随机变量的数字特征（第1课时 离散型随机变量的均值） 高二下学期数学人教B版（2019）选择性必修第二册

人教B版

数学

选择性必修第二册第四章概率与统计4.2.4随机变量的数字特征第1课时离散型随机变量的均值课标定位素养阐释1.通过实例,理解离散型随机变量的均值.2.理解两点分布、二项分布、超几何分布的均值及均值的性质,并能解决简单的实际问题.3.体会数学抽象的过程,提升数学建模和数学运算素养.自主预习新知导学一、离散型随机变量的均值1.设有13个西瓜,其中质量为5kg的有4个,质量为6kg的有3个,质量为7kg的有6个.(1)任取一个西瓜,若用X表示这个西瓜的质量,则X可以取哪些值?提示:5,6,7.(2)当X取上述值时,对应的概率分别是多少?(3)如何求每个西瓜的平均质量?2.(1)离散型随机变量的均值:一般地,如果离散型随机变量X的分布列如下表所示.Xx1x2…xk…xnPp1p2…pk…pn(2)均值的意义:离散型随机变量X的均值E(X)刻画了X的平均取值.在离散型随机变量X的分布列的直观图中,E(X)处于平衡位置.3.已知离散型随机变量X的分布列为

答案:A二、几种特殊分布的均值与均值的性质1.已知随机变量X服从参数为p的两点分布,其分布列为X10

Pp1-p(1)两点分布的均值E(X)与参数p有什么关系?提示:E(X)=p.(2)若随机变量Y=2X+1,则E(Y)与E(X)有什么关系?提示:E(Y)=2E(X)+1.2.(1)若X服从参数为p的两点分布,则E(X)=p.(2)若X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则E(X)=np.(4)均值的性质:若X与Y都是随机变量,且Y=aX+b(a≠0),则E(Y)=aE(X)+b.(2)若E(X)=3,则E(3X-1)=8.【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)随机变量X的均值E(X)是个变量,其随X的变化而变化.(×)(2)随机变量的均值与样本的平均值相同.(×)(3)若随机变量X的均值E(X)=2,则E(2X)=4.(√)合作探究释疑解惑探究一利用定义求均值解:设事件A为甲破译出该密码,事件B为乙破译出该密码,X的可能取值为0,1,2,求均值的一般步骤(1)确定X可能的取值.(2)求出X取每个值的概率.(3)列出分布列.(4)利用均值的定义求出E(X).反思感悟【变式训练1】

现有一个项目,对该项目投资10万元,一年后的利润是1.2万元,1.18万元,1.17万元的概率分别为,随机变量X(单位:万元)表示对该项目投资10万元一年后所得的利润,则X的均值为(

)A.1.18 B.3.55C.1.23 D.2.38答案:A探究二利用公式求均值【例2】

(1)某课外兴趣小组共有5名成员,其中3名女生,2名男生.现从中随机选取2名成员进行学习汇报,记选出女生的人数为X,则X的均值是(

)答案:A(2)某通信公司共有客户3000人,若通信公司准备了100份礼物,邀请客户在指定时间来领取,假设任意客户去领取的概率为4%.问:通信公司能否向每一位客户都发出邀请?若能使每一位领取人都得到礼物,通信公司至少应准备多少份礼物?解:设去领取的人数为X,则由题意可知,X~B(3

000,0.04),所以E(X)=3

000×0.04=120>100.因此,通信公司不能向每一位客户都发出邀请.若能使每一位领取人都得到礼物,则通信公司至少应准备120份礼物.常见的三种分布的均值(1)两点分布:E(X)=p.(2)二项分布:E(X)=np.(3)超几何分布:E(X)=.反思感悟【变式训练2】

某运动员的投篮命中率p=0.6.(1)求投篮一次时,命中次数ξ的均值;(2)求重复投篮5次时,命中次数η的均值.解:(1)由题意可知,投篮一次,命中次数ξ服从两点分布,则E(ξ)=p=0.6.(2)由题意可知,重复投篮5次,命中的次数η服从二项分布,即η~B(5,0.6).则E(η)=np=5×0.6=3.探究三分布列的性质及应用【例3】

已知随机变量X的分布列为

若Y=-2X,则E(Y)=

.

延伸探究若给出随机变量ξ与X的关系为ξ=aX+b,a,b为常数,则求E(ξ)一般有两种思路:(1)先求出E(X),再利用公式E(ξ)=E(aX+b)=aE(X)+b求出E(ξ);(2)先利用X的分布列得到ξ的分布列,关键是由X的取值得到对应ξ的取值,再由定义求得E(ξ).反思感悟【变式训练3】

袋中有20个大小相同的球,其中标号为0的有10个,标号为n(n=1,2,3,4)的有n个.现从袋中任取一球,ξ表示所取球的标号.(1)求ξ的分布列及均值;(2)若η=aξ+4,E(η)=1,求a的值.解:(1)由已知得,ξ的分布列为

【规范解答】

离散型随机变量的均值的实际应用【典例】

受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年.现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆,统计数据如下:品牌甲乙首次出现故障时间x/年0<x≤11<x≤2x>20<x≤2x>2轿车数量/辆2345545每辆利润/万元1231.82.9将频率视为概率.该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌的轿车.若从经济效益的角度考虑,你认为应生产哪种品牌的轿车?说明理由.审题策略

设生产一辆甲品牌轿车的利润为X1万元,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2万元,先求出X1,X2的分布列,再利用均值的定义,求出E(X1),E(X2),最后比较E(X1)与E(X2)的大小,得出结论.规范展示

设生产一辆甲品牌轿车的利润为X1万元,生产一辆乙品牌轿车的利润为X2万元.依题意得,X1的分布列为答题模板

第1步:根据题意,设出随机变量X1,X2.第2步:求X1,X2的分布列.第3步:利用均值的定义,求E(X1),E(X2).第4步:比较E(X1)与E(X2)的大小,得出结论.1.不理解题意,不知道求什么.2.计算错误.失误警示【变式训练】

某人有20万元,准备全部投资房地产或全部购买股票,预计盈利情况如下表,则他应选择哪种方案?自然状况概率购买股票盈利/万元投资房地产盈利/万元巨大成功0.3108一般成功0.534失败0.2-10-4解:设购买股票的盈利为X万元,投资房地产的盈利为Y万元,则E(X)=10×0.3+3×0.5+(-10)×0.2=2.5,E(Y)=8×0.3+4×0.5+(-4)×0.2=3.6.因为E(Y)>E(X),所以投资房地产的平均盈利较高,故选择全部投资房地产.随堂练习1.已知ξ的分布列为

答案:D2.抛掷一枚质地均匀的硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的均值为(

)答案:A3.同时抛掷5枚均匀的硬币80次,设5枚硬币正好出现2枚正面向上的次数为X,则X的均值是(

)A.20 B.25

C.30

D.40答案:B4.（多选题）已知离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m设随机变量Y=|X-2|,则下列结论正确的是(

)A.m=0.3 B.E(X)=2.1C.P(Y=2)=0.5 D.P(X≥2)=0.7答案:ACD5.设离散型随机变量X可能的取值为1,2,3,P(X=k)=ak+b(k=1,2,3).若X的均值E(X)=3,则a+b=

.

解析:∵P(X=1)=a+b,P(X=2)=2a+b,P(X=3)=3a+b,∴E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+