桥梁工程的II教学案

桥梁工程n教案2

第三节拱桥计算

一、概述

1、拱桥计算主要内容

(1)成桥状态(恒载和活载作用〕的强度、刚度、稳定

性验算及必要的动力计算；

(2)施工阶段构造受力计算和验算

2、联合作用：荷载作用下拱上建筑参与主拱圈共同受

力；

(1)联合作用与拱上建筑构造形式及施工程序有关；

(2)联合作用大小与拱上建筑和主拱圈相对刚度有关，

通常拱式拱上建筑联合作用较大，梁式拱上建筑联

合作用较小；

(3)主拱圈不计联合作用的计算偏于平安，但拱上构造

不平安；

3、活载横向分布：活载作用在桥面上使主拱截面应力

不均匀的现象。在板拱情况下常常不计荷载横向分布,

认为主拱圈全宽均匀承当荷载。

4、计算方法：手算和程序计算。

二、拱轴线的选择与确定

拱轴线的形状直接影响主拱截面内力大小与分布

•压力线：荷载作用下拱截面上弯矩为零（全截面受压〕的截面形

心连线；

•恒载压力线：恒载作用下截面弯矩为零的截面形心点连线；

•各种荷载压力线：各种荷载作用下截面弯矩为零的截面形心点连

线；

•理想拱轴线：与各种荷载压力线重合的拱轴线；

•合理拱轴线：拱截面上受压应力均匀分布，能充分发挥与工材料

良好的抗压性能；

•选择拱轴线的原那么：尽量降低荷载弯矩值；考虑拱轴线外形与

施工简便等因素。

（一）圆弧线

圆弧线拱轴线线形简单，全拱曲率一样，施工方便：

£/时，利用上述关系计算各种几何量。

见?拱桥（上）？第151页表1和表2。

（二）抛物线

在均匀荷载作用下，拱的合理拱轴线的二次抛物线，适宜于恒载

分布比拟均匀的拱桥，拱轴线方程为

在一些大跨径拱桥中，也采用高次抛物线作为拱轴线，例如

KRK大桥采用了三次抛物线。

（三）悬链线

实腹式拱桥和空腹式拱桥恒载集度1单位长度上的恒载〕的区

别与变化。实腹式拱的恒载压力线的悬链线（后面证明），空腹式

拱桥恒载的变化不是连续的函数，如果要与压力线重合，那么拱轴

线非常复杂。

五点重合法：使拱轴线和压力线在拱脚、拱顶和1/4点重合来

选择悬链线拱轴线的方法，这样计算方便。目前大中跨径的拱桥都

普遍采用悬链线拱轴线形，计算说明，采用悬链线拱轴线对空腹式

拱桥主拱受力是有利的。

1、拱轴方程的建立

（1）坐标系的建立：拱顶为坐标原点，yl向下为正；

（2）对主拱的受力分析：

・恒载集度：g〃，gx，gj

gx=gd+ZVi，gj=gd+好=mgd

y=，gx=grf[l+（?/z-l）y]

・拱顶轴力：Hg,因拱顶圾=02=0

•对拱脚截面取矩：凡（「2-12）

f

•对任意截面取矩：（1-2-13）

H.

（3）恒载压力线根本微分方程建立

•对［1-2-13）式两边求导得：

屋m=1d2M=维（1-2T4）

22

dxHgdxHg

•为简化结果引入参数x=l^

勺=加+公为，r=j£^L（m_i）a-2-21）

dfHgHgf

（4）根本微分方程的求解：

•二阶非齐次常系数微分方程的通解为：

•微分方程的特解为：%=-也

Hg

•边界条件：4=0时，丫］=0,绡=0

•悬链线方程为：%=’（ch花-1）（1-2-22）

m—1

当拱的跨径和矢高确定后，拱轴线坐标取决于加，各种不

同加所对应的拱轴坐标可由?拱桥（上）？第575页附录HI表

（111）-1查出；

（5）三个特殊关系：

•当时，chk=m；=ln（m+yim2-1）

•当相=Lgj=g.时，％=f铲

•当&=1/2,%=%/4，由（1-2-22）式得：

m+1

2[1—2—24)

m-1m-1,2(m+1)+2

2、拱轴系数确实定

悬链线拱轴方程的主要参数是拱轴系数

（1）实腹式拱拱轴系数确实定

九心九分别为拱顶填料、主拱圈和拱腹填料的容重；

田,dm,乙分别为拱顶填料厚度、主拱圈厚度、拱脚拱腹填料厚

度及拱脚处拱轴线水平倾角。

确定拱轴系数的步骤：

•假定m

•从?拱桥（上）？第1000页附录HI表QH）-20查cos%

•由（1-2-25）式计算新的勿

•假设计算的勿和假定力相差较远，那么再次计算加值，直到

前后两次计算接近为止。

以上过程可以编制小程序计算。

（2）空腹式拱拱轴系数确实定

•拱轴线变化：空腹式拱中桥跨构造恒载分为两局部：分布恒

载和集中恒载。恒载压力线不是悬链线，也不是一条光滑曲线。

•五点重合法：使悬链线拱轴线接近其恒载压力线，即要求拱

轴线在全拱有5点（拱顶、拱脚和1/4点〕与其三较拱恒载压力

线重合。如图l-2-135bo

•五点弯矩为零的条件：

#1、拱顶弯矩为零条件：Md=0,Qd=0,只有轴力4

#2、拱脚弯矩为零：H

f

#3、1/4点弯矩为零：”=亚吆

J1/4

#4、fl-2-27）

f%/4

主拱圈恒载的2必/4,2加,可由?拱桥（上）？第988页附录IH

表（111）-19查得

•拱轴系数确实定步骤：

#1、假定拱轴系数m

#2、布置拱上建筑，求出之心/甘之”）

#3、利用C1-2-24）和［1-2-27）联立解出m为

机=工（——2）2-1fl-2-28）

2九4

#4、假设计算m与假定m不符，那么以计算m作为假定值m重新

计算，直到两者接近为止。

•三较拱拱轴线与恒载压力线的偏离值

以上确定m方法只保证全拱有5点与恒载压力线吻合，其余

各点均存在偏离，这种偏离会在拱中产生附加内力，对于三校拱

各截面偏离弯矩值加。可用拱轴线与压力线在该截面的偏离值

△y表示，即

・空腹式无钱拱的拱轴线与压力线的偏离

对于无钱拱，偏离弯矩的大小不能用表示，而应

以该偏离弯矩作为荷载计算无较拱的偏离弯矩；

由构造力学知，荷载作用在根本构造上引起弹性中心的赘余

力为：

PM[Mpds

JEIJ4

AX1=—颐

S―Hg[1-2-29〕

为--2型

pMxds

JEIJI

ss

「M2Mpds

IEI

P=(1-2-30)

AX=-—=H士~--

2gQ2ds

2ds

JEIJI

ss

其中Mp=Hg\y,M=l,“2=7

上述(1-2-29)其值较小，(1-2-30)其值恒为正(压力)，

任意截面之偏离弯矩为：

AM^AXl-AX2y+Mpfl-2-31}

拱顶和拱脚弯矩为：

△%=AX]+找2(/-”)＞。[1—2—32)

”是弹性中心至拱顶的距离。

”空腹式无较拱采用五点重合法确定拱轴线，是与相应的三

较拱压力线在五点重合，而与无较拱压力线实际上并不存在五点

重合关系(1-2-32)。但偏离弯矩恰好与控制截面弯矩符号相反,

因而，偏离弯矩对拱脚及拱顶是有利的。

(3)拱轴系数取值与拱上恒载分布的关系

•矢跨比大，拱轴系数相应取大；

•空腹拱的拱轴系数比实腹拱的小；

•对于无支架施工的拱桥，裸拱机。1,为了改善裸拱受力状态，

设计时宜选较小的拱轴系数；

•矢跨比不变，高填土拱桥选小加，低填土拱桥选较大加；

3、拱轴线的水平倾角

对拱轴线方程求导得：

tg(p==也'=-—shk^,k=ln(m+dm2-V)

dxl\djl(jn-1)

拱轴线各点水平倾角只与f/1和m有关，该值可从?拱桥

(上〕？第577页表［III)-2查得。

4、悬链线无较拱的弹性中心

在计算无钱拱内力时，为了简化计算常利用弹性中心的特

点；无较拱根本构造取法有两种：悬臂曲梁和简支曲梁。

必可从?拱桥〔上〕？第579页表（III）-3查得。

（四）拟合拱轴线

1、必要性和可行性

前面确定拱轴线的特点是采用五点重合法，即利用拱轴线

的五点来逼近压力线，但随着桥梁跨度的增大，五点显得越来

越少，导致一些截面偏离弯矩较大，有必要采取多点重合法来

逼近压力线。

随着现代构造分析理论开展和计算技术在桥梁设计中的

广泛应用，在拱桥设计中采用通过优化拟合而成的某一曲线作

为拱轴线称为可能，目前常用的拟合方法有：最小二乘法，样

条函数逼近法等。

2、确定函数逼近准那么

压力线与拱轴线任意对应点的残差均到达最小

2=max|/（x;）-y；|—>min（z=1,2,3,1••,«）（1一2-39）

3、确定约束条件

满足（「2-39）的条件的曲线不一定是我们希望的拱轴线,

因此，必须要有约束条件使之成为较好的拱轴线。这些条件包

括坐标原点通过拱顶、拱脚竖坐标为矢高，凸曲线的条件等。

4、建立拟合数学模型

将逼近准那么与约束条件相结合:

拱轴线的拟合可以逐次逼近实现。

三、拱桥内力计算

(一)手算法计算拱桥内力

手算和电算的区别

1、等截面悬链线拱恒载内力计算

(1)恒载内力、弹性压缩引起的内力、拱轴线偏离引起的

内力(主要针对手算法)

(2)不考虑弹性压缩的恒载内力一无矩法

①实腹拱

认为实腹式拱轴线与压力线完全重合，拱圈中只有轴力而

无弯矩，按纯压拱计算：

恒载水平推力：

H叱=左叱=(0.128~0.18)叱fl-2-42)

84k2fsff

拱脚竖向反力为半拱恒载重力：

匕=fgxdx=­~——gdl=k'ggdl=(0.527~0,981)g,/(1-2-43)

021n(〃2+J/-1)

拱圈各截面轴力：N=Hg/cos(p

式中：与,您可从?拱桥(上)？第580页表(HI)-4查得。

②空腹拱：空腹式悬链线无较拱的拱轴线与压力线均有

偏离，计算时分为两局部相叠加：无偏离恒载内力+偏离影响的

内力=不考虑弹性压缩的恒载内力。

无偏离时：

匕=Z4(半拱恒载重力)

偏离弯矩：对中小跨径空腹拱桥不考虑该值偏于平安；对于

大跨径空腹拱桥对拱顶、拱脚有利，对1/8、3/8截面有不利，

尤其3/8截面往往成为正弯矩控制截面。偏离弯矩为：

△N=AX2cos0

AM=+NX,(yi-ys)+HgAy[1-2-45)

△Q=AX2sincp

偏离附加内力大小与拱上恒载布置有关，一般腹拱跨大影

响大。

(3)弹性压缩引起的恒载内力

在恒载轴力作用下，拱圈弹性压缩表现为拱轴长度缩短，这

必然会引起相应的附加内力。

拱顶变形协调条件：

A///'22-AZ=O(1-2-46)

AH,=%上」(1-2-51)

gg1+〃

pcos2cpds

式中：XfA=-—l

心E以心

EI]El

上述公式中：

•f—=(0.086~0,119)^,可从?拱桥(上)？第581页表(IH)

,EIEI

-5查得；

•—=(1.247~1.03),-=(0.824~0.975),可从?拱桥(上)？第607页表

匕V

(III)-8和第609页表(III)-10查得；

/\2/\2

•=(10.54-11.92)-和〃=(6.967-11.31)—,可从？拱桥(上)?

、于)>

第608页表(III)-9和第610页表(III)-11查得;

由于八%的作用在拱内产生的内力为：

N=——"一"。COS69

1+〃g

MHg(y$-(1-2-55)

Q=+-^—Hsin。

可见考虑弹性压缩，在拱顶产生正弯矩，压力线上移；拱脚

产生负弯矩，压力线下移。即实际压力线不与拱轴线重合。

85桥规规定，对于跨径较小，矢跨比拟大的拱桥可不计弹

性压缩影响：l<30m,f/l>l/3;/<20m,///>l/4；I<10m,f/l>l/5o

(4)恒载作用下拱圈的总内力

①不考虑弹性压缩的内力+弹性压缩产生内力

H

N=—------^Hcos(p

cos。l+〃

M=-^Hg(ys-yi)(1一2-56)

1+4

Q=+-^—Hsin。

l+〃

②不考虑弹性压缩内力+弹性压缩内力+拱轴偏离内力

N/

+2coso—-(Hg+A^C2)COS9

COS。1+48

M=-^-(凡+小2)(%-%)+攻fl-2-57)

1+4

。二干(H+AX)sin^9±AXsin(p

一]+"22

Jy\yds

式中：*z=Hg-------,AM=AX-AXy+H/^y,即按

y1dsi2g

(1-2-30)和2-31)计算。

(5)用影响线加载法计算恒载内力

为了简化计算，可采用影响线加载法计算恒载内力，通

过影响线和恒载布置形式可制成计算系数表格,供查用，见?

拱桥(上)?第830—973页表(HI)-17(1)—17(144)。

该方法计算分两步：

%1、在不计弹性压缩影响线上计算恒载内力得到不计

弹性压缩内力；将拱桥恒载分解为三大局部：空腹拱段的集

中力，实腹段分布力和主拱圈。

%2、在不计弹性压缩内力根底上计算弹压内力；然后将

这两局部叠加即为恒载内力。

不计弹性压缩时的恒载计算如下：

路面荷载："=心幻劭"2/1。。0

N=kNhdByxU\QQ

填料荷载："=右劭2-”00°

N=kNBy2l-HQQ

拱圈重力：M=%/A/3/2/100

、N=kNAy3l

空腹拱集中力：M=k'-lPi

N=k\Pi

式中：%,%，匕是路面、填料和拱圈材料的容重；瓦力是拱圈宽度和

拱圈截面积；右是两半拱相应立柱处内力影响线坐标之和。

表中实腹段填料是按桥面纵坡为零计算的，假设桥面设置竖曲

线，那么实腹段填料厚度将发生变化，表中数值需要修正。

2、等截面悬链线拱活载内力计算

（1）荷载横向分布系数

拱桥属于空间构造，在活载作用下受力比拟复杂，实际中常

常通过荷载横向分布系数形式将空间构造简化为平面构造计算。

•板拱桥的荷载横向分布系数：均匀分布

〃二一C取T〃二一C

Bn

其中：。为车列数，8为拱圈宽度，〃为拱箱个数。

•肋拱桥荷载横向分布系数：偏平安地用杠杆法计算

(2)内力影响线

①赘余力影响线

求拱中内力影响线时，常采用简支曲梁为根本构造，赘余力为

Xpx2,x3,根据弹性中心特点，所有副变位均为零。

A

X”“+M=OX|=-$lp

X2^22+A9„=0X[=—J]1—2—60)

A.

X3^33+A3p=0乂3=一寸~

式中分子是载变位，分母是常变位值。假设不考虑轴向力、剪

力及曲率对变位的影响，那么有：

式中：仁,查?拱桥(上)？第607页(HI)-8、第581

EI匕ElEI

页(III)-5、第582页表(III)-6；

跖=1是当X1=1时在根本构造任意截面上产生的弯矩；

跖2=%-X是当X2=1时在根本构造任意截面上产生的弯矩；

而3=±%是当X3=1时在根本构造任意截面上产生的弯矩；

Mp为单位荷载作用在根本构造上，任意截面产生的弯矩；

显然/工为拱轴线弧长。

为了计算赘余力，一般将拱圈沿跨径方向分成48等分，

当单位荷载从左拱脚移动到右拱脚时，可计算出在各分点上的赘余

力X，X2，X3数值（即影响线竖坐标值），由此即得x1,x2,x3的影响线,

如图1-2-146所示。

②内力影响线

求出赘余力影响线后，拱中任意截面内力影响线均可利用静力

平衡条件建立计算公式借助叠加法求得。

•水平推力乜影响线：H1=X2,各点影响线竖坐标可查?拱桥

（上）?第6n页（III）-12o

•拱脚竖向反力影响线：V=V0+^3

•任意截面的弯矩影响线：如图1-2-47所示，拱中各截面不

考虑弹性压缩的弯矩影响线坐标可查?拱桥（上）？第623页

（III）-13o

•一般不用N、Q的影响线求内力，而是先求出水平推力和拱

脚竖向反力，然后计算轴力和弯矩；

轴力：拱顶截面：N=Hl；拱脚截面：N=H、coscpj+Vsin（pj

其它截面：NxH[/coscp

剪力：拱顶截面和其它截面：数值很小，一般不计算；

拱脚截面：Q=%sin9j-Vcos4

•拱的内力影响线也可直接采用电算求得。

（3）内力计算

拱是偏心受压构件，最大应力由弯矩M和轴力N共同决定,

但布载往往不能使M、N同时到达最大，一般按最大（最小〕弯

矩布载，求出最大弯矩及其相应轴力及剪力等。利用影响线求

内力有直接布载法和等代荷载法

•直接布载法

是以荷载值直接乘以相应位置影响线竖坐标值求得。

•等代荷载法

是以等代荷载值（车辆等）乘以相应影响线面积求得。常用

活载的等代荷载可从公路桥涵设计手册?根本资料?第58页表

1-23查得；影响线面积可从公路桥涵设计手册?拱桥（上）？第

732页表（111）-14查得;

例题：等截面悬链线无较拱，l=50m,f=10m,m=2.24,桥面宽度

为净-7米，计算汽车20级荷载作用下拱脚最大正、负弯矩及

相应轴力。

解：¥1、拱脚最大正弯矩及相应轴力

（¥1）根据〃2=1/5,加=2.24查?拱桥（上）?第1010页的拱脚

水平倾角的正弦和余弦：sin%=0.68284,cos%=0.73057

（¥2）根据/=50加，拱脚最大M及汽车-20查?根本资料?第74

页的等代荷载：6=19.478左N/私K”=18.070,%=16.879左N/m

（¥3）根据〃/=1/5,爪=2.24查?拱桥（上）？第774页的影响

线面积・①M=0.01905/2,G”=0.09067Z2//,

cov—0.16622/,o)N=0.44469/

(¥4)拱脚最大弯矩:

N="1cos9,+Vsin%=819.2x0.7357+280.6x0.68284=790.W

¥2、拱脚最大负弯矩及相应轴力

(¥1)根据/=50加，拱脚最大M及汽车-20查?根本资料?第79

页的等代荷载：KM=23.547左N/7〃,K“=10.932,%=16.724kNhn

(¥2)根据/〃=1/5,加=2.24查?拱桥(上)?第774页的影响

线面积・①M=-0.。1465/2,口"=0.03675Z2//,

CDV—0.33378Z,coN=0.36216/

(¥3)拱脚最大弯矩:

N=&cos/+Vsin9「200.9x0.73.57+558.2x0.68284=527.9左N

・活载弹性压缩计算

活载弹性压缩与恒载弹性压缩计算类似，也在弹性中心产

生赘余力△〃="/凡2，经计算

AH=H.fl-2-70)

l+〃

因此，活载弹性压缩引起的内力为:

AZV=AHcos(p=——^—H\cos(p

1+4

AM=-AHy=-^Hly[1—2—73]

1+4

△Q-±AHsin0二干Hxsincp

「]+4

考虑弹性压缩后总的活载推力为

将不考虑弹性压缩的活载内力与活载弹性压缩产生的内

力叠加即得到活载作用的总内力。

•常用电算求出构造内力影响线并用直接布载法求出的内力，

已经考虑了弹性压缩影响，所求内力为最终内力。

3、等截面悬链线拱其它内力计算

在超静定拱桥构造中，温度变化、混凝土收缩及拱脚变位

都会引起附加内力。我国许多地区温度变化幅度大，温变不容无

视，尤其现浇碎拱的收缩可使拱桥开裂；在软基上建造拱桥，墩

台变位影响比拟突出，拱脚水平位移影响更为严重，根据观测资

料，两拱脚相对水平位移A/z>/1200时，拱的承载力会大大降低,

甚至破坏。

(1)温度变化产生的内力

假设大气温度比合拢温度高，会膨胀，比合拢温度低那么会

收缩，总之，温度变化都会引起弹性中心内力：

M

,=~Hty=-Ht(ys-yj

拱内内力为：Nt=H,cos(p

Qt=+Htsin(p

例题：某钢筋混凝土拱桥，计算跨径l=90m,计算矢高f=18m,拱轴系数=2.24,

合拢温度为20℃,现温度为10℃,试计算由此温度差在拱顶和拱脚截面产生

的附加内力。公式中可以用6“622,旌3表示，弹性中心Ys=0.32f。

解：根据公式：H,==-0.00001x90x10/8'=-0.009/

°22°22

拱顶附加内力：

M,=-H,(ys-yl)=0.009/d'22x(0.32xl8-0)=0.0518/5%

y

Nt=Htcos。=-0.009/S^xcosO=-0.009/822

Qt=±Htsin。=0

拱脚附加内力：

2于kshk，4=M(加+J/—])=1.4456

tg5l(m-l)

2xl8xl.4456x5/zl.4456八小心

tg(pi=-------------------------------=0.9345,2=43.06

190x(2.24-1)1

Mt口也(”一%)=0.006/KNx(0.32x18-18)=-0.0734/3,22

Nt=Htcos(p=-0.006/^'22xcos^.=-0.006x0.7306/^'22=-0.0044/^'22

Qt=+Htsin。=干0.006/922xsin43.06=钓.0041/922

（2）混凝土收缩引起的内力

混凝土在凝结过程中收缩变形，其作用与温度下降相似。因

止匕将混凝土收缩影响折算为温度的额外降低，？桥规?规定：

•整体浇筑的碎构造收缩影响，一般地区相当于降温20度，枯燥

地区30度；钢筋硅相当于降低15—20度。

•分段浇筑的碎或钢筋碎构造，相当于降低10—15度；

•装配式钢筋碎构造相当于降低5—10度。

计算拱圈温度变化和混凝土收缩影响时，混凝土徐变的影响可

根据实际资料考虑，如缺乏资料时，计算内力可乘以以下系数:

•温度变化影响力：0.7

•混凝土收缩影响力：0.45

•跨径小于25米的砖石及碎预制块砌体拱桥，矢跨比大于1/5,

可不计温度变化影响力。

（3）拱脚变位引起的内力

在软土地基上修建的拱桥以及桥墩较柔的多孔拱桥，拱脚变

位的难以防止的，拱脚变位包括：拱脚水平位移、垂直位移和转

角，每一种变位都会在拱中引起内力。用力法求解如下：

•拱脚水平位移引起的内力

△HA，八.为左右拱脚水平位移，右移为正，左移为负。

两拱脚发生相对水平位移在弹性中心产生的赘余力：

两拱脚相对靠拢（金为负〕X,为正。［那可查?拱桥（上）？

1EI

第581页表（III）-5o

•拱脚垂直位移引起的内力

△叱MB为左右拱脚垂直位移，下移为正，上移为负。

两拱脚发生相对垂直位移在弹性中心产生的赘余力：

等截面悬链线的fd包可查?拱桥（上）？第582页表（III）-6；

•拱脚相对转角引起的内力

图中拱脚B发生转角％（顺时针为正〕之后，在弹性中心除产生一

样转角外，还引起相对水平位移和相对垂直位移，因此，在弹性中

心会产生三个赘余力：

”(f)(1-2-80)

其中।•必辿=|•@=查?拱桥（上）？第607页表（III）-8；

JEI\EIEI八九

fl!电可查?拱桥（上）？第581页表（111）-5。

JSEI

拱脚相对转角变位引起各截面的内力为

•水的浮力引起的内力计算

当拱圈局部被水淹没时，在设计中应考虑浮力的作用，假设水

位变化较小，应作为永久荷载考虑，否那么作为其它可变荷载考

虑；

不计弹压时，浮力产生的弯矩和轴力分别为：

左加,心是弯矩及轴力系数，可查?拱桥（上）？第830页表（III〕

-17；A为拱圈外轮廓面积；九为水容重；/是拱圈计算跨径。

4、内力调整

悬链线无较拱在最不利荷载组合时，常常出现拱脚负弯矩或拱

顶正弯矩过大的情况，为了减小它们，可从设计、施工方面采取措

施调整拱圈内力。

(1)假载法调整内力

所谓假载法调整内力，就是在计算跨径、计算矢高和拱圈厚度

保持不变的情况下，通过改变拱轴系数的数值来改变拱轴线形状，m

调整幅度一般为半级或一级。

•实腹拱的内力调整

调整前：m=—

Sd

调整后：加=立=空”

8dSd+Qx

心是虚构的，实际上并不存在，仅在计算过程中加以考虑，所以

称为假载。假载值明可根据〃六gj,g”求得以=土曾心

•空腹拱的内力