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第04讲不等式及性质1、两个实数比较大小的依据(1)a-b>0⇔(2)a-b=0⇔.(3)a-b<0⇔.2、不等式的性质(1)对称性:a>b⇔;(2)传递性:a>b,b>c⇒;(3)可加性:a>b⇔;a>b,c>d⇒;(4)可乘性:a>b,c>0⇒;a>b>0,c>d>0⇒;c<0时应变号.(5)可乘方性:a>b>0⇒(n∈N,n≥1);(6)可开方性:a>b>0⇒(n∈N,n≥2).3、常见的结论(1)a>b,ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).4、两个重要不等式若a>b>0,m>0,则(1)eq\f(b,a)<eq\f(b+m,a+m);eq\f(b,a)>eq\f(b-m,a-m)(b-m>0).(2)eq\f(a,b)>eq\f(a+m,b+m);eq\f(a,b)<eq\f(a-m,b-m)(b-m>0).1、【2019年新课标2卷理科】若a>b,则A.ln(a−b)>0 B.3a<3bC.a3−b3>0 D.│a│>│b│2、【2020年新高考1卷(山东卷)】(多选题)已知a>0,b>0,且a+b=1,则(
)A. B.C. D.1、(2022·山东日照·二模)若a,b,c为实数,且,,则下列不等关系一定成立的是(
)A. B. C. D.2、(2022·江苏南京·模拟预测)设、均为非零实数且,则下列结论中正确的是(
)A. B. C. D.3、若a>1,m=loga(a2+1),n=loga(a+1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系是()A.n>m>p B.m>p>nC.m>n>p D.p>m>n4、(2022·重庆·一模)(多选题)设非零实数,那么下列不等式中一定成立的是(
)A. B. C. D.考向一不等式的性质例1、(2022·河北张家口·一模)(多选题)若,则下列不等式中正确的有(
)A. B. C. D.变式1、(2022·福建三明·模拟预测)(多选题)设,且,则(
)A. B. C. D.变式2、(多选题)已知均为实数,则下列命题正确的是()A.若,则B.若,则C.若则D.若则变式3、(2022·山东济南·高三期末)(多选题)已知实数,,满足,则下列说法正确的是()A. B.C. D.的最小值为4方法总结:不等式性质应用问题的常见类型及解题策略:(1)不等式成立问题:熟记不等式性质的条件和结论是基础,灵活运用是关键,要注意不等式性质成立的前提条件;(2)与充分性、必要性相结合的问题:用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否成立,要注意特殊值法的应用;(3)与命题真假判断相结合的问题:解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法.考向二不等式的比较大小例2、(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是________;(2)若a=eq\f(ln2,2),b=eq\f(ln3,3),则a______b;(填“>”或“<”)(3)若实数a≠1,比较a+2与eq\f(3,1-a)的大小.变式1、已知M=eq\f(e2021+1,e2022+1),N=eq\f(e2022+1,e2023+1),则M,N的大小关系为________.变式2、设a>b>0,试比较eq\f(a2-b2,a2+b2)与eq\f(a-b,a+b)的大小.方法总结:方法总结:比较大小的方法(1)作差法,其步骤:作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论.(2)作商法,其步骤:作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论.(3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小考向三运用不等式求代数式的取值范围例3、已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是________,3x+2y的取值范围是________.变式1、(1)已知-1<x+y<4,2<x-y<3,求3x+2y的取值范围;(2)已知函数f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围;(3)已知1≤lg(xy)≤4,-1≤lgeq\f(x,y)≤2,求lgeq\f(x2,y)的取值范围.方法总结:求代数式的取值范围一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围1、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是()A.EQ\F(1,a)<EQ\F(1,b)B.a2>b2C.EQ\F(a,c\S(2)+1)>EQ\F(b,c\S(2)+1)D.a|c|>b|c|2、(2021·广州市第一中学高三月考)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,则下列结论错误的是()A. B.C. D.3、(2022·江苏无锡市第一中学高三10月月考)(多选题)若a>b>0,则一下几个不等式中正确的是()A.B.lg>C.D.2->4、(2022·湖北·黄冈中学模拟预测)(多选题)已知a,b,c均为非零实数,且,则下列不等式中,一定成立的是(
)A. B. C. D.5、(2022·广东佛山·模拟预测)(多选题)下列命题为真命题的是(
)A.若,,则 B.若,,则C.若,则 D.若,,则6、(2022·广东·华南师大附中三模)(多选题)如果a<b<0,c<d<0,那么下面一定成立的是(
)A. B. C. D.7、已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是________,3x+2y的取值范围是________.8、若α,β满足-eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2),则2α-β的取值范围是()A.-π<2α-β<0 B.-π<2α-β<πC.-eq\f(3π,2)<2α-β<eq\f(π,2) D.0<2α-β<π第04讲不等式及性质1、两个实数比较大小的依据(1)a-b>0⇔a>b.(2)a-b=0⇔a=b.(3)a-b<0⇔a<b.2、不等式的性质(1)对称性:a>b⇔b<a;(2)传递性:a>b,b>c⇒aeq\a\vs4\al(>)c;(3)可加性:a>b⇔a+ceq\a\vs4\al(>)b+c;a>b,c>d⇒a+c>b+d;(4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b>0,c>d>0⇒ac>bd;c<0时应变号.(5)可乘方性:a>b>0⇒aneq\a\vs4\al(>)bn(n∈N,n≥1);(6)可开方性:a>b>0⇒eq\r(n,a)eq\a\vs4\al(>)eq\r(n,b)(n∈N,n≥2).3、常见的结论(1)a>b,ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(2)a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b).(3)a>b>0,0<c<d⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(4)0<a<x<b或a<x<b<0⇒eq\f(1,b)<eq\f(1,x)<eq\f(1,a).4、两个重要不等式若a>b>0,m>0,则(1)eq\f(b,a)<eq\f(b+m,a+m);eq\f(b,a)>eq\f(b-m,a-m)(b-m>0).(2)eq\f(a,b)>eq\f(a+m,b+m);eq\f(a,b)<eq\f(a-m,b-m)(b-m>0).1、【2019年新课标2卷理科】若a>b,则A.ln(a−b)>0 B.3a<3bC.a3−b3>0 D.│a│>│b│【答案】C【解析】取,满足,,知A错,排除A;因为,知B错,排除B;取,满足,,知D错,排除D,因为幂函数是增函数,,所以,故选C.2、【2020年新高考1卷(山东卷)】(多选题)已知a>0,b>0,且a+b=1,则(
)A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A,,当且仅当时,等号成立,故A正确;对于B,,所以,故B正确;对于C,,当且仅当时,等号成立,故C不正确;对于D,因为,所以,当且仅当时,等号成立,故D正确;故选:ABD1、(2022·山东日照·二模)若a,b,c为实数,且,,则下列不等关系一定成立的是(
)A. B. C. D.【答案】A【解析】对于A选项,由不等式的基本性质知,不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号方向不变,则,A选项正确;对于B选项,由不等式的基本性质知,不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号方向改变,若,,则,B选项错误;对于C选项,由不等式的基本性质知,不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号方向不变,,,C选项错误;对于D选项,因为,,所以无法判断与大小,D选项错误.2、(2022·江苏南京·模拟预测)设、均为非零实数且,则下列结论中正确的是(
)A. B. C. D.【答案】D【解析】对于A,取,,则,A错误;对于B,取,,则,B错误;对于C,取,,则,C错误;对于D,因,则,即,D正确.故选:D3、若a>1,m=loga(a2+1),n=loga(a+1),p=loga(2a),则m,n,p的大小关系是()A.n>m>p B.m>p>nC.m>n>p D.p>m>n【答案】B【解析】由a>1知,a2+1-2a=(a-1)2>0,即a2+1>2a,而2a-(a+1)=a-1>0,即2a>a+1,∴a2+1>2a>a+1,而y=logax在定义域上单调递增,∴m>p>n.4、(2022·重庆·一模)(多选题)设非零实数,那么下列不等式中一定成立的是(
)A. B. C. D.【答案】BD【解析】对选项A,设,,,满足,此时不满足,故A错误;对选项B,因为,且,所以,故B正确.对选项C,设,,,满足,此时,,不满足,故C错误;对选项D,因为,所以,,所以,故D正确.故选:BD考向一不等式的性质例1、(2022·河北张家口·一模)(多选题)若,则下列不等式中正确的有(
)A. B. C. D.【答案】AB【解析】对于A选项,因为,所以,故A正确;对于B选项,因为函数在R上单调递增,所以,故B正确;对于C选项,当时,不成立,故C不正确;对于D选项,当,时,,故D不正确,故选:AB.变式1、(2022·福建三明·模拟预测)(多选题)设,且,则(
)A. B. C. D.【答案】BC【解析】因为,,所以,的符号不能确定,当时,,故A错误,因为,,所以,故B正确,因为,所以,故C正确,因为,所以,所以,所以,故D错误,故选:BC变式2、(多选题)已知均为实数,则下列命题正确的是()A.若,则B.若,则C.若则D.若则【答案】BC【解析】若,,则,故A错;若,,则,化简得,故B对;若,则,又,则,故C对;若,,,,则,,,故D错;故选:BC.变式3、(2022·山东济南·高三期末)(多选题)已知实数,,满足,则下列说法正确的是()A. B.C. D.的最小值为4【答案】BC【解析】对于A,因为,所以,,所以,所以A错误,对于B,因为,所以,所以,所以,所以B正确,对于C,因为,所以,所以,所以,所以C正确,对于D,因为,所以,当且仅当即时取等号,因为,所以取不到等号,所以的最小值不为4,所以D错误,故选:BC方法总结:不等式性质应用问题的常见类型及解题策略:(1)不等式成立问题:熟记不等式性质的条件和结论是基础,灵活运用是关键,要注意不等式性质成立的前提条件;(2)与充分性、必要性相结合的问题:用不等式的性质分别判断p⇒q和q⇒p是否成立,要注意特殊值法的应用;(3)与命题真假判断相结合的问题:解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法.考向二不等式的比较大小例2、(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是________;【答案】M>N【解析】M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).因为a1∈(0,1),a2∈(0,1),所以a1-1<0,a2-1<0,所以(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0,所以M>N.(2)若a=eq\f(ln2,2),b=eq\f(ln3,3),则a______b;(填“>”或“<”)【答案】<【解析】易知a,b都是正数,eq\f(b,a)=eq\f(2ln3,3ln2)=log89>1,所以b>a.(3)若实数a≠1,比较a+2与eq\f(3,1-a)的大小.【解析】a+2-eq\f(3,1-a)=eq\f(-a2-a-1,1-a)=eq\f(a2+a+1,a-1).因为a2+a+1=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a+\f(1,2)))eq\s\up12(2)+eq\f(3,4)>0,所以当a>1时,a+2>eq\f(3,1-a);当a<1时,a+2<eq\f(3,1-a).变式1、已知M=eq\f(e2021+1,e2022+1),N=eq\f(e2022+1,e2023+1),则M,N的大小关系为________.【答案】M>N【解析】方法一M-N=eq\f(e2021+1,e2022+1)-eq\f(e2022+1,e2023+1)=eq\f(e2021+1e2023+1-e2022+12,e2022+1e2023+1)=eq\f(e2021+e2023-2e2022,e2022+1e2023+1)=eq\f(e2021e-12,e2022+1e2023+1)>0.∴M>N.方法二令f(x)=eq\f(ex+1,ex+1+1)=eq\f(\f(1,e)ex+1+1+1-\f(1,e),ex+1+1)=eq\f(1,e)+eq\f(1-\f(1,e),ex+1+1),显然f(x)是R上的减函数,∴f(2021)>f(2022),即M>N.变式2、设a>b>0,试比较eq\f(a2-b2,a2+b2)与eq\f(a-b,a+b)的大小.解法一(作差法):eq\f(a2-b2,a2+b2)-eq\f(a-b,a+b)==.因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,2ab>0.所以>0,所以eq\f(a2-b2,a2+b2)>eq\f(a-b,a+b).解法二(作商法):因为a>b>0,所以eq\f(a2-b2,a2+b2)>0,eq\f(a-b,a+b)>0.所以eq\f(\f(a2-b2,a2+b2),\f(a-b,a+b))==eq\f(a2+b2+2ab,a2+b2)=1+eq\f(2ab,a2+b2)>1.所以eq\f(a2-b2,a2+b2)>eq\f(a-b,a+b).方法总结:方法总结:比较大小的方法(1)作差法,其步骤:作差⇒变形⇒判断差与0的大小⇒得出结论.(2)作商法,其步骤:作商⇒变形⇒判断商与1的大小⇒得出结论.(3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小考向三运用不等式求代数式的取值范围例3、已知-1<x<4,2<y<3,则x-y的取值范围是________,3x+2y的取值范围是________.【解析】因为-1<x<4,2<y<3,所以-3<-y<-2,所以-4<x-y<2.由-1<x<4,2<y<3,得-3<3x<12,4<2y<6,所以1<3x+2y<18.【答案】(-4,2)(1,18)变式1、(1)已知-1<x+y<4,2<x-y<3,求3x+2y的取值范围;(2)已知函数f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围;(3)已知1≤lg(xy)≤4,-1≤lgeq\f(x,y)≤2,求lgeq\f(x2,y)的取值范围.【解析】(1)设3x+2y=m(x+y)+n(x-y),则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m+n=3,,m-n=2,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=\f(5,2),,n=\f(1,2),))即3x+2y=eq\f(5,2)(x+y)+eq\f(1,2)(x-y).因为-1<x+y<4,2<x-y<3,所以-eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(x+y)<10,1<eq\f(1,2)(x-y)<eq\f(3,2),所以-eq\f(3,2)<eq\f(5,2)(x+y)+eq\f(1,2)(x-y)<eq\f(23,2),即-eq\f(3,2)<3x+2y<eq\f(23,2),故3x+2y的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(3,2),\f(23,2))).(2)由题意,知f(-1)=a-b,f(1)=a+b,f(-2)=4a-2b.设m(a+b)+n(a-b)=4a-2b,则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m+n=4,,m-n=-2,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m=1,,n=3,))所以f(-2)=(a+b)+3(a-b)=f(1)+3f(-1).因为1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,所以5≤f(-2)≤10,故f(-2)的取值范围是[5,10].(3)由1≤lg(xy)≤4,-1≤lgeq\f(x,y)≤2,得1≤lgx+lgy≤4,-1≤lgx-lgy≤2.又lgeq\f(x2,y)=2lgx-lgy=eq\f(1,2)×(lgx+lgy)+eq\f(3,2)×(lgx-lgy),所以-1≤lgeq\f(x2,y)≤5,故lgeq\f(x2,y)的取值范围是[-1,5].方法总结:求代数式的取值范围一般是利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围1、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)若a,b,c∈R,a>b,则下列不等式恒成立的是()A.EQ\F(1,a)<EQ\F(1,b)B.a2>b2C.EQ\F(a,c\S(2)+1)>EQ\F(b,c\S(2)+1)D.a|c|>b|c|【答案】C【解析】由题意可知,若a>0>b,则EQ\F(1,a)>EQ\F(1,b),故选项A错误;若a=1,b=-2,则a2<b2,故选项B错误;因为a>b,且EQ\F(1,c\S(2)+1)>0,所以EQ\F(a,c\S(2)+1)>EQ\F(b,c\S(2)+1),故选项C正确;若c=1,则选项D错误;综上,答案选C.2、(2021·广州市第一中学高三月考)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若,则下列结论错误的是()A. B.C. D.【答案】B【解析】因为,则,故A正确;若,,满足,但此时,故B错;因为,由不等式的可开方性,可得,故C正确;因为函数为增函数,由可得,故D正确.故选:B.3、(2022·江苏无锡市第一中学高三10月月考)(多选题)若a>b>0,则一下几个不等式中正确的是()A.B.lg>C.D.2->【答案】BCD【解析】A.因为,,故错误;B.,故正确;
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