX(x1,t1)fX(x2,t2)，则称随机变量X(t1)和X(t2)之间是统计独立的。2.2.2随机过程的示性函数[例2.2.3]求随机相位信号的均值、方差和自相关函数。[例2.2.4]设随机过程X(t)由四条样本函数组成，每条样本函数出现的概率相等