4.2.1指数函数的概念导学案高一上学期数学人教A版

人教A版（2019）数学必修第一册导学案第四章指数函数与对数函数4.2.1指数函数的概念知识点一指数函数的概念一般地，函数(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.知识点二指数型函数模型形如(k∈R，且k≠0；a>0且a≠1)的函数是指数型函数模型．【典例剖析】类型一指数函数的概念[例1](1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()A．y＝(－4)x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0，a≠1)(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则()A．a＝1或2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠1类型二指数函数的解析式[例2](1)指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,9)，则f(－1)＝________.[变式训练2]已知指数函数y＝ax＋(a－2)(a－3)的图象过点(2,4)，则a＝_______.类型三指数型函数的实际应用[例3]某片森林原来面积为a，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p%，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2019年年末，森林剩余面积为原来面积的eq\f(\r(2),2)(不考虑自然状态下森林面积的增长)．(1)求每年砍伐面积的百分比p%；(2)到2019年年末，该森林已砍伐了多少年？[变式训练3]衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发，从而体积缩小，刚放入的新樟脑丸体积为a，经过t天后樟脑丸的体积V(t)与天数t的关系式为V(t)＝a·2－kt，若新樟脑丸经过80天后，体积变为eq\f(4,11)a，则函数V(t)的解析式为．【课堂小练】1．给出下列函数：①y＝2×3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是()A．0B．1C．2D．32．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是()A．a>0且a≠1 B．a≥0且a≠1C．a>eq\f(1,2)且a≠1 D．a≥eq\f(1,2)3．随着我国经济的不断发展，2019年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为()A．3000×1.06×6元B．3000×1.066元C．3000×1.06×7元D．3000×1.067元4．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝____________.5．有关部门计划于2019年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问：该市在2025年应投入多少辆电力型公交车？【课堂小结】1．指数函数中，底数是一个常量，自变量出现在指数位置上．显然y＝xa不是指数函数，这一点要特别注意．2．指数函数中，系数一定为1，指数一定为x.例如，y＝3×2x不是指数函数，y＝2x＋1也不是指数函数．3．当0<a<1时，x→＋∞，y→0；当a>1时，x→－∞，y→0.(其中“x→＋∞”的意义是“x接近于正无穷大”)【答案解析】类型一指数函数的概念[例1](1)下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是()A．y＝(－4)x B．y＝πxC．y＝－4x D．y＝ax＋2(a>0，a≠1)(2)若y＝(a2－3a＋3)ax是指数函数，则()A．a＝1或2 B．a＝1C．a＝2 D．a>0且a≠1[思路分析](1)利用指数函数的概念进行判断；(2)依据指数函数的形式定义，确定参数a所满足的条件求解．[解析](1)由指数函数的定义可知，只有B符合定义．(2)由y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋3＝1，,a>0且a≠1.))∴a＝2.选C.[答案](1)B(2)C【方法提炼】1．一个函数是指数函数，需满足三个条件：(1)底数大于0且不等于1.(2)指数是单一的自变量x.(3)系数为1，且没有其他项．2．已知某函数是指数函数求参数值的步骤：(1)依据指数函数形式列方程：令底数大于0且不等于1，系数等于1，列出不等式与方程．(2)求参数值：解不等式与方程求出参数的值．[变式训练1]已知函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x为指数函数，则a＝1.解析：函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a＋2＝1，,a＋1>0，,a＋1≠1，))解得a＝1.类型二指数函数的解析式[例2](1)指数函数y＝f(x)的图象经过点(2,9)，则f(－1)＝________.(2)指数函数y＝f(x)的图象经过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,4)))，那么f(4)f(2)等于________．[思路分析]设出指数函数f(x)的解析式，然后代入已知点的坐标求解参数，从而确定函数解析式，然后代值求解．[解析](1)设y＝f(x)＝ax(a>0，a≠1)，由题意得a2＝9，所以a＝3，f(x)＝3x，所以f(－1)＝3－1＝eq\f(1,3).(2)设f(x)＝ax(a>0，a≠1)，∴a－2＝eq\f(1,4).∴a＝2.f(x)＝2x.∴f(4)f(2)＝24×22＝64.[答案](1)eq\f(1,3)(2)64[变式训练2]已知指数函数y＝ax＋(a－2)(a－3)的图象过点(2,4)，则a＝2.解析：由指数函数的定义，可知(a－2)(a－3)＝0，解得a＝2或a＝3.当a＝2时，指数函数y＝2x的图象过点(2,4)，符合题意；当a＝3时，指数函数y＝3x的图象不过点(2,4)，应舍去．综上，a＝2.类型三指数型函数的实际应用[例3]某片森林原来面积为a，计划每年砍伐的森林面积是上一年年末森林面积的p%，当砍伐到原来面积的一半时，所用时间是10年，已知到2019年年末，森林剩余面积为原来面积的eq\f(\r(2),2)(不考虑自然状态下森林面积的增长)．(1)求每年砍伐面积的百分比p%；(2)到2019年年末，该森林已砍伐了多少年？[解](1)由题意可得，a(1－p%)10＝eq\f(1,2)a，解得p%＝，∴每年砍伐面积的百分比p%为.(2)设经过m年剩余面积为原来的eq\f(\r(2),2)，则a·(1－p%)m＝eq\f(\r(2),2)a，解得m＝5，故到2019年年末，该森林已砍伐了5年．【方法提炼】关于指数型函数模型,设原有量为N，每次的增长衰减率为p，经过x次增长衰减，该量增长到y，则y＝N1±pxx∈N.eq\a\vs4\al()[变式训练3]衣柜里的樟脑丸会随着时间挥发，从而体积缩小，刚放入的新樟脑丸体积为a，经过t天后樟脑丸的体积V(t)与天数t的关系式为V(t)＝a·2－kt，若新樟脑丸经过80天后，体积变为eq\f(4,11)a，则函数V(t)的解析式为V(t)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,11)))eq\s\up15(eq\f(t,80))(t≥0)．解析：因为新樟脑丸经过80天后，体积变为eq\f(4,11)a，所以eq\f(4,11)a＝a·2－80k，所以2－80k＝eq\f(4,11)，所以V(t)＝a·2－kt＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,11)))eq\s\up15(eq\f(t,80))，所以函数V(t)的解析式为V(t)＝a·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,11)))eq\s\up15(eq\f(t,80))(t≥0)．【课堂小练】1．给出下列函数：①y＝2×3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是(B)A．0B．1C．2D．3解析：由指数函数的定义可知只有③是指数函数．2．若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是(C)A．a>0且a≠1 B．a≥0且a≠1C．a>eq\f(1,2)且a≠1 D．a≥eq\f(1,2)解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－1>0，,2a－1≠1，))解得a>eq\f(1,2)且a≠1.3．随着我国经济的不断发展，2019年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2025年年底该地区的农民人均年收入为(B)A．3000×1.06×6元B．3000×1.066元C．3000×1.06×7元D．3000×1.067元解析：设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，根据题意可得y＝3000×1.06x，从2019到2025年共经过了6年，故答案为3000×1.066元．4．若指数函数f(x)的图象过点(3,8)，则feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝eq\f(\r(2),2).解析：设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则由f(3)＝8得a3＝8，∴a＝2，∴f(x)＝2x，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝＝eq\f(\r(2),2).5．有关部门计划于2019年向某市投入128辆电力型公交车，且随后电力型公交车每年的投入量比上一年增加50%，试问：该市在2025年应投入