4.1等差数列（第2课时）(十三大题型)

4.1等差数列（第2课时）(十三大题型)分层练习题型1：等差数列的前n项和1．已知等差数列的前n项和为，若，，则（

）A．182 B．128 C．56 D．42【答案】D【分析】根据等差数列的通项及求和公式，列出不等式组，求得的值，代入公式，即可求得；【解析】设等差数列的首项为，公差为d，由，，得，解得，所以；故选:D.2．数列满足（），则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求，再由已知仿写作差得到，验证是否符合，最后再用等差数列的求和公式求解.【解析】由，，得，当时，，两式相减得，则，显然满足上式，因此，所以.故选：A题型2：等差数列的前n项和的基本量计算3．已知等差数列的前项和为，且，，则（

）A．81 B．86 C．88 D．192【答案】C【分析】利用等差数列前n项和、通项公式求基本量，再由通项公式求对应项.【解析】设等差数列的公差为.因为，，所以两式相减得，所以.又，所以，所以.故选：C4．设等差数列的前项和为，数列的前和为，已知，，，若，则正整数的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设出公差，根据通项公式和求和公式基本量计算出首项和公差，得到，进而得到，裂项求和得到，得到方程，求出.【解析】设的公差为，则，解得，故，故，则，因为，所以，解得.故选：B题型3：含绝对值的等差数列的前n项和5．已知数列的前项和，若，则（

）A．578 B．579C．580 D．581【答案】B【分析】由的关系得出通项公式，再讨论，两种情况，结合求和公式得出.【解析】当时，当时，，经检验时，不成立.故得到.令，则，解得，且，当时，，当时，，故：，.故选：B.6．已知等差数列满足：，则的最大值为（

）A．18 B．16 C．12 D．8【答案】C【分析】根据等差数列性质分析题中数列变化规律，计算得出结果.【解析】不为常数列，且数列的项数为偶数，设为则，一定存在正整数k使得或不妨设，即，从而得，数列为单调递增数列，，且，，同理即，根据等差数列的性质，所以n的最大值为12，选项C正确，选项ABD错误故选：C.题型4：由等差数列的前n项和判断是否为等差数列7．若是数列的前项和，若，则是（）A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列C．等差数列，而且也是等比数列 D．既非等比数列，也非等差数列【答案】B【分析】当时，；当时，.【解析】当时，;当时，又时，，满足通项公式，所以此数列为等差数列.故选B.【点睛】本题考查根据数列前n项和求数列通项，注意检验时的公式对是否适用.8．已知数列的前项的和为，且，给出下列四个命题，其中正确的是（

）A．数列是等差数列 B．对任意的自然数都有C．是等差数列 D．是等差数列【答案】D【解析】由求出，利用等差数列的定义，即可判断A；知求，有公式，即可判断B；对C，只需求出每一项，用等差数列定义判断即可；由求出，即可判断D．【解析】当时，；当时，，不满足上式．所以，故A、B错误；因为；；；，所以；；，因为，故C错误；对D，因为，而当时，，故，所以D正确．故选：D【点睛】本题主要考查知求，同时考查利用等差数列的定义判断数列是否为等差数列．题型5：由Sn求等差数列的通项公式9．已知数列中，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由数列的前项和求出通项，可得数列是等差数列，利用首项和公差求其前项和.【解析】数列中，前项和，时，，时，，时，也满足，∴，则有，∴数列中是首项为1公差为4的等差数列，则数列中是首项为1公差为8的等差数列，其前项和.故选：C10．已知正项数列满足，若，则数列的前项的和为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由和的关系，利用公式求出数列的通项公式，可得到数列的通项公式，利用裂项相消法求前项的和.【解析】，当时，，当时，，当时，也满足，∴数列的通项公式为，，故选：C题型6：由等差数列片段和的性质及应用11．等差数列中，，则（

）A．12 B．18 C．24 D．30【答案】B【分析】利用等差数列片段和的性质求解即可.【解析】等差数列中，成等差数列，所以即.故选：B12．设等差数列的前n项和为，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用等差数列片断和性质即可得解.【解析】在等差数列中，，，成等差数列，即，设，则，于是，解得，所以．故选：A题型7：前n项和与n的比所组成的等差数列13．在等差数列中，，其前项和为，若，则（

）A．2023 B．2023 C．2024 D．2024【答案】C【分析】设公差为，可得出也为等差数列，根据条件得出其公差，从而得出其通项公式，从而得出答案.【解析】由是等差数列，设公差为，则所以，（常数），则也为等差数列.由，则数列的公差为1.所以所以，所以故选：C14．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝﹣2018，，则S2020等于（

）A．﹣4040 B．﹣2020 C．2020 D．4040【答案】C【分析】根据等差数列前n项和的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可.【解析】∵Sn是等差数列{an}的前n项和，∴数列{}是等差数列．∵a1＝﹣2018，，∴数列{}的公差d，首项为﹣2018，∴2018+2019×1＝1，∴S2020＝2020．故选：C．题型8：两个等差数列前n项和之比的问题15．已知等差数列和的前项和为分别为和，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据等差数列的求和公式，设，，求出即可得解.【解析】，令，则，所以，，所以，故选：B16．已知等差数列和等差数列的前项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】根据等差数列前项和公式以及等差数列的性质可得，进而可求解.【解析】由于所以，要使为整数，则为24的因数，由于，故可以为，故满足条件的正整数的个数为7个，故选：B题型9：等差数列前n项的二次函数特征17．已知等差数列的前项和为，若公差，且，则（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．2024【答案】B【分析】利用等差数列前n项和二次函数性质及求得，进而求得，最后应用等差数列前n项和公式求结果.【解析】由，故对称轴为，又，所以，即，故，所以.故选：B18．已知等差数列的前项和有最小值，且，则使成立的正整数的最小值为（

）A．2022 B．2023 C．4043 D．4044【答案】D【分析】根据题意分析出、、等，利用等差数列的前项和公式分析出结果.【解析】解：因为等差数列的前项和有最小值，所以等差数列的公差，因为，所以，，所以，又因为，所以，即，故，所以，，当时，；当时，；故使成立的正整数的最小值为.故选：D.题型10：二次函数法求等差数列前n项的最值19．等差数列中，已知，前n项和为，且，则最小时n的值为（

）A．11 B．11或12 C．12 D．12或13【答案】C【分析】利用等差数列前n项和公式，再根据二次函数性质求解.【解析】根据题意由可得，整理可得.所以，由，可得；由二次函数性质可知，当时，取最小时.故选：C20．已知等差数列的前项和有最大值，若，，则时的最大值为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】根据题意，得到和，求得，得到，利用等差数列的求和公式，得到，结合，即可求解.【解析】由，可得，解得，因为等差数列的前项和有最大值，所以数列为递减数列，即，又因为，可得，即，即是方程的两根，且，解得，可得，又由，解得，所以，令，即，解得且，所以实数的最大值为.故选：C.题型11：根据等差数列前n项的最值求参数21．已知等差数列的前项和为，若，则下列结论正确的是（

）A．数列是递增数列 B．C．当取得最大值时， D．【答案】D【分析】由已知，利用等差数列求和公式与等差数列的性质可得：，，进而判断选项即可.【解析】因为是等差数列，且，所以，，即，所以，，且，所以B错误，D正确；因为，所以等差数列是递减数列，所以A错误；所以当时，取得最大值，所以C错误.故选：D22．已知数列是公差不为0的无穷等差数列，是其前项和，若存在最大值，则（

）A．在中最大的数是B．在中最大的数是C．在中最大的数是D．在中最大的数是【答案】A【分析】根据题意，由条件可得，由是以为首项，为公差的等差数列，即可判断AB，由可得在中最大的数是不确定的，即可判断CD.【解析】设等差数列的公差为，则，由存在最大值可知，，因为，则，所以数列是以为首项，为公差的等差数列，且，则是递减数列，所以在中最大的数是，故A正确，B错误；在中最大的数是不确定的，比如，由，可得，所以，即为最大值，故CD错误；故选：A题型12：等差数列的简单应用23．已知数列满足，数列的前项和为，若的最大值仅为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由数列递推式求出的表达式，设，可求得其表达式，根据的最大值仅为，可判断数列单调性，列出相应不等式，即可求得答案.【解析】由题意，令，即数列是等差数列，前项和最大值仅为，则，解得，故选：C．24．已知数列的通项公式为，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】代入得出，先说明为等差数列.进而由已知可得出，代入求解即可得出答案.【解析】令，则为常数，所以数列为等差数列，首项为.由已知对任意的恒成立，可知有，即，解得.故选：A.题型13：等差数列奇数项和偶数项的和25．一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可.【解析】设等差数列的公差为，则由条件可知：数列的奇数项之和为，①偶数项之和为，②由②①，得，所以，即该数列的公差为.故选：D.26．首项为正数，公差不为0的等差数列，其前n项和为，现有下列4个命题：①也是等差数列；②数列也是等差数列；③若，则时，最大；④若的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列的项数是19．其中所有真命题的序号是．【答案】②③④【分析】对①，由等差中项性质判断；对②，求出数列的通项公式即可判断；对③，由结合解析式化简得，由定义即可判断；对④，设项数为，根据求和公式列方程组解得参数，即可判断.【解析】设数列的公差为d，，首项为，则，，对①，，∴不是等差数列，①错；对②，，则数列为首项，公差为的等差数列，②对；对③，∵，，∴，，，∴由定义可知，时，最大，③对；对④，由题意可设的项数为，则所有奇数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有奇数项的和为，所有偶数项组成的数列为首项，公差，项数为的等差数列，故所有偶数项的和为.两式相除得，∴数列的项数是19，④对.故答案为：②③④.一、填空题1．等差数列的前n项和为，且，，若存在正整数m，使得对一切，，都成立，则m的最小值是．【答案】2【分析】由已知条件结合等差数列通项公式求基本量，再求得前n项和为，进而可得，根据恒成立条件确定的范围，即可确定m的最小值.【解析】由题设，，可得，所以，则，又，，故，要使且正整数m恒成立，只需，故m的最小值是2.故答案为：22．已知各项都不为0的数列的前项和满足，其中，设数列的前项和为，若对一切，恒有成立，则能取到的最大整数是.【答案】【分析】根据题意推得，利用等差数列的通项公式，求得的通项公式为，得到，令，结合，求得最小时为，根据恒成立，求得，即可求解.【解析】因为，当时，，两式相减可得，即，因为数列的各项都不为0，所以，因为，所以，数列的奇数项是以1为首项，公差为2的等差数列，所以；数列的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，所以，故数列的通项公式为，可得，所以，令，，，则，所以随着的增大而增大，即在处取最小值，，又因为对一切，恒有成立，所以，解得，故能取到的最大整数是.故答案为：.3．设函数，，（，n≥2）．设数列的前n项和，则的最小值为．【答案】/8.2【分析】由题设，讨论n的奇偶性求的通项公式，再确定的通项公式，进而得到，结合对勾函数性质确定其最小值.【解析】由题设，，所以，即且n≥2，则，故，又在递减，在递增，当时，；当时，，显然，综上，的最小值为.故答案为：【点睛】关键点点睛：利用求出的通项公式，注意讨论n的奇偶性.4．已知函数，把函数的偶数零点按从小到大的顺序排列成一个数列，该数列的前n项的和_________．【答案】90【解析】试题分析：函数的偶数零点即函数与函数的图像的交点横坐标是偶数，当时的图像易作出，根据图像平移变换知，当时的图像是时的图像向右平移2个单位并向上平移1个单位得到，同理当时的图像是由时的图像向右平移2个单位并向上平移1个单位得到．依次下去即可得到函数任意定义域内的图像，易知，函数与函数的图像的交点横坐标是偶数的分别为0，2，4，…，2（n1），…，即是以0为首项2为公差的等差数列，所以．考点：求函数的零点问题．【方法点睛】函数零点（方程解）的问题解法：研究函数的零点问题常常与研究对应方程的实根问题相互转化．1．将方程化为形如，且两边的函数解析式确定即两者的图像可以作出，然后讨论解得性质．本题即为该类型．2．当由解的个数求参数范围时，常有以下三种类型：（1）已知含参数函数存在零点（即至少有一个零点），求参数范围问题．一般可作为代数问题求解，即对进行参变分离，得到的形式，则所求a的范围就是的值域．（2）当研究函数的零点个数问题，即方程的实数根个数问题时，也常要进行参变分离，得到的形式，然后借助数形结合（几何法）思想求解．（3）将方程化为形如，常常是一边的函数图像是确定的，另一边的图像是动的，找到符合题意的临界值，然后总结答案即可．5．在数列中，，对恒成立，若，则数列的前项和.【答案】【分析】根据题意得到成等差数列，求出的公差，求出，利用裂项相消法得到，从而求出.【解析】因为对，所以成等差数列，又，所以的公差，所以，又，所以，所以，所以.故答案为：【点睛】常见的裂项相消法求和类型：分式型：，，等；指数型：，等，根式型：等，对数型：，且；6．对正整数，其中，记．设，给出下面四个结论：①；

②③；

④数列为等差数列．其中所有正确结论的序号是．【答案】②③④【分析】①将12进行分解，结合已知条件可求出；②逆用等比数列求和公式转化，结合已知条件可求出；③由已知条件分别求出和，再判断对错；④先由已知条件求出，再用等差数列定义证明是等差数列.【解析】①因为，所以，从而.故而①错；②因为，所以.故而②正确；③因为所以，又所以，满足，故而③正确；④当时，;当时，

因为

所以

=，当时，符合上式，所以，所以；从而，数列为等差数列.故而④正确.故答案为：②③④.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是：准确解读已知信息，将所给正整数按形式进行分解，得到，求时使用了迭加法.7．高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”的称号，人们把函数，称为高斯函数（其中表示不超过x的最大整数，例如：，）．已知数列的首项，前n项和记为．若k为函数，值域内的任意元素，且当整数时，都有成立，则的通项公式为．【答案】【分析】先由倍角公式和辅助角公式化简，结合求出的值域，进而得到的值；再由得到，利用和得到时，，判断出是等差数列即可求解.【解析】，又时，当时，，，当时，，则；，，则，则，所以或7；又当整数时，有，则，两式相减得，即；当时，时，有，则成等差数列，设公差为；当时，时，有，则成等差数列，设公差为；则时，，，两式相减得，令，则时，，即时，，故数列从第二项开始为等差数列，又可得，当时，，即，即；当时，，即，即，解得，则，即数列是1为首项，2为公差的等差数列，则.故答案为：.【点睛】本题关键点有两个，一是通过倍角公式及辅助角公式，结合求得的值域，得到的取值；二是利用结合前项和和通项的关系得到，再代入的值，证得数列是等差数列，即可求解.8．设等差数列的各项均为整数，首项，且对任意正整数，总存在正整数，使得，则关于此数列公差的论述中，正确的序号有.①公差可以为；

②公差可以不为；

③符合题意的公差有有限个；

④符合题意的公差有无限多个．【答案】①②③【分析】取，可利用正整数表示出，利用等差数列求和公式可整理得到，根据各项为正数可确定，由此可讨论得到的值，从而判断出正确结果.【解析】取，则存在正整数，使得，则，，又，，解得：；记，则，，的各项均为整数，为整数，又，，，对任意正整数，总存在正整数，使得，则必有，即，或或，或或，公差可以为，可以不为，符合题意的公差有有限个.故答案为：①②③.【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列中的恒能成立问题，解题关键是能够将公差表示为关于正整数的形式，通过各项均为整数的条件，将恒能成立问题转化为公差为整数的问题，从而讨论变量的取值求得结果.二、单选题9．在等差数列中，为其前n项和.若，，则下列判断错误的是（

）A．数列递增 B． C．数列前2020项和最小 D．【答案】C【分析】利用等差数列的前n项和公式，等差数列下角标性和公差判断数列单调性即可求解.【解析】因为，，即，，所以，.因为，，所以，，所以公差，所以数列是递增数列，其前1010项和最小，所以C错误.故选：C.10．已知数列满足，在，之间插入n个1，构成数列：，1，，1，1，，1，1，1，，…，则数列的前100项的和为（

）A．211 B．232 C．247 D．256【答案】D【解析】依题意，到为止，新的数列共有项，计算出截止到共有91项，将前100项分为3部分，一部分，之前的1一部分，之后的1一部分，求和即可.【解析】依题意，到为止，新的数列共有项，由于，即截止到共有91项，故数列的前100项的和为，故选：D.【点睛】关键点点睛：理解的意义，将数列的前100项分为三部分是解题的关键.11．已知等差数列的前项和为，则数列的前10项和为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设等差数列的公差为，根据，列出方程求得，得到，进而得到，利用“裂项法”，即可求解.【解析】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以，可得，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式及前项和公式的应用，以及数列的“裂项法”求和的应用，其中解答中熟记等差数列的通项和求和公式，合理利用“裂项法”求和是解答的关键，着重考查推理与运算能力.12．已知数列，，其中为最接近的整数，若的前m项和为10，则（

）A．15 B．20 C．30 D．40【答案】C【分析】由题意，为最接近的整数，得到中有2个1，4个2，6个3，8个4，，进而得到，结合等差数列的求和公式，即可求解.【解析】由题意知，函数为最接近的整数，且，，，，由此，在最接近的整数中，有2个1，4个2，6个3，8个4，，又满足，得：，则，因为的前项和为10，即，所以是首项为，公差为的等差数列的前5项和，则.故选：C.13．已知等差数列（公差不为零）和等差数列的前n项和分别为，，如果关于x的实系数方程有实数解，那么以下2021个方程中，无实数解的方程最多有（

）A．1008个 B．1009个 C．1010个 D．1011个【答案】C【分析】设出两个等差数列的公差，由等差数列的性质得到，要想无实根，要满足，结合根的判别式与基本不等式得到和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立，且，从而得到结论..【解析】由题意得：，其中，，代入上式得：，要想方程无实数解，则，显然第1011个方程有解，设方程与方程的判别式分别为和，则，等号成立的条件是a1=a2021.所以和至多一个成立，同理可证：和至多一个成立，……，和至多一个成立，且，综上，在所给的2021个方程中，无实数根的方程最多1010个故选：C【点睛】对于数列综合题目，要综合所学，将不熟悉的问题转化为我们熟练的知识点进行解决，比如本题中要结合根的判别式，以及等差数列的性质，以及基本不等式进行求解，属于难题.14．设等差数列满足：，公差.若当且仅当时，数列的前项和取得最大值，则首项的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用公式对式子化简，再借助函数来处理.【解析】由，得，由积化和差公式，得，整理，得，所以，因为公差，所以，则.所以，设，其图像的对称轴方程为.由题意，当且仅当时，数列的前项和取得最大值，所以，解得.则首项的取值范围是.故B，C，D错误.故选：A.三、解答题15．已知数列的前项和为，且满足，当时，.(1)计算：，；(2)证明为等差数列，并求数列的通项公式