专题强化02函数的概念与性质必刷大题

专题强化02函数的概念与性质必刷大题1．（2324高一上·河南商丘·期中）已知函数的图象关于原点对称.(1)求实数，，的值；(2)作出的大致图象；(3)结合图象求不等式的解集.【答案】(1)，，(2)图象见解析(3)【分析】（1）根据奇函数性质求解函数解析式即可；（2）利用二次函数作出分段函数图象；（3）利用图象法解不等式即可.【详解】（1）因为时，，若，则，所以.因为函数的图象关于原点对称，所以是奇函数，所以时，，而时，，所以，，.（2）由（1）知，的大致图象如下：（3）当时，由，得，解得或；当时，由，得，解得或（舍去），结合（2）中图象可知的解集为.2．（2324高一上·安徽马鞍山·期中）已知的定义域为，且恒成立.(1)求的值;(2)试判断的单调性，并用定义证明你的结论.【答案】(1)(2)为上的增函数，证明见解析【分析】（1）根据题意得，求得并检验；（2）根据单调性定义判断并证明结论.【详解】（1）因为满足，故函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，当时，，满足，符合题意，故.（2）由（1）可知，.函数在上为增函数.证明如下：任取，所以，所以所以.故为上的增函数.3．（2324高一上·云南·期中）已知函数（）．(1)若在上是单调递减函数，求的取值范围；(2)若在上恒成立，求的取值范围．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根据二次函数的单调性可建立不等式，求解即可；（2）不等式恒成立问题可以参变分离求最值，也可以直接求得函数最值.【详解】（1）由题意得的图象开口向上，其图象的对称轴为直线．因为在上是单调递减函数，所以解得，即的取值范围为．（2）因为在上恒成立，所以，即在上恒成立．方法一：因为，所以，因为，所以（）的最小值为，所以，即的取值范围为．方法二：因为，所以在上恒成立，即在上恒成立，因为，所以，解得，即的取值范围是．4．（2324高一上·江苏宿迁·期中）已知函数．(1)求函数的解析式；(2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域．【答案】(1)(2)，【分析】（1）由换元法令，求得，代入化简即可得出答案；（2）根据是定义域为的奇函数，，当时，，可求出时函数，的解析式；再由的单调性即可求出的值域．【详解】（1）令，则，所以，所以的解析式为；（2）因为函数是定义域为的奇函数，当时，，当时，，所以，当时，，所以，综上，，因为当时，，因为在上单调递增，所以，当时，，因为在上单调递增，所以，当时，，所以的值域为.5．（2324高一上·北京·期中）设函数是定义在上的增函数，，对任意总有成立.(1)求与的值；(2)求使成立的的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用赋值法计算可得；（2）依题意可将不等式化为，结合函数的单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】（1）因为对任意的总有成立，令，可得，则，又，令，则.（2）因为，，所以不等式即，又函数是定义在上的增函数，所以，解得，即的取值范围为.6．（2324高一上·北京·期中）已知函数，.(1)判断函数的奇偶性并用定义证明；(2)用分段函数的形式表示函数的解析式，并直接在本题给出的坐标系中画出函数的图像；(3)用表示，中的较大者，即，若，则求的值.【答案】(1)奇函数，理由见解析(2)，图象见解析(3)或【分析】（1）根据奇函数的定义证明；（2）根据绝对值的定义变形，然后结合二次函数图象作图；（3）由，分类解方程和，求得方程的解后检验是否满足题意即得．【详解】（1）函数为上的奇函数，因为，所以函数为上的奇函数；（2），图象如图所示，（3），若，则，此时，，满足题意；若，显然时，无解；因此，，解得，此时满足题意．所以或7．（2324高一上·重庆永川·期中）已知二次函数的最小值为1，且．(1)求的解析式；(2)当时，恒成立，求实数的取值范围．(3)若在区间上不单调，求实数的取值范围；【答案】(1)(2)；(3).【分析】（1）根据给定条件，设出二次函数的顶点式求出解析式.（2）求出在上的最小值，再列式求出即可.（3）利用二次函数的性质列式求解即得.【详解】（1）依题意，二次函数满足，则函数图象的对称轴为，由函数的最小值为，设，由，得，解得，所以函数的解析式为.（2）由（1）知，，当时，，依题意，，解得，所以实数的取值范围是.（3）由（1）知，函数图象的对称轴为，要使函数在区间上不单调，当且仅当，解得，所以实数的取值范围为.8．（2324高一上·浙江杭州·期中）已知函数，.(1)判断函数的奇偶性；(2)用定义法证明：函数在上单调递增；(3)求不等式的解集.【答案】(1)为奇函数(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据与定义域关于原点对称判断即可；（2）任取，且，作差，再判号得到相应结论；（3）先得到，为奇函数，从而根据奇偶性和第一问求出的单调性解不等式，得到答案.【详解】（1）由，且定义域关于原点对称，故为奇函数.（2）任取，且，，因为，且，故，，，，，所以，，故函数在上单调递增；（3）由（1）（2）为奇函数，且在上单调递增，变形为，则要满足，解得：，故不等式的解集为9．（2324高一上·广东珠海·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求实数和的值；(2)判断函数在上的单调性，并证明你的结论；(3)若，求的取值范围.【答案】(1)(2)函数在上是增函数，证明见解析(3)【分析】（1）由条件可得，求出的值，然后根据可求出；（2）根据函数单调性的定义判断并证明即可；（3）由条件先将不等式化为，结合函数的定义域和单调性可得满足的不等式组，从而得出答案.【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，解得，则，又因为，则，解得，所以，对于，，即是奇函数，所以.（2），函数在上是增函数.证明：任取，所以，因为，所以，则，所以，故函数在上是增函数.（3）函数是定义在上的奇函数，且，则，因为函数在上是增函数，所以，则，解得，所以的取值范围是.10．（2324高一上·河南·期中）已知函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，且.(1)求，的解析式；(2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据，分别是偶函数和奇函数列方程组求解；（2）将问题转化为的值域是在区间上值域的子集，求出各自的值域，然后列不等式求解.【详解】（1）因为，分别是偶函数和奇函数，①，所以，即②①②可得，即，①+②可得，即.所以，；（2）由（1）可知，图象开口向上，对称轴为，又容易得在区间上的值域为由题可知，的值域是在区间上值域的子集.当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，.所以，得.当时，在区间上单调递减，所以，.所以，得，所以实数的取值范围是.11．（2324高一上·江苏·期中）已知函数(1)求函数的定义域和值域；(2)设（为实数），求在时的最大值：(3)对（2）中，若对任意及任意恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)(3).【分析】（1）根据函数的解析式有意义，列出不等式组，求得的定义域，再由函数，进而求得的值域；（2）令，转化为即为函数的最大值，结合二次函数的图象与性质，分类讨论，即可求解；（3）由（2）转化为对恒成立，即，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】（1）解：由函数有意义，则满足，解得，所以函数的定义域为，又由，且，所以函数的值域为.（2）解：令，则，由题意知，函数即为函数的最大值，抛物线的图像的对称轴为，因为时，函数，的图像是开口向下的抛物线的一段，①当，即时，则函数在上单调递减，即，②当，即时，则函数在上单调递增，在上单调递减，即，③当，即时，则函数在上单调递增，即，综上可得，.（3）解：由（2）可知，当时，，当时，，当时，，所以，由对恒成立，即恒成立，即，令，对所有的，成立，只需，解得或或，所以的取值范围是.12．（2324高一上·山东菏泽·期中）已知幂函数．(1)若函数在定义域上不单调，函数的图像关于对称，当时，，求函数的解析式；(2)若在R上单调递增，求函数在上的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由幂函数定义得到方程，结合函数的单调性得到，从而求出的解析式；（2）先由（1）得到，，画出函数图象，数形结合得到在上的最大值在，，中取得，分，，结合函数单调性得到最值，得到答案.【详解】（1）由题意，解得或，当时，在R上单调递增，不合题意，舍去；当时，在定义域上不单调，所以，设，则，时，因为关于对称，所以，所以；（2）由（1）可知，在R上单调递增，满足要求，由题意知，，作出大致图象如图：

易得，，所以可判断在上的最大值在，，中取得．当时，；当时，在上单调递减，在上单调递增，又，①若，则；②若，则．综上可知，在区间上，.13．（2324高一上·山东临沂·期中）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．(1)令，求的定义域(2)解不等式．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用函数定义域的概念计算即可；（2）利用赋值法确定的奇偶性与单调性，后解不等式即可.【详解】（1）因为定义域为，所以有解得：，所以的定义域为（2）令，可得，即，令，得，即，是奇函数．令，则，且为奇函数，，在上单调递增．由题意可知，∴，即不等式的解为．14．（2324高一上·山西太原·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求的值；(2)判断在上的单调性，并用单调性定义证明．【答案】(1)，(2)在上为减函数，证明见解析【分析】（1）根据为定义在上的奇函数，则，求出的值，代入，求出的值.（2）利用定义法证明函数单调性即可.【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，所以，即，解得，则，此时，为奇函数，符合题意，又因为，即，解得，所以，．（2）函数在上为减函数；证明如下：取任意且，则，因为，所以，又因为，所以，所以，即所以函数在上为减函数15．（2324高一上·河南商丘·期中）已知函数是定义域上的奇函数，且.(1)求的解析式；(2)令函数，记的最小值为，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用及列方程组求解，然后利用奇函数定义检验即可求解；（2）换元法，令，则，分类讨论对称轴与区间的位置关系求解最小值，然后根据的单调性求解值域即可.【详解】（1）因为，且是奇函数，所以，所以，解得，所以.检验：由解析式可知，的定义域为，对于，都有，且，所以是奇函数，满足题意.故；（2）由题意知，令，则，当时，；当时，，所以，.函数的对称轴方程为，当，或时，的最小值；当时，的最小值.；当时，的最小值.所以，因为在上单调递增，在上单调递减，所以，所以的取值范围是.16．（2324高一上·山东聊城·期中）已知函数，．(1)若命题：，为假命题，求实数a的取值范围；(2)求函数的最小值；(3)若，，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)；(2)3(3)．【分析】（1）由否定的定义结合一元二次不等式的恒成立问题求解即可；（2）去掉绝对值，分类讨论得出最值；（3）由一元二次不等式的恒成立问题得出，，利用基本不等式求出的最小值，从而得出实数a的取值范围．【详解】（1）解：由命题：，为假命题可得，，即，，解得；即实数a的取值范围是；（2）当时，；当时，；当时，．则，当且仅当时成立，（3），，即，则，即，则，，而，当且仅当时等号成立；又由（2）知当时，有最小值3，即当时，的最小值为7．所以．故实数a的取值范围是．17．（2324高一上·广东深圳·期中）已知函数，，(1)若，成立，求的取值范围；(2)若对，总，使得，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）先根据题意得到，，再根据二次函数的性质可得，进而求解即可；（2）先根据题意可得原条件等价于在上的最小值大于在上的最小值，再结合二次函数的性质分，，三种情况讨论即可求解．【详解】（1）因为，成立，即，成立，所以，，设，则，解得或，故的取值范围为.（2）对，总，使得，等价于，等价于在上的最小值大于在上的最小值，由于在上单调递增，因此；因为开口向上，且其对称轴为，①若，即，函数在上单调递减，在上单调递增，则，所以，即，解得，不符合；②若，即，函数在上单调递增，则，所以，即，解得，符合；③若，即，函数在上单调递减，则，所以，即，无解，综上所述，的取值范围是．18．（2324高一上·黑龙江哈尔滨·期中）已知函数(1)解关于x的不等式．(2)设函数，若的解集为，求函数在上的值域．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）考虑，和三种情况，解得，即，解不等式得到答案.（2）确定，令，，根据函数的单调性计算值域得到答案.【详解】（1），当时，解集为；当时，，当，即时，对应方程的解为，①当时，解集为；②时，解集为；③时，解集为；④时，解集为.综上所述：当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为.（2）的解集为，故，则，，则，令，则，.在上单调递减，在上单调递增，故，，，，故.19．（2324高一上·湖南常德·期中）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.(1)求的解析式；(2)若不等式成立，求实数的取值范围；(3)若函数，，求函数的最大值.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）利用奇函数定义求出的函数关系式即可.（2）探讨函数的单调性，结合奇函数求解不等式即得.（3）求出给定区间上函数解析式，再分类求出在该区间上的最大值即得.【详解】（1）因为函数是定义域为上的奇函数，则，当时，，设，有，则，所以函数的解析式为.（2）由（1）知，函数，函数在上单调递增，在上单调递增，因此函数在上为单调递增，由函数为奇函数，不等式，化为，于是，解得，即实数的取值范围是.（3）当时，由（1）知函数，当，即时，函数在上单调递减，则当时，函数取得最大值，最大值为；当时，即，函数在上单调递增，在上单调递减，则当时，函数取得最大值，最大值为；当时，即，函数在上单调递增，则当时，函数取得最大值，最大值为，所以函数的最大值.20．（2324高一上·江西南昌·期中）已知函数是定义在上的奇函数.(1)求实数的值；(2)若存在，不等式成立，求实数的取值范围.【答案】(1)，(2)【分析】（1）根据奇函数的性质可得，进而列出方程组求解即可；（2）分和两种情况求得，进而求解即可.【详解】（1）由题意，，即，解得，，此时，则，即，所以，.（2）由（1）知，，当时，，对称轴为，且函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，；当时，，对称轴为，且函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，.综上所述，，由题意，存在，不等式成立，则只需要即可，所以，即实数的取值范围为.21．（2324高一上·北京·期中）已知函数.(1)若对任意，都有，则的解析式；(2)若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；(3)若，求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据条件列出等量关系，由此求解出的值，则解析式可知；（2）根据区间与对称轴的关系列出不等式，由此求解出的取值范围；（3）分析对称轴与区间的关系，结合二次函数的单调性求解出.【详解】（1）因为，所以，化简得，且不恒为，所以，所以，所以；（2）因为的对称轴为，又在区间上不单调，所以，所以，所以的取值范围为；（3）的对称轴为，当时，即时，在上单调递增，所以；当时，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以；当时，即时，在上单调递减，所以，综上可知，.22．（2324高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，且满足.对定义域内的两个任意满足.当时，有.(1)求，的值.(2)若不等式在区间恒成立.求的最大值.【答案】(1)，；(2)4.【分析】（1）利用给定的函数等式，结合求解即得.（2）判断函数的单调性，变形给定不等式，再脱去法则，分离参数，利用基本不等式求出的取值范围即得.【详解】（1）由，，，得，解得，，所以，.（2）由，当时，有，得函数在上单调递增，由（1）知，，则不等式，化为，即，于是，依题意，，，即，而当时，，当且仅当，即时取等号，所以，的最大值为4.23．（2324高一上·山东临沂·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且．(1)求a，b值；(2)用定义证明：在上单调递减；(3)解关于t的不等式．【答案】(1)，(2)证明见解析(3)【分析】（1）根据，解得答案，再验证即可.（2）取，计算得到证明.（3）利用函数的奇偶性和单调性得到，解得答