高考数学复习全程规划(新高考地区专用)重难点06三角恒等变换(3种考向)专项练习(原卷版+解析)

重难点06三角恒等变换（3种考向）【目录】考向1：给角求值问题考向2：给值求值问题考向3：给值求角问题二、命题规律与备考策略二、命题规律与备考策略本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”三种考向进行分类讲解。1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．三、题型三、题型方法一、单选题1．（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（

）A． B． C． D．2．（2023·江苏南京·模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．3．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若，则实数的值为（

）A． B． C． D．4．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）的值为（

）A． B． C． D．二、解答题5．（2021·浙江台州·统考二模）已知函数.（Ӏ）求函数的单调递增区间；（ӀӀ）若，求的值.6．（2020·江苏南通·统考三模）已知函数的最小值是－2，其图象经过点．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．考向2：给值求值问题一、单选题1．（2023·湖北·统考二模）已知，则（

）A． B．－1 C． D．2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，，则=（

）A． B．2 C． D．4．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，（黄金分割比），则（

）A． B．C． D．5．（2023·上海奉贤·统考一模）已知，，，，满足，，，有以下个结论：①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数.下列说法正确的是（

）A．结论①、②都成立B．结论①不成立、②成立C．结论①成立、②不成立D．结论①、②都不成立6．（2023·天津和平·统考二模）函数的部分图象如图所示，，则下列四个选项中正确的个数为（

）①②函数在上单调递减；③函数在上的值域为；④曲线在处的切线斜率为．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、多选题7．（2020·山东临沂·统考一模）下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．“，”的否定是“，”D．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称8．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（

）A．存在，，使B．在中，若，则是等腰三角形C．在中，“”是“”的充要条件D．在中，若，则的值为或三、填空题9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则________．四、双空题10．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）在中，，则__________；点是上靠近点的一个三等分点，记，则当取最大值时，__________．五、解答题11．（2023·天津·统考二模）在中，角、、所对的边分别为、、.已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.12．（2023·云南丽江·统考一模）已知，.(1)求的值；(2)若，，求的值.13．（2023·四川内江·统考一模）已知函数，．(1)已知，求的值；(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，c＝3，若向量与垂直，求的周长．14．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知函数，且．(1)求a的值和函数在区间上的最大值及取得最大值时x的值．(2)若，，求的值．15．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数的图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象．(1)求的解析式；(2)的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．考向3：给值求角问题一、单选题1．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（

）A． B．C． D．2．（2023·全国·模拟预测）已知，若，则（

）A． B． C． D．二、填空题3．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知角，，则______.4．（2021·江西九江·统考二模）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点为的费马点，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为__________.三、解答题5．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）（1）若点关于轴的对称点为，求所有满足条件的取值的集合；（2）在中，角所对的边分别为，当角为集合中的最小正数时，，，求边长的值.6．（2023·全国·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求A；(2)若，求的取值范围．7．（2023·天津·校联考一模）在中，内角、、的对边分别为、、，已知．(1)求角的大小；(2)设，，求和的值．8．（2022·湖北省直辖县级单位·湖北省天门中学校考模拟预测）如图，在平面四边形中，，，且是边长为的等边三角形，交于点．(1)若，求；(2)若，设，求．9．（2023·广东茂名·统考二模）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.(1)求A；(2)若D为边BC上一点，且，试判断的形状.重难点06三角恒等变换（3种考向）【目录】考向1：给角求值问题考向2：给值求值问题考向3：给值求角问题二二、命题规律与备考策略本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，命制三角函数恒等变换题目，诸如“给值求角”“给值求值”“给角求值”三种考向进行分类讲解。1．同角三角函数的基本关系（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．（2）商数关系：＝tanα．2．诱导公式公式一：sin（α+2kπ）＝sinα，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tanα．公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．公式四：sin（π﹣α）＝sinα，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．公式五：sin（﹣α）＝cosα，cos（﹣α）＝sinα，tan（﹣α）＝cotα．公式六：sin（+α）＝cosα，cos（+α）＝﹣sinα，tan（+α）＝﹣cotα．3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式（1）C（α﹣β）：cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；（5）T（α+β）：tan（α+β）＝．（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）＝．4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin2α＝2sinαcosα；（2）C2α：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；（3）T2α：tan2α＝．三、题型三、题型方法一、单选题1．（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用二倍角公式以及辅助角公式可化简所求代数式.【详解】原式.故选：B.2．（2023·江苏南京·模拟预测）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先根据三角恒等变换求的值，再利用作差法比较的大小.【详解】，，∵，则，又∵，则，则，即∴故选：C.3．（2022·陕西西安·西安中学校考模拟预测）若，则实数的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用辅助角公式以及二倍角的正弦公式、诱导公式化简可得的值.【详解】由已知可得.故选：A.4．（2022·四川成都·石室中学校考模拟预测）的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式以及倍角公式求解即可.【详解】原式.故选：A二、解答题5．（2021·浙江台州·统考二模）已知函数.（Ӏ）求函数的单调递增区间；（ӀӀ）若，求的值.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【分析】（1）先用辅助角公式变形函数为，再把带入函数单调递增区间，分离出即可得解；（2）由，即，根据的范围求出，带入即可得解.【详解】（Ⅰ）令，得，，的单调增区间为，；（Ⅱ），即，，，又，所以，得.6．（2020·江苏南通·统考三模）已知函数的最小值是－2，其图象经过点．（1）求的解析式；（2）已知，且，，求的值．【答案】（1）（2）【详解】试题分析：（1）求三角函数解析式，一般是根据待定系数法求解：根据最小值是－2，确定A＝2．根据图象经过点，可得，解得（2）由已知得，求，利用同角三角函数关系得，代入化简得的值试题解析：（1）因为的最小值是－2，所以A＝2．又由的图象经过点，可得，，所以或，又，所以，故，即．（2）由（1）知，又，，故，即，又因为，所以，所以．考点：三角函数解析式，给值求值考向2：给值求值问题一、单选题1．（2023·湖北·统考二模）已知，则（

）A． B．－1 C． D．【答案】C【分析】应用诱导公式、商数关系可得，再由和角正切公式展开求得，最后由求值即可.【详解】由，所以，则，所以，则，故，由.故选：C2．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据角的变换，结合三角函数恒等变换，即可求解.【详解】.故选：D3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知，，则=（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】根据已知及平方关系可得，再由求值即可.【详解】由题设，则，又.故选：C4．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）十七世纪德国著名天文学家开普勒曾经说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，一个是黄金分割，如果把勾股定理比作黄金矿的话，黄金分割就可以比作钻石矿”．如果把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，那么我们常见的五角星则是由五个黄金三角形和一个正五边形组成．如图所示，（黄金分割比），则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】构造，根据题意推得.然后根据诱导公式以及二倍角的余弦公式化简，即可得出答案.【详解】如图：过D作于E，则．，所以，.故选：D．5．（2023·上海奉贤·统考一模）已知，，，，满足，，，有以下个结论：①存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数；②存在常数，对任意的实数，使得的值是一个常数.下列说法正确的是（

）A．结论①、②都成立B．结论①不成立、②成立C．结论①成立、②不成立D．结论①、②都不成立【答案】B【分析】根据三角恒等变换的知识，分别将和用，表示即可.【详解】对于结论①，∵，，∴，，∴，∴，∴当为常数，时，不是一个常数，故结论①不成立；对于结论②，方法一：∵又∵∴化简得，∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.方法二：（特值法）当时，，∴，∴.∴存在常数，对任意的实数，使得，故结论②成立.故选：B.【点睛】本题中结论②的判断，使用常规三角恒等变换的方法运算量较大，对于存在性结论，使用特值法可以有效验证其正确性，减少运算量.6．（2023·天津和平·统考二模）函数的部分图象如图所示，，则下列四个选项中正确的个数为（

）①②函数在上单调递减；③函数在上的值域为；④曲线在处的切线斜率为．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】根据图像求的解析式，对于①②③：结合正弦函数的性质分析运算；对于④：结合导数的几何意义运算求解.【详解】由图可知：函数过点，则，即，且，可得，又因为函数过点，且为减区间的零点，则，即，则，解得，注意到，即，则，解得，故，解得，此时，所以.对于①：令，解得，取，则，即函数在y轴左侧离y轴最近的对称轴为，由图可得，即，且，即，所以，故①正确；对于②：因为，则，且在不单调，所以在上不单调，故②错误；对于③：因为，则，，可得，所以函数在上的值域为，故③错误；对于④：∵，可得，曲线在处的切线斜率为，故④错误；故选：B.【点睛】方法定睛：函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式的确定（1）A由最值确定，A＝最大值最小值；（2）ω由周期确定；（3）φ由图象上的特殊点确定．提醒：根据“五点法”中的零点求φ时，一般先根据图象的升降分清零点的类型．二、多选题7．（2020·山东临沂·统考一模）下列结论正确的是（

）A．若，则B．若，则C．“，”的否定是“，”D．将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称【答案】BC【解析】根据齐次式计算，错误，，正确，特称命题的否定是全称命题，正确，平移后得到偶函数，错误，得到答案.【详解】，则，故错误；，则，正确；根据特称命题的否定是全称命题：“，”的否定是“，”，故正确；将函数的图象向左平移个单位长度，得到为偶函数，故错误.故选：.【点睛】本题考查了齐次式求值，函数取值范围，命题的否定，函数平移和奇偶性，意在考查学生的综合应用能力.8．（2021·江苏南通·一模）下列命题中是真命题的有（

）A．存在，，使B．在中，若，则是等腰三角形C．在中，“”是“”的充要条件D．在中，若，则的值为或【答案】AC【分析】赋值法可以判断A选项；在中根据正弦值相等，可得两角相等或者互补可判断B选项；根据正弦定理可判断选项C；先由，求得，再由，结合大角对大边求得，最后根据求值即可判断选项D.【详解】对于A，当时，正确；对于B，由可得或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形，错误；对于C，(其中是外接圆的半径)，正确；对于D，因为，，所以.因为，所以由正弦定理得，从而.又因为，所以，从而，错误；故选：AC.【点睛】解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系．另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响．三、填空题9．（2023·重庆·统考模拟预测）已知，，则________．【答案】【分析】先通过条件确定角的范围，进而可求出，再利用，通过诱导公式以及二倍角的正弦公式化简计算.【详解】，，，，若，则，与矛盾，故，，故答案为：.四、双空题10．（2022·甘肃张掖·高台县第一中学校考模拟预测）在中，，则__________；点是上靠近点的一个三等分点，记，则当取最大值时，__________．【答案】【解析】根据题意，由三角恒等变换将原式化简，即可求出；设，，，则，，根据正弦定理，得到，，求出，得到，表示出，求出最值，即可得出结果.【详解】因为，所以，即，又因为，所以；设，，，则，，由正弦定理可得，，又，由，得．因为，所以，因为，所以，所以当时，取得最大值，此时，所以，；答案为：；.【点睛】本题主要考查由三角恒等变换求函数值，考查三角函数的性质，考查正弦定理的应用，属于常考题型.五、解答题11．（2023·天津·统考二模）在中，角、、所对的边分别为、、.已知，，.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由正弦定理可得出，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的值；（2）分析可知角为锐角，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用正弦定理可求得的值；（3）利用二倍角公式以及两角和的正弦公式可求得的值.【详解】（1）解：由正弦定理及可得，则，由余弦定理，可得，故.（2）解：因为，，则，由正弦定理可得.（3）解：由（1）可知，则，故为锐角，所以，，所以，，，所以，.12．（2023·云南丽江·统考一模）已知，.(1)求的值；(2)若，，求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）先确定的范围，已知其正弦值求出余弦值，然后利用求解；（2）先确定的范围，已知其余弦值求出正弦值，然后利用并结合第（1）问的数据求解.【详解】（1），∴，故，所以，；（2）因为，，则，又，∴，∴，，结合（1）中数据知，，所以.13．（2023·四川内江·统考一模）已知函数，．(1)已知，求的值；(2)已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，c＝3，若向量与垂直，求的周长．【答案】(1)(2)【分析】（1）先变形得到，再利用计算即可；（2）先通过求出，再利用向量垂直求出，则也可得出，再通过正弦定理求角所对的边即可求出周长.【详解】（1），，；（2）由（1）得，则，，又，，又向量与垂直，，即，又，则，由正弦定理，则，的周长为.14．（2023·北京海淀·校考模拟预测）已知函数，且．(1)求a的值和函数在区间上的最大值及取得最大值时x的值．(2)若，，求的值．【答案】(1)，在上的最大值为2，此时x的值为.(2).【分析】（1）由求得a的值，再由x的范围求得的范围进而求得的最大值即可.（2）由得，再由范围求出的范围来判断的符号，进而求得的值，再运用配凑角求得值.【详解】（1）∵，解得：，∴，∵，∴，∴，∴当，即时，取得最大值为1，∴当时，取得最大值为2，即：在上的最大值为2，此时x的值为.（2）∵，∴，又∵，∴，∴，∴.故的值为.15．（2023·辽宁·校联考二模）已知函数的图象如图所示．将函数的图象向左平移个单位长度后得函数的图象．(1)求的解析式；(2)的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，，，求的面积．【答案】(1)(2)【分析】（1）运用三角函数周期性、五点法求出解析式，运用图象平移变换及诱导公式求出解析式.（2）运用二倍角公式、平方公式求得、、、的值，运用诱导公式及和角公式求得，结合正弦定理可求得c，运用三角形面积求解即可.【详解】（1）由图可知，，解得：，所以，即：，将点代入得，所以，，解得：，，所以，所以，因为将函数的图像向左平移个单位长度后得函数的图像，所以．（2）因为，所以，由，得，，因为，所以，即：，所以由，得，所以由，得，所以，由正弦定理，得，所以△的面积．考向3：给值求角问题一、单选题1．（2023·湖南·校联考模拟预测）已知、都是锐角，且，，那么、之间的关系是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】推导出，可得出，求出的取值范围，即可得解.【详解】因为，则，所以，，因为、都是锐角，由题意可得，所以，，所以，，因为、都是锐角，则且，则，所以，，因此，.故选：D.2．（2023·全国·模拟预测）已知，若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角恒等变换可得出关于的二次方程，求出的取值范围，求出的值，可求得角的值，代值计算可得出的值.【详解】因为，所以，，因为，则，所以，，故，所以，，则，故.故选：C.二、填空题3．（2023·福建福州·福州三中校考模拟预测）已知角，，则______.【答案】【分析】化简，即可得到，再根据的范围，即可求出结果.【详解】，，，，，，，，则.故答案为：.4．（2021·江西九江·统考二模）费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点为的费马点，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为__________.【答案】6【分析】化简求得，结合余弦定理以及求得，利用三角形的面积列方程，化简求得【详解】∵，∴，即，∵，∴，∴，即，∵，∴，∵，∴，由余弦定理知，，∵，∴，∴，∴.故答案为：6【点睛】三角恒等变换是化简已知条件常用的方法，在解决与三角形有关的问题时，要注意结合余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式.三、解答题5．（2022·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）（1）若点关于轴的对称点为，求所有满足条件的取值的集合；（2）在中，角所对的边分别为，当角为集合中的最小正数时，，，求边长的值.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）根据点与关于轴对称，得出横纵坐标的关系，利用同角三角函数的商数关系，得出，解三角方程即可求解；（2）根据（1）及已知条件，得出角，利用余弦定理及一元二次方程的