基础课45 直线与圆、圆与圆的位置关系

基础课45直线与圆、圆与圆的位置关系课时评价·提能基础巩固练1.若直线mx−y+m+3=A.3 B.1 C.33 D.[解析]因为直线mx−y+m+3=0与圆x2+y2=42.[2024·吉安模拟]下列能将圆x2+yA.x+y−1=0 B.x[解析]要使直线平分圆，直线经过该圆的圆心即可，由x2+y2所以圆心坐标为1,经检验可知圆心在x−y+1=03.若圆C1：x2+y2A.−1 B.1 C.1或4 [解析]由题意得圆C2：x−m2+y2=m,所以设圆C1,C2的半径分别为r1,r2，则r1=2,r2=m4.（改编）圆x2+y2−A.22 B.42 C.82[解析]圆x2+y2−4x−4y−10圆心到直线x+y+6所以圆上的点到直线x+y+6最小距离为52所以圆x2+y2−4x−4y−105.（改编）若一条光线从点A−2,−3射出，经y轴反射后与圆x+A.23 B.43 C.−43或−3[解析]点A−2,−3关于y故可设反射光线所在直线的方程为y+即kx−因为反射光线与圆x+32所以圆心−3,2即24k2+50k+24=所以反射光线所在直线的方程为y+3=−43x−2或y+3=−346.[2024·上饶模拟]已知A，B为圆C：x−m2+y−nA.23 B.22 C.2[解析]依题意，CA=CB=2，由CA+CB=所以AB=CB−7.[2024·九江模拟]已知直线l：x+y+2=0与x轴，y轴分别交于M，N两点，动直线l1A.10 B.5−10 C.22[解析]如图所示，根据题意可知，动直线l1：mx+y=0即直线my−4+因为m⋅−1+1⋅m=0所以点P在以OB为直径的圆上，且圆心坐标为1,半径为12设Px,y，则点P圆心到直线l的距离为1+2+22=522，由题意可知M−2,则MN=所以△MNP的面积的最小值为12×28.[2024·益阳模拟]若直线y=x+b与曲线x=A.[−1,2] B.(−2,−1[解析]由题可得，y=x+b曲线x=1−y2画出它们的图象，如图，当直线y=x+b与圆x=1−y2当直线y=x+b过点1,由图可得，当−2<b≤−1时，直线y=x+b综合提升练9.[2024·文昌模拟]（多选题）已知圆O1：x2+y2−2x−3=0和圆O2：A.直线AB的方程为xB.圆O2上存在两点P和Q，使得C.圆O1上的点到直线AB的最大距离为D.若O1C⊥O[解析]圆O1：x2+y2−2x−圆O2：x2+y2−2y−所以O1O2所以两圆相交，两圆方程相减得x−即直线AB的方程为x−y+1=0圆心O1到直线AB的距离d1=22=2，所以AB=2r12−d12圆O1上的点到直线AB的距离的最大值为d1+r1=因为O1C⊥O1D，所以圆心O1到直线CD的距离为2，所以1+λ2=2，解得λ10.[2024·揭阳模拟]（多选题）已知直线l：3x+2y+A.若m=5+13或m=B.若m=5，则圆C关于直线C.若圆E：x2+y2D.若m>5，圆C上有且仅有两个点到l[解析]圆C:x2+y2+4x−对于A，若直线l与圆C相切，则圆心C到直线l的距离等于半径，则3×−2+2×12+m32对于B,若圆C关于直线l对称，则直线l过圆心，则3×−2+2×12+对于C，将圆C与圆E的方程作差得3x2+y+14+5m8=0，即3x+2y+12+5m4=0，则对于D，若圆C上有且仅有两个点到直线l的距离为1，则圆心C(−2,12)到直线l的距离d∈r−1,r+1，即d∈1,3，即11.[2024·衡水模拟]若圆C1：x2+y[解析]如图，由题意得圆C1与圆C2内切，又圆所以C1所以2a+1=412.[2024·岳阳联考]已知圆O：x2+y2=1，点P在直线l：x−y−22=0上运动，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，[解析]如图所示，圆O：x2+y2=1因为sin∠OPB=rOP=1OP，且y所以当OP最小时，∠OPB最大，即∠APB最大，此时且OP=22所以四边形OAPB的面积S四边形设∠AOP=θ，则∠所以劣弧AB⌢及PA，PB所围成的平面图形的面积S又因为sinθ=32，θ∈(所以S=应用情境练13.数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点的距离之比为常数λ(λ>0且λ≠1)的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，A−2,0，动点M满足MA=2MO，得到动点M的轨迹是阿氏圆[解析]设点Mx,y，因为MA=所以动点M的轨迹为阿氏圆C：易知直线l：y=k若对任意实数k，直线l：y=kx−则点1,b在圆C的内部或圆上，所以所以3b2≤5所以实数b的取值范围为[−153,14.[2024·扬州模拟]圆O（O为坐标原点）与直线l：x+y=2相切，与直线l垂直的直线m与圆O交于不同的两点P，Q，若OP[解析]由题意得，圆心0,0到直线l1：x+y−2=0设直线m的方程为y=x+b，联立y=x+设直线m与圆O的交点为Px1,由Δ=2b得b2<4，x因为OP⋅OQ<0又y1=x1+b由①②得b2<2，满足Δ>0故直线m的纵截距的取值范围是−2创新拓展练15.[2024·昆明联考]已知圆O：x2+y2=4，过点P1,1的直线l与圆[解析]圆O：x2+y2=因为12+12=2<4，当P1,1为AB的中点时，OA，此时OP⊥AB，OP=2因为∠POA∈(0,π2)，所以即OA，OB夹角的最小值为π2当线段AB是圆的一条直径时，OA，OB的夹角最大，最大值为π，所以∠AOB∈[π所以OA⋅16.[2024·潍坊联考]已知⊙C的圆心在直线3x−y−3=0上，点C在y（1）求⊙C（2）设点D在⊙C上运动，且点T满足DT=2TO（O为原点），记点①求曲线E的方程.②若过点M1,0的直线与曲线E交于A，B两点，问在x轴的正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠[解析]（1）由题意可设圆C的圆心C的坐标为1,因为圆心C在直线3x−y−所以3−b−3=0，所以圆心C到直线l的距离d=22.设圆C所以弦长为2r又2r2−8所以圆C的标准方程为x−（2）①设Tx,y则DT=x−由DT=2TO，得x−由D在圆C上运动得3x−整理可得点