高考数学一轮复习(新教材新高考)第04讲对数与对数函数专项练习(学生版+解析)

第04讲对数与对数函数（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第10题,5分对数的运算性质的应用对数函数模型的应用对数函数的单调性解不等式2021年新Ⅱ卷，第7题,5分比较对数式的大小无2020年新I卷，第12题,5分对数的运算随机变量分布列的性质2020年新Ⅱ卷，第7题,5分对数函数单调性复合函数的单调性2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5分【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点3.熟练掌握对数函数且与指数函数且的图象关系【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习知识讲解对数的运算对数的定义如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数对数的分类一般对数：底数为，，记为常用对数：底数为10，记为，即：自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即：对数的性质与运算法则①两个基本对数：①，②②对数恒等式：①，②。③换底公式：；推广1：对数的倒数式推广2：。④积的对数：；⑤商的对数：；⑥幂的对数：❶，❷，❸，❹对数函数对数函数的定义及一般形式形如：的函数叫做对数函数对数函数的图象和性质图象性质定义域：值域：当时，即过定点当时，；当时，当时，；当时，在上为增函数（5）在上为减函数考点一、对数的运算1．（2022·天津·统考高考真题）化简的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】根据对数的性质可求代数式的值.【详解】原式，故选：B2．（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（

）A．25 B．5 C． D．【答案】C【分析】根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出．【详解】因为，，即，所以．故选：C.3．（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则____________．【答案】1【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答.【详解】函数，所以.故答案为：11．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数与对数的互化可得出、的表达式，结合换底公式可求得的值.【详解】因为且，所以，且，所以，且，且有，，所以，，，所以，，则，又因为且，解得.故选：B.2．（2023·河北·校联考一模）若函数，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据自变量的取值，即可代入到分段函数中，计算即可.【详解】由于，所以，故，故选C.3．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数，则（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】结合函数的解析式及对数的运算性质计算即可.【详解】由题意可得，故选：D.4．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知函数是偶函数，，则_______．【答案】【分析】根据是偶函数，解出值，再根据分段函数解析式算出结果.【详解】解：已知函数是偶函数，所以，即，整理得，解得，经检验，满足题意，因为，则，则，，故答案为：.考点二、对数函数的定义域1．（全国·高考真题）函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先，考查对数的定义域问题，也就是的真数一定要大于零，其次，分母不能是零．【详解】解：由，得，又因为，即，得故，的取值范围是，且．定义域就是故选：B．2．（上海·高考真题）函数的定义域为_____________．【答案】【分析】函数的定义域满足且，解得答案.【详解】函数的定义域满足：且，解得.故答案为：1．（2023·广东韶关·统考模拟预测）若集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由根式、对数性质解不等式和定义域，再应用集合交运算求结果.【详解】由，则，故，由，则，故，所以.故选：B2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，然后利用集合补集和并集运算即可.【详解】由已知，，，

.故选：C.3．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）集合，集合，全集，则为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据真数大于零以及根式的性质可化简集合，即可由集合的交并补运算求解.【详解】对于集合A，由或，所以，，，故.故选：B考点三、对数函数的图象与性质1．（全国·高考真题）当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图像为（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】根据指数函数和对数函数的图像，即可容易判断.【详解】∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选：C.【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，属基础题.2．（山东·高考真题）已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据指数函数的图象和特征以及图象的平移可得正确的选项.【详解】从题设中提供的图像可以看出，故得，故选：D．【点睛】本题考查图象的平移以及指数函数的图象和特征，本题属于基础题.3．（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：确定函数过定点（1，0）关于x=1对称点，代入选项验证即可．详解：函数过定点（1，0），（1，0）关于x=1对称的点还是（1，0），只有过此点．故选项B正确点睛：本题主要考查函数的对称性和函数的图像，属于中档题．1．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由函数在定义域上单调递增，可得，排除A，C；代入,得，从而得答案.【详解】解：由图象可得函数在定义域上单调递增，所以，排除A，C；又因为函数过点,所以，解得．故选：D2．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据，，结合对数函数与指数函数的单调性判断即可.【详解】，为定义域上的单调递增函数，故不成立；，为定义域上的单调递增函数，，故C和D不成立.故选：B.3．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为________．【答案】【分析】作出函数的大致图象，结合图象可得，即可得解.【详解】函数的图象关于对称，其定义域为，作出函数的大致图象如图所示，由图可得，要使函数的图象不过第四象限，则，即，解得，所以实数a的取值范围为.故答案为：.考点四、对数函数的单调性1．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.【详解】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.2．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.1．（2022·全国·哈师大附中校联考模拟预测）函数的单调递减区间为__________.【答案】/【分析】根据复合函数的单调性求解，需注意函数的定义域.【详解】在上单调递增，，当时，单调递减，根据复合函数的单调性知在（也可）上单调递减，故答案为：（也可）2．（2023·安徽黄山·统考三模）“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】结合对数复合函数的单调性及充分条件、必要条件的定义，即可得答案.【详解】令，，若在上单调递增，因为是上的增函数，则需使是上的增函数且，则且，解得.因为⫋，故是的必要不充分条件，故选：C.3．（2023·安徽蚌埠·统考二模）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称C．函数在上是减函数 D．函数的值域为【答案】BD【分析】根据奇偶性的定义判断AB选项；利用换元法分析函数的单调性，即可判断C选项；根据单调性求值域即可判断D选项.【详解】因为的定义域为，所以，所以为偶函数，所以A错误，B正确；令，则，令，则，当时，，所以为增函数，又为增函数，所以为增函数，又为增函数，所以在上是增函数.又为上的偶函数，所以，所以的值域为.所以C错误，D正确.故选：BD.4．（2023·河北邯郸·统考一模）（多选）已知函数，则（

）A．的定义域是 B．有最大值C．不等式的解集是 D．在上单调递增【答案】AB【分析】根据函数解析式，求解函数定义域，利用复合函数单调性求解单调区间及最值，利用单调性解函数不等式。【详解】由题意可得，解得，即的定义域是，则A正确；，因为在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，则B正确；因为在上单调递增，在上单调递减，且，所以不等式的解集是，则C错误；因为在上单调递减，所以D错误．故选：AB.5．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知函数为R上单调递减的奇函数，则实数a的值为_____．【答案】1【分析】利用奇函数的定义求出a，再根据给定的单调性确定作答.【详解】因为函数为R上的奇函数，则，，即有恒成立，因此对任意实数x恒成立，于是，解得，当时，，函数与在上单调递增，则函数在上单调递增，而函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，于是奇函数在上单调递增，即在R上单调递增，不符合题意，当时，，因此函数在R上单调递减，符合题意，所以实数a的值为1.故答案为：1考点五、对数函数的值域与最值1．（山东·高考真题）函数的值域为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数的性质求得，再由对数函数的性质可得结果.【详解】，，，∴函数的值域为.故选：A【点睛】本题主要考查指数函数与对数函数的基本性质，属于基础题.2．（山西·高考真题）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a=A． B．2 C．2 D．4【答案】D【详解】试题分析：设，函数为上的增函数，则在区间上的最小值为，最大值为，则，即为，解得，故选D．考点：对数函数的值域与最值.3．（2004·天津·高考真题）若函数，在区间上的最大值是最小值的3倍，则等于A． B． C． D．【答案】D【详解】依据题设可知函数在区间上单调递减，则，即，解之得，故应选答案D.1．（2023·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知函数的值域为R，那么实数k的取值范围是A． B． C． D．【答案】C【解析】利用函数的值域是R，通过判别式列出不等式求解即可．【详解】函数的值域为R，所以对数的真数取遍全体正实数，可得△＝（k﹣3）2﹣9≥0，解得k∈（﹣∞，0]∪[6，+∞）．故选：C．【点睛】本题考查函数的值域，恒成立问题的处理方法，考查计算能力以及转化思想的应用．2．（2022·重庆·统考模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据对数函数的性质可得且，则，即可求出的大致范围，再令的根为、且，，，对分两种情况讨论，结合二次函数、对数函数的单调性判断即可；【详解】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，令的根为、且，，，若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；故选：A3．（2023·广东·统考模拟预测）（多选）已知函数，则（

）A．当时，的定义域为RB．一定存在最小值C．的图象关于直线对称D．当时，的值域为R【答案】AC【分析】根据对数函数的性质及特殊值一一判断.【详解】对于A：若，则，则二次函数的图象恒在轴的上方，即恒成立，所以的定义域为R，故A正确；对于B：若，则的定义域为，值域为R，没有最小值，故B错误；对于C：由于函数为偶函数，其图象关于y轴对称，将该函数的图象向左平移个单位长度即可得到函数的图象，此时对称轴为直线，故C正确；对于D：若，则，故的值域不是R，故D错误.故选：AC考点六、对数函数中奇偶性的应用1．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．【答案】；．【分析】根据奇函数的定义即可求出．【详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性若，则的定义域为，不关于原点对称若奇函数的有意义，则且且，函数为奇函数，定义域关于原点对称，，解得，由得，，，故答案为：；．[方法二]：函数的奇偶性求参函数为奇函数[方法三]：因为函数为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由可得，，所以，解得：，即函数的定义域为，再由可得，．即，在定义域内满足，符合题意．故答案为：；．1．（2021·山西临汾·统考一模）已知函数，若，则______．【答案】﹣3【分析】利用函数的对称性可求得函数值．【详解】根据题意，函数，则，则，若，则，故答案为：﹣3．2．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）已知函数，且，则（

）A． B． C． D．3【答案】C【分析】令，则为奇函数，根据已知求出，，再由即可求出答案.【详解】解：根据题意，函数，则，则有，故，若，则，故选：C.3．（2021·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．是奇函数B．的图象关于点对称C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则D．令，若，则实数的取值范围是【答案】BCD【分析】利用函数的奇偶性的定义，可判定A错误；利用图像的平移变换，可判定B正确；利用函数的图象平移和奇偶性，可得判定C正确；利用函数的单调性，可判定D正确.【详解】由题意函数，因为恒成立，即函数的定义域为，又因为，所以不是奇函数，所以错误；将的图象向下平移两个单位得到，再向左平移一个单位得到，此时，所以图象关于点对称，所以的图象关于对称，所以B正确；将函数的图象向左平移一个单位得，因为，即，所以函数为奇函数，所以函数关于点对称，所以若在处取得最大值，则在处取得最小值，则，所以C正确；由，可得，由，设，，可得，所以为减函数，可得函数为减函数，所以函数为单调递减函数，又由为减函数，所以为减函数，因为关于点对称，所以，即，即，解得，所以D正确.故选：BCD.【点睛】求解函数有关的不等式的方法及策略：1、解函数不等式的依据是函数的单调性的定义，具体步骤：①将函数不等式转化为的形式；②根据函数的单调性去掉对应法则“”转化为形如：“”或“”的常规不等式，从而得解.2、利用函数的图象研究不等式，当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数的图象上、下关系问题，从而利用数形结合求解.考点七、对数函数值的大小比较（构造函数比较大小）1．（2021·全国·统考高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】对数函数的单调性可比较、与的大小关系，由此可得出结论.【详解】，即.故选：C.2．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解.【详解】，，，，，，.故选：D.3．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.【详解】[方法一]：，所以；下面比较与的大小关系.记，则，，由于所以当0<x<2时，，即，，所以在上单调递增，所以，即，即；令，则，，由于，在x>0时，，所以，即函数在[0，+∞)上单调递减，所以，即，即b<c；综上，，故选：B.[方法二]：令，即函数在（1，+∞)上单调递减令，即函数在（1，3)上单调递增综上，，故选：B.【点睛】本题考查比较大小问题，难度较大，关键难点是将各个值中的共同的量用变量替换，构造函数，利用导数研究相应函数的单调性，进而比较大小，这样的问题，凭借近似估计计算往往是无法解决的.4．（2022·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】构造函数，导数判断其单调性，由此确定的大小.【详解】方法一：构造法设，因为，当时，，当时，所以函数在单调递减，在上单调递增，所以，所以，故，即，所以，所以，故，所以，故，设，则,令，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，所以当时，，所以当时，，函数单调递增，所以，即，所以故选：C.方法二：比较法解：，，，①，令则，故在上单调递减，可得，即，所以；②，令则，令，所以，所以在上单调递增，可得，即，所以在上单调递增，可得，即，所以故1．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知，，，则三者的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据对数函数的图象与性质，分别求得，，再由指数函数的性质，求得，即可得到答案.【详解】由，即又由，可得，因为，即，所以.故选：C.2．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用换底公式得到，再利用基本不等式比较即可；同理得到的大小.【详解】解：因为，又因为，所以，即；因为，又因为，所以，即，所以，故选：A3．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知，，，则，，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先可得，再根据对数函数的性质得到，即可判断.【详解】因为，所以，又，，因为，，，所以，则，即，所以.故选：B4．（2022·广东茂名·统考模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】判断sin2和的大小，比较a与、b与、c与的大小可判断a与b大小关系及b与c大小关系，判断a与、c与的大小可判断a与c大小关系，从而可判断a、b、c大小关系．【详解】，，即b，∴a>b；∵，，∴，；∵，，，；．故选：D．【点睛】本题关键是利用正弦函数的值域求出sin2的范围，以和两个值作为中间值，比较a、b、c与中间值的大小即可判断a、b、c的大小．5．（2023·海南·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由正弦函数、对数函数性质易得，构造，利用导数判断单调性，再判断大小关系即可.【详解】因为，所以，显然.令，则，，若，且，则，所以在上递减，则，即，综上，.故选：D.6．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）设，，，则下列关系正确的是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，利用导数求出函数的单调区间，即可比较，再构造函数，判断函数在上的单调性，即可比较，从而可得出答案.【详解】令，则，当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以，即，所以，令，则，令，则，所以在上递减，所以，所以，所以在上递减，所以，即当时，，所以，即，所以．故选：D.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于构造函数和，即，当且仅当时，取等号，当时，.【基础过关】一、单选题1．（2023·广东广州·统考三模）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得和，集合基本的交集与补集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合，，可得，所以.故选：C．2．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）若集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出集合，再由交集和补集的运算求解即可.【详解】由可得：，解得：，由可得：，解得：或，所以，，所以故选：D.3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，则（

）A． B．1 C．-1 D．2【答案】C【分析】根据分段函数的解析式求函数值即可.【详解】由条件可得，则.故选：C.4．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用指数与对数的互化可得出、的表达式，结合换底公式可求得的值.【详解】因为且，所以，且，所以，且，且有，，所以，，，所以，，则，又因为且，解得.故选：B.5．（2023·宁夏银川·银川一中校考三模）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据题意，由对数的运算可知，即可得到结果.【详解】因为，，且，所以.故选：C6．（2023·北京通州·统考三模）设，，，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用函数的单调性估算的范围，即可比较大小.【详解】因为在上单调递增，且，所以，化简得；因为在上单调递减，且，所以，化简得；因为在上单调递增，且，所以，化简得；综上，可知.故选：A7．（2023·北京海淀·校考三模）下列函数中，在区间上是减函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性及对数型复合函数的单调性判断即可.【详解】对于A：在定义域上单调递增，故A错误；对于B：在定义域上单调递增，故B错误；对于C：定义域为，因为在上单调递减且值域为，又在定义域上单调递减，所以在上单调递增，故C错误；对于D：，函数在上单调递减，故D正确；故选：D8．（2023·河南·校联考模拟预测）若函数为奇函数，则（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】利用即可求出，即可求解【详解】，因为为奇函数，所以，即，所以，经检验，满足题意,所以，所以.故选：B.9．（2023·山东聊城·统考三模）设，，则（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据指对幂函数的单调性以及中间值进行比较即可.【详解】由单调递减可知：.由单调递增可知：，所以，即，且.由单调递减可知：，所以.故选：D二、填空题10．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知函数满足：①为偶函数；②的图象过点；③对任意的非零实数，，.请写出一个满足上述条件的函数______.【答案】（答案不唯一）【分析】由函数的奇偶性、对数运算的性质即可得答案.【详解】因为函数满足：①为偶函数；②的图象过点；③对任意的非零实数，，所以满足三个条件.故答案为：（答案不唯一）.【能力提升】一、单选题1．（2023·广东东莞·校联考模拟预测）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用余弦函数的单调性，对数函数的单调性，结合放缩法可解.【详解】因为，所以，又，所以，所以，因为，所以.故选：B2．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）若，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】构造，对求导，得出的单调性、最值，可得，可判断；将不等式中的换为，可得，可知，通过对数运算可得，即可得出答案.【详解】．令，则．所以当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以，即，当且仅当时，等号成立．所以．将不等式中的换为，可得，当且仅当时，等号成立，所以；又，所以．故．故选：B.3．（2023·山东潍坊·三模）已知，则的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造函数，求出导函数得出单调性，从而可得，即，得出大小，同理可得大小，得出答案.【详解】∵，构造函数，，令，则，∴在上单减，∴，故，所以在上单减，∴，∵，构造函数，，令，则，∴在上单减，∴，故，所以在上单减，∴，故.故选：D.4．（2023·安徽·校联考二模）设，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用函数单调性比较数的大小.【详解】设，则，当时，，当时，，即当时，取得最小值，即有，．令，则，令，易得在上单调递增，∴当时，，，在上单调递增，，即，，.故选：B．5．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知实数满足：，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先可得，再设，即可得到，再结合指数函数的性质得到，同理得到、，再根据函数的单调性得到，即可判断.【详解】因为，即，所以，设，，设是单调递增函数，所以，所以，即，又是单调递减函数，且，所以，设设是单调递增函数，所以，所以，即又是单调递减函数，且，，所以，同理，由得，又是单调递减函数，且，，所以，由，所以且是单调递减函数，所以.综上可得故选：A【点睛】关键点睛：本题解答的关键是合理的构造函数，结合指数函数的性质判断.6．（2023·山西运城·统考二模）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据对数的运算，计算可得，则.构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出，根据对数函数的单调性即可得出；先证明当时，.然后根据二倍角公式以及不等式的性质，推得.【详解】因为，所以，.令，，则，当时，，所以在上单调递增，所以，所以.因为在上单调递增，所以；令，则恒成立，所以，在R上单调递减，所以，当时，有，即，所以.因为，所以，所以.所以.故选：B．【点睛】方法点睛：对变形后，作差构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出值的大小关系.7．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知定义在R上的函数满足：为奇函数，，且对任意，都有，则（

）A． B． C． D．1【答案】D【分析】由题设可得、，根据有，结合、即可求解.【详解】由题设，则，所以，即关于对称，又，则，由于，又任意都有，所以，由，故，而，故，故.综上，.故选：D【点睛】关键点点睛：根据已知条件得到，结合对称性和递推关系求得.二、多选题8．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知，满足，则（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】利用指数式和对数式的运算规则，结合导数和基本不等式求最值，验证各选项是否正确.【详解】对于A，由，得，当且仅当时等号成立，A正确；对于B，由，得且，令，则，解得，解得，得在上单调递增，在上单调递减，所以，即，B正确；对于C，当时，满足，，C错误；对于D，，D正确.故选：ABD.9．（2023·吉林长春·长春吉大附中实验学校校考模拟预测）若正实数满足，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或.对于ABC，分、，结合对数函数的性质及作差比较法即可判断；对于D，由两边取自然对数得到，即，构造函数（且），通过导数判断单调性即可判断.【详解】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或，当时，，此时；，故；，；当时，，此时，，故；，；对于ABC，A正确，BC均错误；对于D，，两边取自然对数，，因为不管，还是，均有，所以，故只需证即可，设（且），则，令（且），则，当时，，当时，，所以，所以在且上恒成立，故（且）单调递减，因为，所以，结论得证，D正确．故选：AD．【点睛】思路点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及数与数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.三、填空题10．（2023·山东菏泽·山东省鄄城县第一中学校考三模）已知函数且过定点，且定点在直线上，则的最小值为________．【答案】【分析】根据对数函数的性质得，代入直线方程得，再根据基本不等式可求出结果.【详解】令，即，得，故，由在直线上，得，即，因为且，，所以且，，所以.当且仅当，即，即，时，等号成立.故的最小值为.故答案为：【真题感知】一、单选题1．（2020·山东·统考高考真题）函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意得到，再解不等式组即可.【详解】由题知：，解得且.所以函数定义域为.故选：B2．（2020·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据已知等式，利用指数对数运算性质即可得解【详解】由可得，所以，所以有，故选：B.【点睛】本题考查的是有关指对式的运算的问题，涉及到的知识点有对数的运算法则，指数的运算法则，属于基础题目.3．（2021·天津·统考高考真题）若，则（

）A． B． C．1 D．【答案】C【分析】由已知表示出，再由换底公式可求.【详解】，，.故选：C.4．（2022·天津·统考高考真题）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用幂函数、对数函数的单调性结合中间值法可得出、、的大小关系.【详解】因为，故.故答案为：C.5．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先求出的定义域，然后求出的单调递增区间即可.【详解】由得或所以的定义域为因为在上单调递增所以在上单调递增所以故选：D【点睛】在求函数的单调区间时一定要先求函数的定义域.6．（2020·全国·统考高考真题）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.【详解】因为，，所以.故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.7．（2020·全国·统考高考真题）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（

）A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b【答案】A【分析】由题意可得、、，利用作商法以及基本不等式可得出、的大小关系，由，得，结合可得出，由，得，结合，可得出，综合可得出、、的大小关系.【详解】由题意可知、、，，；由，得，由，得，，可得；由，得，由，得，，可得.综上所述，.故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.8．（2021·全国·高考真题）青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（

）（）A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6【答案】C【分析】根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.【详解】由，当时，，则.故选：C.9．（2020·全国·统考高考真题）Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（

）（ln19≈3）A．60 B．63 C．66 D．69【答案】C【分析】将代入函数结合求得即可得解.【详解】，所以，则，所以，，解得.故选：C.【点睛】本题考查对数的运算，考查指数与对数的互化，考查计算能力，属于中等题.二、多选题10．（2023·全国·统考高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级：声源与声源的距离声压级燃油汽车10混合动力汽车10电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（

）．A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断.【详解】由题意可知：，对于选项A：可得，因为，则，即，所以且，可得，故A正确；对于选项B：可得，因为，则，即，所以且，可得，当且仅当时，等号成立，故B错误；对于选项C：因为，即，可得，即，故C正确；对于选项D：由选项A可知：，且，则，即，可得，且，所以，故D正确；故选：ACD.11．（2020·海南·统考高考真题）信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X所有可能的取值为，且，定义X的信息熵.（

）A．若n=1，则H(X)=0B．若n=2，则H(X)随着的增大而增大C．若，则H(X)随着n的增大而增大D．若n=2m，随机变量Y所有可能的取值为，且，则H(X)≤H(Y)【答案】AC【分析】对于A选项，求得，由此判断出A选项；对于B选项，利用特殊值法进行排除；对于C选项，计算出，利用对数函数的性质可判断出C选项；对于D选项，计算出，利用基本不等式和对数函数的性质判断出D选项.【详解】对于A选项，若，则，所以，所以A选项正确.对于B选项，若，则，，所以，当时，，当时，，两者相等，所以B选项错误.对于C选项，若，则，则随着的增大而增大，所以C选项正确.对于D选项，若，随机变量的所有可能的取值为，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D选项错误.故选：AC【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用，考查分析、思考和解决问题的能力，涉及对数运算和对数函数及不等式的基本性质的运用，属于难题.三、填空题12．（2020·北京·统考高考真题）函数的定义域是____________．【答案】【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.【详解】由题意得，故答案为：【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.13．（2020·山东·统考高考真题）若，则实数的值是______.【答案】【分析】根据对数运算化简为，求解的值.【详解】，即，解得：.故答案为：14．（2023·全国·统考高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是______.【答案】【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围.【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，故，而，故，故即，故，结合题意可得实数的取值范围是.故答案为：.

第04讲对数与对数函数（核心考点精讲精练）1.4年真题考点分布4年考情考题示例考点分析关联考点2023年新I卷，第10题,5分对数的运算性质的应用对数函数模型的应用对数函数的单调性解不等式2021年新Ⅱ卷，第7题,5分比较对数式的大小无2020年新I卷，第12题,5分对数的运算随机变量分布列的性质2020年新Ⅱ卷，第7题,5分对数函数单调性复合函数的单调性2.命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的命题常考内容，设题多为函数性质或函数模型，难度中等，分值为5分【备考策略】1.理解对数的概念和运算性质，熟练指对互化，能用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数2.了解对数函数的概念，能画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点3.熟练掌握对数函数且与指数函数且的图象关系【命题预测】本节内容通常会考查指对幂的大小比较、对数的运算性质、对数的函数模型等，需要重点备考复习知识讲解对数的运算对数的定义如果，那么把叫做以为底，的对数，记作，其中叫做对数的底数，叫做真数对数的分类一般对数：底数为，，记为常用对数：底数为10，记为，即：自然对数：底数为e（e≈2.71828…），记为，即：对数的性质与运算法则①两个基本对数：①，②②对数恒等式：①，②。③换底公式：；推广1：对数的倒数式推广2：。④积的对数：；⑤商的对数：；⑥幂的对数：❶，❷，❸，❹对数函数对数函数的定义及一般形式形如：的函数叫做对数函数对数函数的图象和性质图象性质定义域：值域：当时，即过定点当时，；当时，当时，；当时，在上为增函数（5）在上为减函数考点一、对数的运算1．（2022·天津·统考高考真题）化简的值为（

）A．1 B．2 C．4 D．62．（2022·浙江·统考高考真题）已知，则（

）A．25 B．5 C． D．3．（2023·北京·统考高考真题）已知函数，则____________．1．（2023·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模）若且，则（）A． B． C． D．2．（2023·河北·校联考一模）若函数，则（

）A． B． C． D．3．（2023·广东东莞·统考模拟预测）已知函数，则（

）A．4 B．5 C．6 D．74．（2023·江西·江西师大附中校考三模）已知函数是偶函数，，则_______．考点二、对数函数的定义域1．（全国·高考真题）函数的定义域为（

）A． B． C． D．2．（上海·高考真题）函数的定义域为_____________．1．（2023·广东韶关·统考模拟预测）若集合，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·山东泰安·统考模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·安徽安庆·安徽省桐城中学校考一模）集合，集合，全集，则为（

）A． B．C． D．考点三、对数函数的图象与性质1．（全国·高考真题）当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图像为（

）A． B．C． D．2．（山东·高考真题）已知函数（，是常数，其中且）的大致图象如图所示，下列关于，的表述正确的是A．， B．，C．， D．，3．（全国·高考真题）下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是A． B． C． D．1．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）已知函数（a，b为常数，其中且）的图象如图所示，则下列结论正确的是（

）A．， B．，C．， D．，2．（2023·安徽安庆·校考一模）函数与在同一直角坐标系下的图象大致是（

）A． B．C． D．3．（2023·浙江嘉兴·校考模拟预测）若函数的图象不过第四象限，则实数a的取值范围为________．考点四、对数函数的单调性1．（2020·海南·高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2020·全国·统考高考真题）设函数，则f(x)（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减1．（2022·全国·哈师大附中校联考模拟预测）函数的单调递减区间为__________.2．（2023·安徽黄山·统考三模）“”是“函数在区间上单调递增”的（

）A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．（2023·安徽蚌埠·统考二模）（多选）已知函数，则下列说法中正确的是（

）A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称C．函数在上是减函数 D．函数的值域为4．（2023·河北邯郸·统考一模）（多选）已知函数，则（

）A．的定义域是 B．有最大值C．不等式的解集是 D．在上单调递增5．（2023·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测）已知函数为R上单调递减的奇函数，则实数a的值为_____．考点五、对数函数的值域与最值1．（山东·高考真题）函数的值域为（

）A． B． C． D．2．（山西·高考真题）设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则a=A． B．2 C．2 D．43．（2004·天津·高考真题）若函数，在区间上的最大值是最小值的3倍，则等于A． B． C． D．1．（2023·福建厦门·厦门市湖滨中学校考模拟预测）已知函数的值域为R，那么实数k的取值范围是A． B． C． D．2．（2022·重庆·统考模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．3．（2023·广东·统考模拟预测）（多选）已知函数，则（

）A．当时，的定义域为RB．一定存在最小值C．的图象关于直线对称D．当时，的值域为R考点六、对数函数中奇偶性的应用1．（2022·全国·统考高考真题）若是奇函数，则_____，______．1．（2021·山西临汾·统考一模）已知函数，若，则______．2．（2022·四川泸州·四川省泸县第四中学校考模拟预测）已知函数，且，则（

）A． B． C． D．33．（2021·重庆沙坪坝·重庆一中校考模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．是奇函数B．的图象关于点对称C．若函数在上的最大值、最小值分别为、，则D．令，若，则实数的取值范围是考点七、对数函数值的大小比较（构造函数比较大小）1．（2021·全国·统考高考真题）已知，，，则下列判断正确的是（

）A． B． C． D．2．（2021·天津·统考高考真题）设，则a，b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．3．（2021·全国·统考高考真题）设，，．则（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·统考高考真题）设，则（

）A． B． C． D．1．（2023·湖南娄底·统考模拟预测）已知，，，则三者的大小关系是（

）A． B．C． D．2．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知，，，则（

）A． B． C． D．3．（2023·湖南益阳·安化县第二中学校考三模）已知，，，则，，的大小关系正确的是（

）A． B． C． D．4．（2022·广东茂名·统考模拟预测）已知，则a，b，c的大小关系是(

)A． B． C． D．5．（2023·海南·统考模拟预测）已知，，，则（

）A． B．C． D．6．（2023·山东滨州·邹平市第一中学校考模拟预测）设，，，则下列关系正确的是（

）．A． B．C． D．【基础过关】一、单选题1．（2023·广东广州·统考三模）设集合，，则（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏无锡·辅仁高中校考模拟预测）若集合，则（

）A． B． C． D．3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知函数，则（

）A． B．1 C．-1 D．24．（2023