第05讲异面直线间的距离（2个知识点3种题型强化训练）原卷版

第05讲异面直线间的距离课程标准学习目标认识和理解两条异面直线的公垂线以及公垂线的存在性与唯一性，进一步完善空间中直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系以及研究方法，进一步发展直观想象和逻辑推理核心素养.1.认识和理解两条异面直线的公垂线概念及其距离（重点）初步感受求异面直线间的距离的多种方法.（难点）知识点01异面直线距离与两条异面直线都垂直相交的直线叫做这两条异面直线的公垂线，异面直线的公垂线在两条异面直线上的垂足间的距离叫做这两条异面直线间的距离。知识点02异面直线距离求法（1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求．3题型01异面直线间的距离【例1】（2022·上海·高二专题练习）棱长为1的正方体中，异面直线与之间的距离为．【变式11】（2022·上海·高二专题练习）若RtΔABC的斜边AB=5，BC=3，BC在平面内，A在平面内的射影为O，AO=2，则异面直线AO与BC之间的距离为．【变式12】．（2022秋·上海·高二专题练习）在棱长为的正方体中，与AD成异面直线且距离等于的棱共有条.【变式13】．（2022秋·上海闵行·高二校考阶段练习）如图所示，在直角梯形中，，，，，，边上一点满足．现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示，则异面直线与的距离是．题型02点面距离【例2】（2022秋·上海静安·高二上海市市西中学校考期末）设四边形为矩形，点为平面外一点，且平面，若，．(1)求与平面所成角的大小；(2)在边上是否存在一点，使得点到平面的距离为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【变式21】（2023春·上海徐汇·高二统考阶段练习）在棱长为1的正方体中，点到平面的距离为______.【变式22】（2023春·上海杨浦·高二同济大学第一附属中学校考期中）如图，在棱长为1的正方体中，点A到平面距离是______．

【变式23】．（2023春·上海·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的菱形，，平面ABCD，，E为PA的中点．

(1)求证：平面平面ABCD；(2)求二面角的正切值；(3)求点E到平面PBC的距离．题型03线面距离【例3】（2023·上海·高二专题练习）如图，正四棱柱的底面边长为1，异面直线AD与BC1所成角的大小为60°，求A1B1到底面ABCD的距离.【变式31】（2023·上海·高二专题练习）在棱长为2的正方体中，直线到平面的距离为___________.【变式32】（2022秋·上海·高二期中）如图，已知正方体的棱长为2，E、F分别是、的中点．(1)求证：平面；(2)在线段BD上是否存在点H，使得EH⊥平面？若存在，求点H的位置；若不存在，说明理由；(3)求EF到平面的距离．【变式33】（2022秋·上海·高二期中）已知正方体的棱长为，分别是的中点．(1)求证：平面；(2)在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由；(3)求到平面的距离．一．选择题1．（2023秋•松江区校级期末）正方形的边长为12，其内有两点，，点到边，的距离分别为3，2，点到边，的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，设得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为A． B． C． D．2．（2023秋•闵行区期中）如图，在长方体中，，，，，分别为，，的中点，点在平面内，若直线平面，则线段长度的最小值是A． B． C． D．3．（2023秋•浦东新区校级期末）已知四面体的所有棱长均为，，分别为棱，的中点，为棱上异于，的动点．有下列结论：①线段的长度为1；②若点为线段上的动点，则无论点与如何运动，直线与直线都是异面直线；③的余弦值的取值范围为；④周长的最小值为．其中正确结论的为A．①② B．②③ C．③④ D．①④二．填空题4．（2023秋•黄浦区期末）已知圆柱的底面半径为1，高为2，、分别为该圆柱上、下底面圆周上的动点，若直线与该圆柱的轴始终互为异面直线，则线段长度的取值范围是．5．（2023秋•浦东新区校级期末）如图所示，正四面体的棱长为1，则点到平面的距离为．6．（2023秋•长宁区校级期末）点是线段的中点，若，到平面的距离分别为和，且，在平面的异侧，则点到平面的距离为．7．（2023秋•徐汇区期末）在二面角的一个面内有一个点，它到另一个面的距离是，则这个点到二面角的棱的距离为．8．（2023秋•宝山区校级期末）正方体的棱长为4，在平面上，，之间的距离为5，则、之间的最短距离为．9．（2023秋•黄浦区期末）如图，平面的一条斜线与交于点，是在上的投影，是上过点的另一条直线，若上一点到平面的距离为1，与所成的角的大小为，与所成的角的大小为，则点到直线的距离为．10．（2023秋•松江区校级期末）如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则平面到平面的距离是．11．（2023秋•闵行区校级期末）已知正方体的棱长为2，为棱的中点，，分别是线段，上的两个动点，为正方体表面上一点，若到棱与到棱的距离相等，则的最小值为．三．解答题12.（2022·上海·高二专题练习）如图，正方体中，.（1）求证：平面平面；（2）求两平面与之间的距离.13．（2023·上海·高二专题练习）如图，在棱长为的正方体中，分别是和的中点.(1)求异面直线与所成角的余弦值；(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长，若不存在，请说明理由；(3)求异面直线与之间的距离.14．（2023秋•徐汇区校级期末）如图，已知正方体的棱长