高考数学第一轮复习导学案(新高考)第06讲基本不等式及应用(原卷版+解析)

第06讲基本不等式及应用1、基本不等式：(1)基本不等式成立的条件：.(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2、几个重要的不等式(1)a2＋b2≥(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥(a，b同号)．(3)ab≤(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3、利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．1、【2022年新高考2卷】若x，y满足x2A．x+y≤1 B．x+y≥−2C．x2+y2、【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．3、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（

）A． B．C． D．1、在下列函数中，最小值为2的是（）A. B.C. D.2、一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．3、（2022·山东枣庄·一模）（多选题）已知正数a，b满足，则（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．的最小值为4、（2022·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知，且.则下列选项正确的是（

）A．的最小值为B．的最小值为C．D．考向一运用基本不等式求函数的最值例1、(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x<eq\f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为________．(3)函数y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为________．变式1、已知x>1，求y＝eq\f(x2＋2,x－1)的最小值．变式2、已知x≥1，求y＝eq\f(x2＋2,x＋1)的最小值．变式3、（1）（2022·江苏泰州·一模）（多选题）下列函数中最小值为6的是（

）A． B．C． D．（2）（2022·广东惠州·二模）函数有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2方法总结：(1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．考向二基本不等式中1的运用例2、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)若正数，满足，则的最小值是（）A. B. C. D.变式1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．变式2、（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（

）A． B．9 C． D．2变式3、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列中，成等差数列，且存在两项使得，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．不存在变式4、（2022·湖南师大附中三模）（多选题）若，，，则的可能取值有（

）A． B． C． D．方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型考向三运用消参法解决不等式问题例3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，则y的最大值为()A．1B．EQ\F(1,2)C．2D．EQ\F(1,3)变式1、(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)已知正实数，满足，则的最小值是______．变式2、（2022·湖南·一模）已知，则_________．方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值考向四运用基本不等式解决实际问题例4、工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，另需投入成本C(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450.已知每件商品的售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？变式1、(2022·福州高三期中)某县一中计划把一块边长为20m的等边三角形ABC的边角地开辟为植物新品种实验基地，图中DE把基地分成面积相等的两部分，点D在AB上，点E在AC上．(1)设AD＝x(x>10)，DE＝y，求y关于x的函数解析式；(2)若DE是灌溉输水管道的位置，为节约成本，希望它最短，确定DE的位置，并求出ED长的最小值．变式2、（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______．方法总结：利用基本不等式求解实际应用题的方法：利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题转化为代数问题，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值．1、（2022·重庆·一模）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．2、（2022·福建·模拟预测）已知，，，则的最小值为（

）A．13 B．19 C．21 D．273、（2022·广东·模拟预测）（多选题）已知实数满足，则下列结论正确的是（

）A．的最小值为16B．的最大值为9C．的最大值为9D．的最大值为4、（2022·河北保定·一模）（多选题）下面描述正确的是（

）A．已知，，且，则B．函数，若，且，则的最小值是C．已知，则的最小值为D．已知，则的最小值为5、（2022·重庆·模拟预测）（多选题）已知正数a，b满足，则下列说法一定正确的是（

）A． B．C． D．6、（2022·广东·模拟预测）（多选题）已知，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．7、（2022·湖北·蕲春县第一高级中学模拟预测）（多选题）若，且，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．8、（2022·湖南衡阳·三模）（多选题）已知实数，，．则下列不等式正确的是（

）A． B．C． D．第06讲基本不等式及应用1、基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．(3)其中eq\f(a＋b,2)叫做正数a，b的算术平均数，eq\r(ab)叫做正数a，b的几何平均数．2、几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同号)．(3)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．(4)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R)．以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3、利用基本不等式求最值(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2eq\r(P).(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值eq\f(1,4)S2.注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．1、【2022年新高考2卷】若x，y满足x2A．x+y≤1 B．x+y≥−2C．x2+y【答案】BC【解析】因为ab≤a+b22≤a2+b22（a,b∈R），由x2+y由x2+y2−xy=1可变形为x因为x2+y2−xy=1变形可得x−y=43+23故选：BC．2、【2021年乙卷文科】下列函数中最小值为4的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．故选：C．3、【2020年新高考1卷（山东卷）】已知a>0，b>0，且a+b=1，则（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】对于A，，当且仅当时，等号成立，故A正确；对于B，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当时，等号成立，故C不正确；对于D，因为，所以，当且仅当时，等号成立，故D正确；故选：ABD1、在下列函数中，最小值为2的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】对于A选项，时，为负数，A错误.对于B选项，，，，但不存在使成立，所以B错误.对于C选项，，当且仅当时等号成立，C正确.对于D选项，，，，但不存在使成立，所以D错误.故选：C2、一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，则这个矩形的长为________m，宽为________m时菜园面积最大．【答案】15eq\f(15,2)【解析】设矩形的长为xm，宽为ym，则x＋2y＝30，所以S＝xy＝eq\f(1,2)x·(2y)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋2y,2)))2＝eq\f(225,2)，当且仅当x＝2y，即x＝15，y＝eq\f(15,2)时取等号3、（2022·山东枣庄·一模）（多选题）已知正数a，b满足，则（

）A．的最大值是B．的最大值是C．的最小值是D．的最小值为【答案】ABD【解析】由得，当且仅当时取等，A正确；由得，当且仅当时取等，B正确；由正数a，b及知，，可得，故，C错误；令，则，两边同时平方得，整理得，又存在使，故，解得，D正确.故选：ABD.4、（2022·江苏南通·模拟预测）（多选题）已知，且.则下列选项正确的是（

）A．的最小值为B．的最小值为C．D．【答案】BD【解析】解：由题意得：对于选项A：因为，所以当且仅当时，即，的最小值为，故A错误；对于选项B：因为，所以故当时，的最小值为，故B正确；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，当时等号成立，但,故等号不成立,所以,故D正确.故选：BD考向一运用基本不等式求函数的最值例1、(1)已知0<x<1，则x(4－3x)取得最大值时x的值为________．(2)已知x<eq\f(5,4)，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为________．(3)函数y＝eq\f(x2＋2,x－1)(x>1)的最小值为________．【答案】(1)eq\f(2,3)(2)1(3)2eq\r(3)＋2【解析】(1)x(4－3x)＝eq\f(1,3)×(3x)·(4－3x)≤eq\f(1,3)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3x＋4－3x,2)))2＝eq\f(4,3)，当且仅当3x＝4－3x，即x＝eq\f(2,3)时，取等号．故所求x的值为eq\f(2,3).(2)因为x<eq\f(5,4)，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－4x＋\f(1,5－4x)))＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝eq\f(1,5－4x)，即x＝1时，取等号．故f(x)＝4x－2＋eq\f(1,4x－5)的最大值为1.(3)y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f(x2－2x＋1＋2x－2＋3,x－1)＝eq\f(x－12＋2x－1＋3,x－1)＝(x－1)＋eq\f(3,x－1)＋2≥2eq\r(3)＋2.当且仅当x－1＝eq\f(3,x－1)，即x＝eq\r(3)＋1时，取等号．变式1、已知x>1，求y＝eq\f(x2＋2,x－1)的最小值．【解析】令x－1＝t(t>0)，则y＝eq\f(x2＋2,x－1)＝eq\f((t＋1)2＋2,t)＝t＋eq\f(3,t)＋2≥2eq\r(3)＋2，当且仅当t＝eq\f(3,t)，即t＝eq\r(3)，即x＝eq\r(3)＋1时，取等号，所以y的最小值为2eq\r(3)＋2.变式2、已知x≥1，求y＝eq\f(x2＋2,x＋1)的最小值．【解析】令x＋1＝t(t≥2)，则y＝eq\f(x2＋2,x＋1)＝eq\f((t－1)2＋2,t)＝t＋eq\f(3,t)－2≥2eq\r(3)－2，当且仅当t＝eq\f(3,t)，即t＝eq\r(3)时，取等号．又因为t≥2，根据对勾函数的性质可知当t＝2，即x＝1时，y有最小值，即ymin＝2＋eq\f(3,2)－2＝eq\f(3,2).变式3、（1）（2022·江苏泰州·一模）（多选题）下列函数中最小值为6的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根据基本不等式成立的条件“一正二定三相等”，逐一验证可得选项.【详解】解：对于A选项，当时，，此时，故A不正确.对于B选项，，当且仅当，即时取“”，故B正确.对于C选项，，当且仅当，即时取“”，故C正确.对于D选项，，当且仅当，即无解，故D不正确.故选：BC.（2）（2022·广东惠州·二模）函数有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2【答案】D【分析】分离常数后，用基本不等式可解.【详解】（方法1），，则，当且仅当，即时，等号成立.（方法2）令，，，.将其代入，原函数可化为，当且仅当，即时等号成立，此时.故选：D方法总结：(1)应用基本不等式求值域一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．如果不满足等号的成立条件就用函数的单调性求解．(2)在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑（或换元）出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．考向二基本不等式中1的运用例2、(2022·湖北华中师大附中等六校开学考试联考)若正数，满足，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】（当且仅当，即时取等号），的最小值为.故选：C.变式1、（2022·江苏扬州·高三期末）已知正实数x，y满足x＋y＝1，则的最小值为__________．【答案】##【解析】由题意可知，＝＝＝＋＝（＋）（x＋y）＝4＋5＋＋≥9＋2＝，当且仅当＝，时取等号，此时，故的最小值为．故答案为：变式2、（2022·江苏·金陵中学模拟预测）已知是正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（

）A． B．9 C． D．2【答案】B【分析】将代入，得到，的关系式，再应用基本不等式“1”的代换求最小值即可．【详解】由函数的图象经过，则，即．，当且仅当时取到等号．故选：B．变式3、（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）正项等比数列中，成等差数列，且存在两项使得，则的最小值是（

）A．2 B． C． D．不存在【答案】B【分析】由等比数列通项公式及等差中项的性质可得，进而有，利用基本不等式“1”的代换求目标式最小值，注意等号是否成立.【详解】由题设，若公比为且，则，所以，由，则，故，可得，所以，而，故等号不成立，又，故当时，当时，显然，故时最小值为.故选：B变式4、（2022·湖南师大附中三模）（多选题）若，，，则的可能取值有（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】利用题设条件，将式子化成，观察得出，之后利用乘以1不变，结合基本不等式求得其范围，进而得到正确答案.【详解】原式（当且仅当，时取等号）.故选：CD.方法总结：(1)利用常数“1”代换的方法构造积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．(2)“1”代换的方法可以求解形如【问题2】中的“已知两正数之和为定值，求两数倒数和的最值”或“已知两正数倒数之和为定值，求两正数和的最值”问题,是直接求解二元函数值域的一种方法．(3)解决问题时关注对已知条件和所求目标函数式的变形，使问题转化成可用“1”代换求解的模型考向三运用消参法解决不等式问题例3、(2022·江苏淮安市六校第一次联考)已知x＞0，y＞0，且x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，则y的最大值为()A．1B．EQ\F(1,2)C．2D．EQ\F(1,3)【答案】D【解析】由题意可知，x＋3y＝EQ\F(1,y)－EQ\F(1,x)，则x＋EQ\F(1,x)＝EQ\F(1,y)－3y，因为x＞0，所以x＋EQ\F(1,x)＝EQ\F(1,y)－3y≥2EQ\R(,x·\F(1,x))＝2，当且仅当x＝EQ\F(1,x)，即x＝1时等号成立，即EQ\F(1,y)－3y≥2，又y＞0，所以可化为3y2＋2y－1≤0，解得0＜y≤EQ\F(1,3)，即y的最大值为EQ\F(1,3)，故答案选D．变式1、(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)已知正实数，满足，则的最小值是______．【答案】【解析】，，当且仅当，时取等号．所以则的最小值是，故答案为：变式2、（2022·湖南·一模）已知，则_________．【答案】3【分析】利用基本不等式求得，从而可得，求解出值，代入即可得值.【详解】因为，当且仅当时取等号，所以，即，得，所以，即，所以.故答案为：方法总结：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值考向四运用基本不等式解决实际问题例4、工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，另需投入成本C(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，C(x)＝eq\f(1,3)x2＋10x；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋eq\f(10000,x)－1450.已知每件商品的售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？【解析】(1)因为每件商品的售价为0.05万元，所以x千件商品的销售额为(0.05×1000x)万元．依题意，得当0<x<80时，L(x)＝1000x×0.05－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x2＋10x))－250＝－eq\f(1,3)x2＋40x－250；当x≥80时，L(x)＝1000x×0.05－(51x＋eq\f(10000,x)－1450)－250＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))，所以L(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)x2＋40x－250，0<x<80，,1200－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))，x≥80.))(2)当0<x<80时，L(x)＝－eq\f(1,3)(x－60)2＋950.当x＝60时，L(x)max＝950万元；当x≥80时，L(x)＝1200－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(10000,x)))≤1200－2eq\r(10000)＝1000，当且仅当x＝100时，取等号，则L(x)max＝1000万元．综上，当年产量为100千件时，年利润最大．变式1、(2022·福州高三期中)某县一中计划把一块边长为20m的等边三角形ABC的边角地开辟为植物新品种实验基地，图中DE把基地分成面积相等的两部分，点D在AB上，点E在AC上．(1)设AD＝x(x>10)，DE＝y，求y关于x的函数解析式；(2)若DE是灌溉输水管道的位置，为节约成本，希望它最短，确定DE的位置，并求出ED长的最小值．【解析】(1)由已知得S△ADE＝eq\f(1,2)S△ABC，即eq\f(1,2)x·AE·sinA＝eq\f(1,2)·eq\f(1,2)AB·AC·sinA，即AE＝eq\f(200,x).在△ADE中，由余弦定理，得y2＝x2＋AE2－2x·AE·cosA＝x2＋eq\f(2002,x2)－200，故y＝eq\r(x2＋\f(2002,x2)－200)，10<x≤20.(2)由(1)，得y＝eq\r(x2＋\f(2002,x2)－200)≥eq\r(2\r(2002)－200)＝10eq\r(2)，当且仅当x2＝eq\f(2002,x2)，即x＝10eq\r(2)时，取等号，所以当AD＝10eq\r(2)m，AE＝10eq\r(2)m时，ED最短，为10eq\r(2)m．变式2、（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）设矩形的周长为，把它沿对角线对折后，设交于点，此时点记作，如图所示，设，，则△的面积的最大值为______．【答案】【分析】由题设可得，结合基本不等式得到关于的一元二次不等式并求解集，结合△的面积即可得最大值，注意成立条件.【详解】由题意△△，而，，所以，而矩形的周长为，则，整理得，仅当等号成立，所以，而，可得，则，而△的面积，故最大值为，此时.故答案为：方法总结：利用基本不等式求解实际应用题的方法：利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题转化为代数问题，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值．1、（2022·重庆·一模）已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】将代入，可得：（当且仅当时，取得等号）故选：D2、（2022·福建·模拟预测）已知，，，则的最小值为（

）A．13 B．19