第4讲解三角形原卷版

第4讲解三角形【复习目录】一、余弦定理解三角形二、正弦定理解三角形三、三角形面积公式及其应用四、化角为边判断三角形形状五、化边为角判断三角形形状六、判断三角形解的个数七、正、余弦定理的实际应用八、解三角形综合小题九、边角互化十、利用基本不等式求范围问题十一、利用三角函数值域求范围问题十二、正、余弦定理在几何图形中的计算【知识归纳】1．正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容(1)eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(2)a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA(7)cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2.三角形常用面积公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示边a上的高)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA；(3)S＝eq\f(1,2)r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．【题型归纳】题型一、余弦定理解三角形1．（2223高二上·内蒙古乌兰察布·期末）在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于（）A． B． C． D．2．（2223高一下·辽宁铁岭·期末）在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若，，，则（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2223高一下·山东青岛·期末）记的三个内角、、的对边分别为、、，若，，，则的面积为（

）A． B． C． D．题型二、正弦定理解三角形4．（2223高一下·安徽宣城·期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（

）A． B．或 C．或 D．或5．（2223高一下·广东揭阳·期中）在中，内角所对的边分别是.已知，则的大小为（

）A．或 B． C．或 D．6．（2223高一下·江苏淮安·期中）在中，A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则的面积为（

）A． B．C． D．题型三、三角形面积公式及其应用7．（2324高一下·江苏常州·期中）在中，若，，，则的面积为（

）A． B． C． D．或8．（2223高一下·河南南阳·期末）已知△ABC中，，且△ABC的面积为，则△ABC的边AB上的中线长为（

）A． B． C． D．9．（2223高一下·山东菏泽·期末）在中，内角对边分别为，且，当时，的面积是（

）A． B． C． D．3题型四、化角为边判断三角形形状10．（2324高一下·福建泉州·期中）已知的内角的对边分别是，若，则（

）A． B． C．2 D．311．（2223高一下·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知在中，角，，所对的边分别为，，，若，则一定是（

）A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形12．（2223高一下·安徽亳州·期末）在，其内角，，的对边分别为，，，若，则的形状是（

）A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形题型五：化边为角判断三角形形状13．（2223高一下·天津·期末）已知中，角所对的边分别是，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形14．（2223高一下·四川凉山·期末）中，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等边三角形C．等腰三角形 D．等腰直角三角形15．（2223高一下·江苏宿迁·期末）在中，角所对的边分别为．若，则为（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形题型六、判断三角形解的个数16．（2223高一下·浙江台州·期末）在中角所对的边分别为，若，，，则（

）A．当时， B．当时，有两个解C．当时，只有一个解 D．对一切，都有解17．（2122高一下·福建莆田·期末）在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，18．（2122高一下·河南开封·期末）在中，角，，所对的边分别为，，，，，，若满足条件的三角形有1个，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题型七、正、余弦定理的实际应用19．（2324高一下·江苏无锡·期中）如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底B在同一平面内的两个观测点C与D，现测得，，米，在点C处测得塔顶A的仰角为，则该铁塔的高度约为（

）（参考数据：，，，）

A．40米 B．14米C．48米 D．52米20．（2023·山西·模拟预测）中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（

）

A．74m B．60m C．52m D．91m21．（2223高一下·辽宁鞍山·期末）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（

）

A． B． C． D．题型八、解三角形综合小题22．（2324高一下·江苏南通·期中）在中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．23．（2223高一下·贵州安顺·期末）锐角中，内角、、的对边分别为、、，为的面积，且，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．24．（2223高一下·福建龙岩·期末）在锐角中，角，，的对边分别为，，，若，，则周长的取值范围是（

）A． B．C． D．题型九、边角互化25．（2324高一下·上海·期中）的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．若，则=.26．（2223高一下·重庆渝中·期末）设中角所对的边分别为，，，为边上的中线；已知且，．则．27．（2122高一下·辽宁沈阳·期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则.题型十、利用基本不等式求范围问题28．（2324高一下·广东·期末）已知的三个内角所对的边分别为，满足．(1)求；(2)若为锐角三角形，且，求的周长的取值范围．29．（2223高一下·安徽六安·期末）从条件①；②中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答.在中：内角的对边分别为，______.(1)求角的大小；(2)设为边的中点，求的最大值.30．（2223高一下·甘肃酒泉·期末）已知函数.(1)若，求函数的值域；(2)设三角形中，内角、、所对边分别为、、，已知，且锐角满足，求的取值范围.题型十一、利用三角函数值域求范围问题31．（2223高二下·湖南郴州·期末）在锐角中，内角所对的边分别为，若满足．(1)求角的大小；(2)若，求的取值范围．32．（2223高一下·四川成都·期末）已知函数．(1)求的最小正周期和对称中心；(2)已知锐角的三个角的对边分别为，若，求周长的最大值．33．（2223高一下·黑龙江牡丹江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求角B；(2)若，求周长的取值范围.题型十二、正、余弦定理在几何图形中的计算34．（2324高一下·广东佛山·期中）四边形中，，记，，的角平分线与相交于点，且，.(1)求的大小；(2)求的值.35．（2223高一下·云南玉溪·期末）如图，在梯形中，，，．

(1)求CD；(2)平面内点P在直线CD的上方，且满足，求的最大值．36．（2223高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，在①，②，③三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．

(1)选__________，求角B的大小；(2)如图，作，设，使得四边形满足，，求的取值范围．【专题强化】一、单选题37．（2324高一下·江苏南通·期中）一艘船以32nmile/h的速度向正北方向航行．从A处看灯塔S位于船北偏东的方向上，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船北偏东的方向上，则灯塔S与B之间的距离为（

）A． B． C． D．38．（2223高一下·甘肃临夏·期末）已知的外接圆半径为4，，，则的面积S为（

）A． B．C． D．39．（2223高一下·吉林·期末）在中，，，，的角平分线交BC于D，则（

）A． B．2 C． D．40．（2223高一下·陕西宝鸡·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则（

）A． B． C．4 D．41．（2223高一下·福建福州·期末）瑞云塔位于福清市融城东南龙首桥头，如图，某同学为测量瑞云塔的高度MN，在瑞云塔的正东方向找到一座建筑物AB，高约为17.3m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，瑞云塔顶部M的仰角分别为和，在A处测得瑞云塔顶部M的仰角为，瑞云塔的高度约为（

）

A．39m B．34.6m C．33m D．32m42．（2223高一下·宁夏银川·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则角A的大小为（

）A． B． C． D．43．（2223高一下·广西南宁·期末）△ABD、△BCE、△CAF是3个全等的三角形，用这3个三角形拼成如图所示的2个等边三角形△ABC、△DEF，若，.，则DF＝（

）

A．1 B． C．2 D．44．（2223高一下·江西景德镇·期末）已知的内角，，的边分别对应，，，若，为中点，若，，则（

）A． B． C． D．二、多选题45．（2223高一下·甘肃临夏·期末）在中，，，，D为线段上的点，则下列说法正确的是（

）A．B．若D为的中点，则C．若为的平分线，则D．若，则46．（2223高一下·辽宁鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列叙述正确的是（

）A．若，，，则满足条件的三角形有且只有一个B．若，则为钝角三角形C．若不是直角三角形，则D．若，则为等腰三角形47．（2223高一下·辽宁沈阳·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（

）A．B．若，则该三角形周长的最大值为6C．若角A的平分线AD交BC于D，且AD＝2，则D．若的面积为2，a，b，c边上的高分别为，且，则的最大值为48．（2223高一下·安徽宣城·期末）已知的内角A，B，C所的对边分别为a，b，c，其中，，，下列四个命题中正确的是（

）A．是钝角三角形 B．面积为C．外接圆面积为 D．若D为AB中点，则49．（2223高一下·贵州黔东南·期末）已知的内角所对的分别是，且，是外一点，若，，则下列说法正确的是（

）A．B．若，则四点共圆C．是等边三角形D．四边形面积的最大值为三、填空题50．（2223高一下·黑龙江牡丹江·期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，的面积为，，，则.51．（2223高一下·内蒙古赤峰·期末）在锐角中，角的对边分别为，且满足，若恒成立，则实数的取值范围为．=52．（2223高一下·河南安阳·期末）某同学为了测量学校天文台的高度，选择学校宿舍楼三楼一阳台，到地面的距离为，在它们之间的地面上的点(、、三点共线)处测得阳台，天文台顶的仰角分别是和，在用台处测得天文台顶的仰角为，假设、和点在同一平面内，则学校天文台的高度为.

53．（2223高一下·黑龙江大庆·期末）已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的最大值是．54．（2223高一下·江西景德镇·期末）在锐角中，内角，，的边分别对应，，，若，则的取值范围是.四、解答题55．（2223高一下·重庆沙坪坝·期末）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．(1)求A；(2)若D为延长线上一点，且，求的取值范围．56．（2223高一下·甘肃临夏·期末）近年来临夏州深入实施生态环境保护和流域综合治理，城区面貌焕然一新某片水域，如图，，为直线型岸线，米，米，，该水域的水面边界是某圆的一段弧，过弧上一点P按线段和修建垃圾过滤网，已知．

(1)求岸线上点A与点B之间的距离；(2)如果线段上的垃圾过滤网每米可为环卫公司节约50元的经济效益，线段上的垃圾过滤网每米可为环卫公司节约元的经济效益，则这两段垃圾过滤