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山东省济南市高新区重点名校2024-2025学年4月初三调研测试数学试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1.如图,数轴上有A,B,C,D四个点,其中绝对值最小的数对应的点是()A.点A B.点B C.点C D.点D2.1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中,是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.下图是某几何体的三视图,则这个几何体是()A.棱柱 B.圆柱 C.棱锥 D.圆锥4.已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且−2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为A.1或−2B.−2或2C.2D.15.下列命题中,正确的是()A.菱形的对角线相等B.平行四边形既是轴对称图形,又是中心对称图形C.正方形的对角线不能相等D.正方形的对角线相等且互相垂直6.点是一次函数图象上一点,若点在第一象限,则的取值范围是().A. B. C. D.7.将弧长为2πcm、圆心角为120°的扇形围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥的高是()A.cm B.2cm C.2cm D.cm8.计算(﹣)﹣1的结果是()A.﹣ B. C.2 D.﹣29.如图,正方形被分割成四部分,其中I、II为正方形,III、IV为长方形,I、II的面积之和等于III、IV面积之和的2倍,若II的边长为2,且I的面积小于II的面积,则I的边长为()A.4 B.3 C. D.10.如图,在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线BF交AD于点F,FE∥AB.若AB=5,AD=7,BF=6,则四边形ABEF的面积为()A.48 B.35 C.30 D.24二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11.关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围是.12.若a+b=3,ab=2,则a2+b2=_____.13.如图(1),在矩形ABCD中,将矩形折叠,使点B落在边AD上,这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F.然后再展开铺平,以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”.如图(2),在矩形ABCD中,AB=2,BC=4,当“折痕△BEF”面积最大时,点E的坐标为_________________________.14.如图,正方形ABCD的边长为2,分别以A、D为圆心,2为半径画弧BD、AC,则图中阴影部分的面积为_____.15.计算:+(|﹣3|)0=_____.16.分解因式______.三、解答题(共8题,共72分)17.(8分)先化简代数式,再从﹣1,0,3中选择一个合适的a的值代入求值.18.(8分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC,tanB,半径为2的⊙C分别交AC,BC于点D、E,得到DE弧.求证:AB为⊙C的切线.求图中阴影部分的面积.19.(8分)如图,直线y=2x+6与反比例函数y=(k>0)的图像交于点A(1,m),与x轴交于点B,平行于x轴的直线y=n(0<n<6)交反比例函数的图像于点M,交AB于点N,连接BM.求m的值和反比例函数的表达式;直线y=n沿y轴方向平移,当n为何值时,△BMN的面积最大?20.(8分)由于雾霾天气频发,市场上防护口罩出现热销,某医药公司每月固定生产甲、乙两种型号的防雾霾口罩共20万只,且所有产品当月全部售出,原料成本、销售单价及工人生产提成如表:若该公司五月份的销售收入为300万元,求甲、乙两种型号的产品分别是多少万只?公司实行计件工资制,即工人每生产一只口罩获得一定金额的提成,如果公司六月份投入总成本(原料总成本+生产提成总额)不超过239万元,应怎样安排甲、乙两种型号的产量,可使该月公司所获利润最大?并求出最大利润(利润=销售收入﹣投入总成本)21.(8分)如图,在平面直角坐标系中,抛物线C1经过点A(﹣4,0)、B(﹣1,0),其顶点为.(1)求抛物线C1的表达式;(2)将抛物线C1绕点B旋转180°,得到抛物线C2,求抛物线C2的表达式;(3)再将抛物线C2沿x轴向右平移得到抛物线C3,设抛物线C3与x轴分别交于点E、F(E在F左侧),顶点为G,连接AG、DF、AD、GF,若四边形ADFG为矩形,求点E的坐标.22.(10分)为了加强学生的安全意识,某校组织了学生参加安全知识竞赛.从中抽取了部分学生成绩(得分数取正整数,满分为100分)进行统计,绘制统计频数分布直方图(未完成)和扇形图如下,请解答下列问题:(1)A组的频数a比B组的频数b小24,样本容量,a为:(2)n为°,E组所占比例为%:(3)补全频数分布直方图;(4)若成绩在80分以上优秀,全校共有2000名学生,估计成绩优秀学生有名.23.(12分)在如图的正方形网格中,每一个小正方形的边长均为1.格点三角形ABC(顶点是网格线交点的三角形)的顶点A、C的坐标分别是(﹣2,0),(﹣3,3).(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系,写出点B的坐标;(2)把△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1,画出△A1B1C1,写出点B1的坐标;(3)以坐标原点O为位似中心,相似比为2,把△A1B1C1放大为原来的2倍,得到△A2B2C2画出△A2B2C2,使它与△AB1C1在位似中心的同侧;请在x轴上求作一点P,使△PBB1的周长最小,并写出点P的坐标.24.如图,将等腰直角三角形纸片ABC对折,折痕为CD.展平后,再将点B折叠在边AC上(不与A、C重合),折痕为EF,点B在AC上的对应点为M,设CD与EM交于点P,连接PF.已知BC=1.(1)若M为AC的中点,求CF的长;(2)随着点M在边AC上取不同的位置,①△PFM的形状是否发生变化?请说明理由;②求△PFM的周长的取值范围.
参考答案一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分)1、B【解析】试题分析:在数轴上,离原点越近则说明这个点所表示的数的绝对值越小,根据数轴可知本题中点B所表示的数的绝对值最小.故选B.2、D【解析】
根据轴对称图形的概念求解.如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合,这样的图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴.【详解】A、不是轴对称图形,故A不符合题意;B、不是轴对称图形,故B不符合题意;C、不是轴对称图形,故C不符合题意;D、是轴对称图形,故D符合题意.故选D.本题主要考查轴对称图形的知识点.确定轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合.3、D【解析】
主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看,所得到的图形.【详解】由俯视图易得几何体的底面为圆,还有表示锥顶的圆心,符合题意的只有圆锥.故选D.本题考查由三视图确定几何体的形状,主要考查学生空间想象能力以及对立体图形的认识.4、D【解析】
先求出二次函数的对称轴,再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向上a>0,然后由-2≤x≤1时,y的最大值为9,可得x=1时,y=9,即可求出a.【详解】∵二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),∴对称轴是直线x=-2a2a∵当x≥2时,y随x的增大而增大,∴a>0,∵-2≤x≤1时,y的最大值为9,∴x=1时,y=a+2a+3a2+3=9,∴3a2+3a-6=0,∴a=1,或a=-2(不合题意舍去).故选D.本题考查了二次函数的性质,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(-b2a,4ac-b24a),对称轴直线x=-b2a,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<-b2a时,y随x的增大而减小;x>-b2a时,y随x的增大而增大;x=-b2a时,y取得最小值4ac-b24a5、D【解析】
根据菱形,平行四边形,正方形的性质定理判断即可.【详解】A.菱形的对角线不一定相等,A错误;B.平行四边形不是轴对称图形,是中心对称图形,B错误;C.正方形的对角线相等,C错误;D.正方形的对角线相等且互相垂直,D正确;故选:D.本题考查的是命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.6、B【解析】试题解析:把点代入一次函数得,.∵点在第一象限上,∴,可得,因此,即,故选B.7、B【解析】
由弧长公式可求解圆锥母线长,再由弧长可求解圆锥底面半径长,再运用勾股定理即可求解圆锥的高.【详解】解:设圆锥母线长为Rcm,则2π=,解得R=3cm;设圆锥底面半径为rcm,则2π=2πr,解得r=1cm.由勾股定理可得圆锥的高为=2cm.故选择B.本题考查了圆锥的概念和弧长的计算.8、D【解析】
根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数,可得答案.【详解】解:,
故选D.本题考查了负整数指数幂,负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数.9、C【解析】
设I的边长为x,根据“I、II的面积之和等于III、IV面积之和的2倍”列出方程并解方程即可.【详解】设I的边长为x根据题意有解得或(舍去)故选:C.本题主要考查一元二次方程的应用,能够根据题意列出方程是解题的关键.10、D【解析】分析:首先证明四边形ABEF为菱形,根据勾股定理求出对角线AE的长度,从而得出四边形的面积.详解:∵AB∥EF,AF∥BE,∴四边形ABEF为平行四边形,∵BF平分∠ABC,∴四边形ABEF为菱形,连接AE交BF于点O,∵BF=6,BE=5,∴BO=3,EO=4,∴AE=8,则四边形ABEF的面积=6×8÷2=24,故选D.点睛:本题主要考查的是菱形的性质以及判定定理,属于中等难度的题型.解决本题的关键就是根据题意得出四边形为菱形.二、填空题(本大题共6个小题,每小题3分,共18分)11、k<1且k≠1【解析】试题分析:根据一元二次方程的定义和△的意义得到k≠1且△>1,即(﹣2)2﹣4×k×1>1,然后解不等式即可得到k的取值范围.解:∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=1有两个不相等的实数根,∴k≠1且△>1,即(﹣2)2﹣4×k×1>1,解得k<1且k≠1.∴k的取值范围为k<1且k≠1.故答案为k<1且k≠1.考点:根的判别式;一元二次方程的定义.12、1【解析】
根据a2+b2=(a+b)2-2ab,代入计算即可.【详解】∵a+b=3,ab=2,∴a2+b2=(a+b)2﹣2ab=9﹣4=1.故答案为:1.本题考查对完全平方公式的变形应用能力,要熟记有关完全平方的几个变形公式.13、(,2).【解析】
解:如图,当点B与点D重合时,△BEF面积最大,设BE=DE=x,则AE=4-x,在RT△ABE中,∵EA2+AB2=BE2,∴(4-x)2+22=x2,∴x=,∴BE=ED=,AE=AD-ED=,∴点E坐标(,2).故答案为:(,2).本题考查翻折变换(折叠问题),利用数形结合思想解题是关键.14、2﹣【解析】
过点F作FE⊥AD于点E,则AE=AD=AF,故∠AFE=∠BAF=30°,再根据勾股定理求出EF的长,由S弓形AF=S扇形ADF-S△ADF可得出其面积,再根据S阴影=2(S扇形BAF-S弓形AF)即可得出结论【详解】如图所示,过点F作FE⊥AD于点E,∵正方形ABCD的边长为2,∴AE=AD=AF=1,∴∠AFE=∠BAF=30°,∴EF=.∴S弓形AF=S扇形ADF-S△ADF=,∴S阴影=2(S扇形BAF-S弓形AF)=2×[]=2×()=.本题考查了扇形的面积公式和长方形性质的应用,关键是根据图形的对称性分析,主要考查学生的计算能力.15、【解析】原式=.16、(x+y+z)(x﹣y﹣z).【解析】
当被分解的式子是四项时,应考虑运用分组分解法进行分解.本题后三项可以为一组组成完全平方式,再用平方差公式即可.【详解】x2-y2-z2-2yz,=x2-(y2+z2+2yz),=x2-(y+z)2,=(x+y+z)(x-y-z).故答案为(x+y+z)(x-y-z).本题考查了用分组分解法进行因式分解.难点是采用两两分组还是三一分组.本题后三项可组成完全平方公式,可把后三项分为一组.三、解答题(共8题,共72分)17、,1【解析】
先通分得到,再根据平方差公式和完全平方公式得到,化简后代入a=3,计算即可得到答案.【详解】原式===,当a=3时(a≠﹣1,0),原式=1.本题考查代数式的化简、平方差公式和完全平方公式,解题的关键是掌握代数式的化简、平方差公式和完全平方公式.18、(1)证明见解析;(2)1-π.【解析】
(1)解直角三角形求出BC,根据勾股定理求出AB,根据三角形面积公式求出CF,根据切线的判定得出即可;(2)分别求出△ACB的面积和扇形DCE的面积,即可得出答案.【详解】(1)过C作CF⊥AB于F.∵在Rt△ABC中,∠C=90°,AC,tanB,∴BC=2,由勾股定理得:AB1.∵△ACB的面积S,∴CF2,∴CF为⊙C的半径.∵CF⊥AB,∴AB为⊙C的切线;(2)图中阴影部分的面积=S△ACB﹣S扇形DCE1﹣π.本题考查了勾股定理,扇形的面积,解直角三角形,切线的性质和判定等知识点,能求出CF的长是解答此题的关键.19、(1)m=8,反比例函数的表达式为y=;(2)当n=3时,△BMN的面积最大.【解析】
(1)求出点A的坐标,利用待定系数法即可解决问题;(2)构造二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题.【详解】解:(1)∵直线y=2x+6经过点A(1,m),∴m=2×1+6=8,∴A(1,8),∵反比例函数经过点A(1,8),∴8=,∴k=8,∴反比例函数的解析式为y=.(2)由题意,点M,N的坐标为M(,n),N(,n),∵0<n<6,∴<0,∴S△BMN=×(||+||)×n=×(﹣+)×n=﹣(n﹣3)2+,∴n=3时,△BMN的面积最大.20、(1)甲型号的产品有10万只,则乙型号的产品有10万只;(2)安排甲型号产品生产15万只,乙型号产品生产5万只,可获得最大利润91万元.【解析】
(1)设甲型号的产品有x万只,则乙型号的产品有(20﹣x)万只,根据销售收入为300万元可列方程18x+12(20﹣x)=300,解方程即可;(2)设安排甲型号产品生产y万只,则乙型号产品生产(20﹣y)万只,根据公司六月份投入总成本(原料总成本+生产提成总额)不超过239万元列出不等式,求出不等式的解集确定出y的范围,再根据利润=售价﹣成本列出W与y的一次函数,根据y的范围确定出W的最大值即可.【详解】(1)设甲型号的产品有x万只,则乙型号的产品有(20﹣x)万只,根据题意得:18x+12(20﹣x)=300,解得:x=10,则20﹣x=20﹣10=10,则甲、乙两种型号的产品分别为10万只,10万只;(2)设安排甲型号产品生产y万只,则乙型号产品生产(20﹣y)万只,根据题意得:13y+8.8(20﹣y)≤239,解得:y≤15,根据题意得:利润W=(18﹣12﹣1)y+(12﹣8﹣0.8)(20﹣y)=1.8y+64,当y=15时,W最大,最大值为91万元.所以安排甲型号产品生产15万只,乙型号产品生产5万只时,可获得最大利润为91万元.考点:一元一次方程的应用;一元一次不等式的应用;一次函数的应用.21、(1)y;(2);(3)E(,0).【解析】
(1)根据抛物线C1的顶点坐标可设顶点式将点B坐标代入求解即可;(2)由抛物线C1绕点B旋转180°得到抛物线C2知抛物线C2的顶点坐标,可设抛物线C2的顶点式,根据旋转后抛物线C2开口朝下,且形状不变即可确定其表达式;(3)作GK⊥x轴于G,DH⊥AB于H,由题意GK=DH=3,AH=HB=EK=KF,结合矩形的性质利用两组对应角分别相等的两个三角形相似可证△AGK∽△GFK,由其对应线段成比例的性质可知AK长,结合A、B点坐标可知BK、BE、OE长,可得点E坐标.【详解】解:(1)∵抛物线C1的顶点为,∴可设抛物线C1的表达式为y,将B(﹣1,0)代入抛物线解析式得:,∴,解得:a,∴抛物线C1的表达式为y,即y.(2)设抛物线C2的顶点坐标为∵抛物线C1绕点B旋转180°,得到抛物线C2,即点与点关于点B(﹣1,0)对称∴抛物线C2的顶点坐标为()可设抛物线C2的表达式为y∵抛物线C2开口朝下,且形状不变∴抛物线C2的表达式为y,即.(3)如图,作GK⊥x轴于G,DH⊥AB于H.由题意GK=DH=3,AH=HB=EK=KF,∵四边形AGFD是矩形,∴∠AGF=∠GKF=90°,∴∠AGK+∠KGF=90°,∠KGF+∠GFK=90°,∴∠AGK=∠GFK.∵∠AKG=∠FKG=90°,∴△AGK∽△GFK,∴,∴,∴AK=6,,∴BE=BK﹣EK=3,∴OE,∴E(,0).本题考查了二次函数与几何的综合,涉及了待定系数法求二次函数解析式、矩形的性质、相似三角形的判定和性质、旋转变换的性质,灵活的利用待定系数法求二次函数解析式是解前两问的关键,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解(3)的关键.22、(1)200;16(2)126;12%(3)见解析(4)940【解析】分析:(1)由于A组的频数比B组小24,而A组的频率比B组小12%,则可计算出调查的总人数,然后计算a和b的值;(2)用360度乘以D组的频率可得到n的值,根据百分比之和为1可得E组百分比;(3)计算出C和E组的频数后补全频数分布直方图;(4)利用样本估计总体,用2000乘以D组和E组的频率和即可.本题解析:()调查的总人数为,∴,,()部分所对的圆心角,即,组所占比例为:,()组的频数为,组的频数为,补全频数分布直方图为:(),∴估计成绩优秀的学生有人.点睛:本题考查了频数(率)分布直方图:提高读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力;利用统计图获取信息时,要认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题,也考查了用样本估计总体.23、(1)(﹣4,1);(2)(1,4);(3)见解析;(4)P(﹣3,0).【解析】
(1)先建立平面直角坐标系,再确定B的坐标;(2)根据旋转要求画出△A1B1C1,再写出点B1的坐标;(3)根据位似的要求,作出△A2B2C2;(4)作点B关于x轴的对称点B',连接B'B1,交x轴于点P,则点P即为所求.【详解】解:(1)如图所示,点B的坐标为(﹣4,1);(2)如图,△A1B1C1即为所求,点B1的坐标(1,4);(3)如图,△A2B2C2即为所求;(4)如图,作点B关于x轴的对称点B',连接B'
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