1 第1课时　抛物线的简单几何性质(一)

3．3.2抛物线的简单几何性质学习指导核心素养1.了解抛物线的几何图形及简单几何性质．2.通过抛物线方程的学习，进一步体会数形结合的思想，了解抛物线的简单应用．1.数学抽象：依据抛物线的方程、图象研究抛物线的几何性质．2.数学运算：由抛物线的性质求抛物线的标准方程．3.逻辑推理、数学运算：直线和抛物线的位置关系的判定．第1课时抛物线的简单几何性质(一)知识点抛物线的简单几何性质标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)对称轴x轴y轴顶点(0，0)离心率e＝11．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝3p，则|PQ|等于()A．4pB．5pC．6pD．8p解析：选A.因为PQ过焦点，所以|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p.2．抛物线y2＝x的焦点到准线的距离等于________．解析：在抛物线y2＝2px(p>0)中，p的几何意义为焦点到准线的距离．答案：eq\f(1,2)3．已知抛物线y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围．解：已知抛物线y2＝8x，所以p＝4.所以抛物线的顶点为(0，0)，焦点为(2，0)，准线为直线x＝－2，对称轴为x轴，变量x的范围为x≥0.考点一由抛物线的几何性质求标准方程已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长为2eq\r(3)，求抛物线的方程．【解】设所求抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，抛物线与圆的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2eq\r(3)，即y1－y2＝2eq\r(3).由对称性，知y2＝－y1，代入上式，得y1＝eq\r(3)，把y1＝eq\r(3)代入x2＋y2＝4，解得x1＝±1，所以点(1，eq\r(3))在抛物线y2＝2px上，点(－1，eq\r(3))在抛物线y2＝－2px上，可得p＝eq\f(3,2).于是所求抛物线的方程为y2＝3x或y2＝－3x.由抛物线的几何性质求标准方程的步骤(1)确定抛物线的类型(焦点所在的位置).(2)设出抛物线的标准方程．(3)求出参数p.(4)写出所求抛物线的标准方程．1．以x轴为对称轴，顶点为坐标原点，焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是()A．y2＝8x B．y2＝－8xC．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y解析：选C.依题意设抛物线方程为y2＝±2px(p＞0).因为焦点与原点之间的距离为2，所以eq\f(p,2)＝2，所以2p＝8，所以抛物线方程为y2＝8x或y2＝－8x.故选C.2．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的标准方程．解：椭圆的方程可化为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1，其短轴在x轴上，所以抛物线的对称轴为x轴，所以设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0).因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，即eq\f(p,2)＝3，所以p＝6，所以所求抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x.考点二抛物线性质的应用(1)设P是抛物线y2＝4x上任意一点，设A(3，0)，则|PA|取得最小值为________．(2)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个三角形的边长．【解】(1)设点P的坐标为(x，y)，因为y2＝4x，x≥0，则|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.当x＝1时，|PA|取得最小值2eq\r(2).故填2eq\r(2).(2)如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2.又|OA|＝|OB|，所以xeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)＝xeq\o\al(2,2)＋yeq\o\al(2,2)，即xeq\o\al(2,1)－xeq\o\al(2,2)＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1>0，x2>0，2p>0，所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，所以y1＝eq\f(\r(3),3)x1，与yeq\o\al(2,1)＝2px1联立，解得y1＝2eq\r(3)p，所以|AB|＝2y1＝4eq\r(3)p，即这个三角形的边长为4eq\r(3)p.利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题．(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题．(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题．(4)焦点弦：解决焦点弦问题．设A，B是抛物线x2＝4y上两点，O为原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的面积为16，则∠AOB＝()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选D.由|OA|＝|OB|，知抛物线上点A，B关于y轴对称，设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－a，\f(a2,4)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(a2,4)))，则S△AOB＝eq\f(1,2)×2a×eq\f(a2,4)＝16，解得a＝4，所以|AB|＝8，|OA|＝|OB|＝4eq\r(2)，所以∠AOB＝90°.1．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是()A．x2＝16y B．x2＝8yC．x2＝±8y D．x2＝±16y解析：选D.顶点在原点，对称轴为y轴的抛物线的标准方程为x2＝±2py(p＞0).由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求的抛物线的标准方程为x2＝±16y.2．抛物线y2＝2x上有两点A，B，且AB垂直于x轴．若|AB|＝2eq\r(2)，则抛物线的焦点到直线AB的距离为()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,8)解析：选A.因为|AB|＝2eq\r(2)，AB垂直于x轴，不妨设点A的纵坐标为eq\r(2)，代入抛物线方程得x＝1，所以线段AB所在直线方程为x＝1，抛物线的焦点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，则焦点到直线AB的距离为1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).3.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝eq\r(17)，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，由题意知Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2))).因为|AF|＝3，所以y0＋eq\f(p,2)＝3，因为|AM|＝eq\r(17)，所以xeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y0＋\f(p,2)))eq\s\up12(2)＝17，所以xeq\o\al(2,0)＝8，代入方程xeq\o\al(2,0)＝2py0得，8＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝4.所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.[A基础达标]1．已知抛物线的对称轴为x轴，顶点在原点，焦点在直线2x－4y＋11＝0上，则此抛物线的方程是()A．y2＝－11x B．y2＝11xC．y2＝－22x D．y2＝22x解析：选C.在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0，解得x＝－eq\f(11,2)，所以抛物线的焦点为Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(11,2)，0))，即eq\f(p,2)＝eq\f(11,2)，所以p＝11，所以抛物线的方程是y2＝－22x，故选C.2．设抛物线的焦点到顶点的距离为3，则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是()A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)解析：选D.因为抛物线的焦点到顶点的距离为3，所以eq\f(p,2)＝3，即p＝6.又抛物线上的点到准线的距离的最小值为eq\f(p,2)，所以抛物线上点到准线的距离的取值范围为[3，＋∞).3．在同一平面直角坐标系中，方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0的曲线大致为()解析：选D.将方程9x2＋4y2＝1与3x＋2y2＝0转化为eq\f(x2,\f(1,9))＋eq\f(y2,\f(1,4))＝1与y2＝－eq\f(3,2)x，所以椭圆的焦点在y轴上，抛物线的焦点在x轴上，且开口向左．故选D.4．边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),3)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)x解析：选C.设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).又Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(±\f(\r(3),2)，\f(1,2)))(取点A在x轴上方)，则有eq\f(1,4)＝±eq\f(\r(3),2)a，解得a＝±eq\f(\r(3),6)，所以抛物线方程为y2＝±eq\f(\r(3),6)x.5．已知抛物线的离心率为e，焦点为(0，e)，则抛物线的标准方程为________．解析：由e＝1，得焦点为(0，1)，所以抛物线的标准方程为x2＝4y.答案：x2＝4y6．抛物线y2＝4x的弦AB⊥x轴，若|AB|＝4eq\r(3)，则焦点F到直线AB的距离为________．解析：由抛物线的方程可知F(1，0)，由|AB|＝4eq\r(3)，且AB⊥x轴得yeq\o\al(2,A)＝(2eq\r(3))2＝12，所以xA＝eq\f(yeq\o\al(2,A),4)＝3，所以所求距离为3－1＝2.答案：27．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px(p>0)的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为eq\r(3)，求抛物线的标准方程．解：由已知得eq\f(c,a)＝2，所以eq\f(a2＋b2,a2)＝4，解得eq\f(b,a)＝eq\r(3)，即渐近线方程为y＝±eq\r(3)x.由题意得，抛物线的准线方程为x＝－eq\f(p,2)，可设Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，－\f(\r(3)p,2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\f(\r(3)p,2)))，从而△AOB的面积为eq\f(1,2)·eq\r(3)p·eq\f(p,2)＝eq\r(3)，解得p＝2或p＝－2(舍).所以所求抛物线的标准方程为y2＝4x.[B能力提升]8．已知圆x2＋y2＝r2(r>0)与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点．若四边形ABCD是矩形，则r＝()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\r(2)C．eq\f(\r(5),2) D．eq\r(5)解析：选C.由对称性可假设点A在第一象限，易得Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\r(r2－\f(1,4))))，由四边形ABCD是矩形，可知Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\r(r2－\f(1,4)))).将点A的坐标代入y2＝2x得，r2－eq\f(1,4)＝1，解得r＝eq\f(\r(5),2)，故选C.9．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线x2－y2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________．解析：由抛物线可知焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，准线y＝－eq\f(p,2)，由于△ABF为等边三角形，设AB与y轴交于点M，则|FM|＝p，不妨取Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(p2＋4),2)，－\f(p,2)))，|FM|＝eq\r(3)|MB|，即p＝eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(p2＋4),2)))，解得p＝2eq\r(3).答案：2eq\r(3)10.抛物线y2＝4x的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，其面积为________．解析：据题意知，△PMF为等边三角形时，PF＝PM，所以PM垂直抛物线的准线，设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(m2,4)，m))，则M(－1，m)，则等边三角形边长为1＋eq\f(m2,4)，因为F(1，0)，所以由PM＝FM，得1＋eq\f(m2,4)＝eq\r(（－1－1）2＋m2)，解得m2＝12，所以等边三角形边长为4，其面积为4eq\r(3).答案：4eq\r(3)11．已知抛物线y2＝8x.以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|.若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．解：由|OA|＝|OB|可知，AB⊥x轴，设垂足为点M.又焦点F是△OAB的重心，则|OF|＝eq\f(2,3)|OM|.因为F(2，0)，所以|OM|＝eq\f(3,2)|OF|＝3，所以M(3，0).设A(3，m)在第一象限，代入y2＝8x得，m2＝24，所以m＝2eq\r(6)或m＝－2eq\r(6)，所以A(3，2eq\r(6))，B(3，－2eq\r(6))，所以|OA|＝|OB|＝eq\r(33)，所以△OAB的周长为2eq\r(33)＋4eq\r(6).[C拓展冲刺]12．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且垂直于x轴的弦为AB，O为抛物线的顶点，则∠AOB的度数()A．小于90° B．等于90°C．大于90° D．不能确定解析：选C.设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，则其坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，不妨设点A在x轴上方，将x＝eq\f(p,2)代入抛物线方程，得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p)).在直角三角形AOF中，|OF|＜|AF|，故∠AOF＞45°，由