线性代数总结笔记

线性代数总结-笔记

•注

•结合两位李老师线代辅导讲义整理而成

・一、行列式

.1、概念及性质

・行列式

・定义：不同行不同列元素乘积的代数和（完全展开式）（共n!项）

・逆序数：一个排列中逆序的总数

・性质

•行列式性质：

•①提公因式；

•②两行互换，行列式变号（两行相等、两行成比例，IA|=0）;

•③拆分；

•④倍加

•方阵行列式性质（运算公式）：

号仰:为'彳［西

®1凶1二刈川物

,©阴=伏/=IAI£,今/例产面El分附/lAplE曰川"

■.©Ml=Ml-1AA-:E/AA"I=IEI-IlAIlA-'l-i*"

邮加=才七悄匕8）/以归西

'、。向老8m乖&福伙）.州7始斓；a价午沸伊习&

・※注意：①行列式性质H矩阵初等变换；②行列式性质W矩阵运算

・余子式

・定义：Mij

・代数余子式

・定义：

Ah=（一1产

•展开公式

•IA|=按第i行展开=按第j列展开

•某行(歹！J)元素x其他行(列)元素的代数余子式=0

•Aij的值与aij的取值无关

・2、主要公式

•上(下)三角行列式

•关于副对角线的行列式

=(-1)*""卬皿1…廿,必1.

•拉普拉斯展开式

A,B,C分别为〃Xn“nX?n,nXm矩阵.

•范德蒙行列式

11

a】a2

•特征多项式T求特征值

若秩r(A)=1AE—A|=A3—(^u.)A~=(A—23)A2.

那么，矩阵A的特征值是A1=Za&.A?=A3=0.

・克拉默法则

计算方程组的解

•系数行列式D/0(即|A|H0)

则非齐次线性方程组有唯一解力=殍h2=荐…，K=%

b{

即已表示用替换D中第，列所得的行列式.

•推论1：方程组DH0,则方程组只有零解

・推论2:方程组有非零解，则IA|=0

・3、题型总结

・行列式的计算

・数字型行列式

・步骤：①观察行列式特征；②利用展开公式或行列式性质

•方法：行（列）加法、、分块法、拆项法、递推法

•特殊行列式归纳

・爪形行列式：

•一般思路：利用对角线元素把行或者列消去，变为上/下三角形；

一般地.箭形行列式

ff.a,

九4I如•,,%A.Xaia?••"a”

»=1A,

仇Ai0,・・0

0Ai0・・・0

Dr"八0Az,・・0二

・・

00A2•0

儿00・••

000­

-（A<i—X）"AIA2"*A«（A,#O.i=1.2.■•••zi）.

若九=0（i=1,2,…则=0,

【注】其他箭形行列式IXI，I71I，也可类似地计算.

・考题中一般不会给明显爪形，需要先进行恒等变换

・三对角线行列式

・一般思路：把对角线两边的某一对角线化为0

・低阶：①每一行加到第一行；②逐行相加

・高阶：数学归纳法递推—①把A展开，看A与几个低阶有关②与一个低阶有

关，选择第一数学归纳法；与两个或两个以上低阶有关，选择第二数学归纳法

•抽象性行列式

•IA+B|型的计算

•给出A=a邛，丫；B=6,n一把A+B表示出来，用行列式性质

・完全抽象：利用E把A+B恒等变形，根据矩阵行列式性质化为已知条件

•IA|型计算

•遇到A的伴随、转置或逆矩阵等，先利用矩阵性质化为A后，再计算

・遇至（1al,a2,a3是线性无关向量且给有Aal,Aa2,Aa3:①行列式性质②利用

相似"A~B，则IA|=|B|"

・利用特征值

•例题

•三对角线行列式@例题

2aI

a22a1

【例"证明：D=••・••・I

・1

a22a

证法2用数学归纳法.

当〃I时,D]=2a,结论成立;当〃=2时,D：?=3a"结论成立.

假设对小于，，的情形结论成立，将D.,按第1列展开，得

D“=2aD^-acD,^=2a•na"~'-a2(n-l)a»z=(n+l)a",

故D„=(”+1)，对所有正整数均成立.

・@口

【评注】数学归纳法

(一)①脸证”=1时，命题1正确，.[不

作与n-1项

②假设”=及时.命题f„正确.

③证明a=k+1时，命题/,正确.

(二)①脸证〃=1和〃=2时命题f„都正确,

②假设”VA时,命题，正确.n与n-1、n-2项

③证明n=k时，命题/„正确.

・加边法求行列式@例题

a!a।az…«l«n

a2alal

[«5]设〃加22）阶矩阵A=..，计算行列式I这一A.

、a,小a„az

解

A-a?一©az一am”

A-a2,,,一%①»

-%a]—o；/iiA-a5

利用加边法,将其化为箭形行列式,即

当aro时,lAE-A|=¥（1-1外

当；1=0时，IAE-A|中各行成比例.故IA1=0.

•@口

【注】将行列式添加一行和一列,使其升阶后的行列式的值不变.称为加边法.加

边法常用于计算除主时角线外，各行（列）对应元素分别都有相同元素的行列式.

•抽象行列式@例题

【例川设A是3阶矩阵,4,a,,出线性无关，且4a=m+a,刈：=做+a：＜,

榻3=小卜因，贝JIA|=_______.

解法1利用已知条件.得

QT

ACai，a＞.a＜）（ai4-a＞，?a53+a）,

再由行列式的性质.得

A|（a!-a：.a；t）=I（a】+@2，&+内，。3—a：）I

一2I（aj+a3,a2+a，a3+a）I

二2|（a1,a»,a2）I

—2|（a】a.aj）i.

因为O\•«：＞»ff线性无关，所以（a,，cr,。3）I#0,从而有AT2.

解法2利用相似矩阵的行列式相等，可得

1or

A（a，。2,小）=（©+侬・a?+a?,03+a］）=（6，曲,内）110.

Oil

101

记p—（外・。,，。3）1=11。.由的，处。3线性无美，知P可逆•故由AP=

011.

PB•得PAP-8.即AljB相似,故

1011

A|=|B|=110=2.

0111

【例15]设4=(%)一为-I度矩阵•儿为的的代数余子•式•若卜A,一。。-123)・

则IA1=______.

如I,一~―--------------ZZ1观察顺伴随

解|由劭——A&，月1A=A"，故|

IA|=|AT|~|-A*|=(-I)3|A*|=—|AI3-1=-IAI.

即IA|(1+|A|)=0.解得|A|=0或A|=-1.

又由于AWO,不妨设a”WO,则

IA|=anAn+a12Al2+a13Al3=—(aii+岛+山3)半0,

故IA|=—1.

【例M>】设4阶矩阵A=(a.a,a?,a)，B=(pa,a.aJ,其中a./tai.a?，a均

为4维列向量，H|A|=4.B=1•求行列式IA-lBI的值.

【例M设4阶矩际A=(aa,a?,妣)•〃=(氏a，收，其中a，-a，收心均

为4维列向量・FLIA4・B—1,求行列式IA+3I的值.

解先求矩阵A-B.再利用行列式的性质.因为

A+3=(。T族.见卜ai・。2+a2aa)(aIp-2a\.2a2,2a3)»

所以

IA十4I=23I(aI/La，a1)I

—8[|(a-ai-a-at)+1(/ha；，a，a)I]

=8X(4+】)=40.

【注】此例可以看出IA+BIKIA1+1BI.

・@口行列式性质拆分、加加减减；相似；由已知条件观察A的伴随、A的转置、A

的逆、A之间的关系。

•证明IA|=0

・常用方法

•Ax=0有非零解：将已知条件化为Ax=0形式，利用克拉默法则中"齐次方程有非零解,

则IA|=0"

•反证法：假设IAIH0,则A可逆，用AY-l)找矛盾

•秩：利用秩相关公式找r(A)<n

①利用矩阵秩的定义,即讨论矩阵的子式.

②利用方程组Ax=0有〃-HA)个基础解.

IB的列向量都是方程组Ax=0的解，

③/U3=O>■{

Ir(A)+r(B)<n.

④，(AB)WminO-(A),r(B)),r(A+B)<r(A)-|-r(B).

・0是A的特征值：利用|AI=|-|Ai

•IAI=-IAI

•例题

・一题多解@例题

【例I】设A：=A,A工E,证明：IA|=0.

证法I用反证法.

若IA|#0,则A可逆.于是A=A'A2=AS=E,与A#E矛盾，故|4|一。.

证法2利用方程组.

由/二A・有A(A—E)=O,即八E的每一列都是Ax=0的解.又由A-E^O.

知Ax=0有非零解，故A=0.

证法3利用秩.

由A?=4,有4(.4E)=。,即AE的每一列都是4x=0的解，故

厂(AE)^n-r(A).

又由A-EKO.知厂(AE)>0,故MA)&〃-r(A-E)V〃,从而IA|=0.

•@口还有可以用特征值；注意错解：A不等于E不能推出A的行列式不等于1

・代数余子式求和

•方法：构造新的行列式

・行列式应用

•IA|=0可互推出：①A不可逆；②r(A)<n;③Ax=0有非零解；④A中的列向量组线性

相关；⑤特征值中至少一个为0

・IA|#0可互推出：①A可逆；②r(A)=n;③Ax=0只有。解；④A中的列向量组线无关;

⑤特征值都不为0

•对称矩阵的顺序主子式全大于0