一次函数的图象与直线的方程 直线的倾斜角、斜率及其关系 高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

北师大版

数学

选择性必修第一册第一章直线与圆1.1一次函数的图象与直线的方程1.2直线的倾斜角、斜率及其关系课标定位素养阐释1.在平面直角坐标系中,结合具体图形掌握确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角的概念,明确直线的倾斜角的唯一性.3.理解直线的斜率的概念,明确直线的倾斜角与斜率、方向向量的关系.培养观察、探索和抽象概括的能力,运用数学语言的表达能力,数学交流与评价能力.4.掌握过两点的直线斜率的计算公式,并能运用该公式解决有关问题.帮助进一步理解数形结合思想,渗透几何问题代数化的解析几何研究思想.自主预习新知导学一、一次函数的图象与直线的方程【问题思考】1.在初中,我们学习过一次函数y=kx+b(k≠0),知道它的图象是一条直线(设为l),那么满足y=kx+b(k≠0)的有序实数对(x,y)与直线l上的点的坐标有什么关系?提示:一一对应关系.2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,它是以满足y=kx+b的每一对x,y的值为坐标的点构成的.同时函数解析式y=kx+b可以看作二元一次方程.在解析几何中研究直线时,就是利用直线与方程的这种对应关系,建立直线的方程,并通过方程来研究直线的有关问题.3.下列点在一次函数y=-x-2的图象上的是(

).A.(1,1) B.(-3,0) C.(2,-1) D.(3,0)答案:B二、直线的倾斜角和斜率【问题思考】1.(1)在平面直角坐标系中,只知道直线上的一点,能不能确定这条直线呢?提示:不能.(2)如图1-1-1,在平面直角坐标系中,过定点P的四条直线l1,l2,l3,l4相对于x轴的倾斜程度是否相同?提示:不相同.图1-1-1①

②

图1-1-2(4)图1-1-2①②中的坡度与角α,β存在等量关系吗?提示:存在.题图①中,坡度=tan

α,题图②中,坡度=tan

β.2.(1)直线的倾斜角在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的直线l,把x轴(正方向)按

逆时针方向绕着交点旋转到和直线l首次重合

时所成的角,称为直线l的倾斜角.通常倾斜角用α表示.当直线l和x轴

平行或重合

时,规定它的倾斜角为0.因此,直线的倾斜角α的取值范围为

[0,π).(2)直线的斜率在直线l上任取两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),记Δx=x2-x1(Δx≠0),Δy=y2-y1,则比值

反映了直线l的倾斜程度.的大小与两点P1,P2在直线上的位置无关.称(其中x1≠x2)为经过不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线l的斜率.3.已知直线l经过点P(1,2),Q(-2,1),则直线l的斜率为

.

三、直线的斜率与倾斜角、方向向量的关系【问题思考】1.(1)为什么当直线的倾斜角为时,直线没有斜率?提示:当倾斜角α=时,tan

α不存在,由斜率的定义可知,此时直线的斜率不存在.(2)倾斜角相等的直线的倾斜程度是否相同?提示:相同.2.(1)直线的斜率与倾斜角的关系(2)直线的斜率与方向向量的关系若k是直线l的斜率,则v=(1,k)是它的一个方向向量;若直线l的一个方向向量的坐标为(x,y),其中x≠0,则它的斜率

.3.若直线l的倾斜角为60°,则直线l的斜率为(

).解析:直线l的斜率k=tan

60°=.故选A.答案:A【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.(1)直线的倾斜角α的取值范围是[0°,180°].(

)(2)斜率相等的两直线倾斜角相等.(

)(3)直线的斜率越大,其倾斜角也越大.(

)(4)若直线的斜率k=tanθ,则θ一定为该直线的倾斜角.(

)×√××合作探究释疑解惑探究一直线的倾斜角和斜率的求法【例1】

(1)已知一条直线的倾斜角为45°,求这条直线的斜率;(2)求经过两点A(2,3),B(m,4)的直线的斜率.解:(1)直线的斜率k=tan

45°=1.(2)当m=2时,直线AB的斜率不存在;1.求直线的斜率通常有两种方法:一是已知直线的倾斜角α(α≠90°)时,可利用斜率的定义,即k=tan

α求得;二是已知直线所经过的两点的坐标时,可利用过两点的直线的斜率公式计算求得.2.利用斜率公式求直线的斜率应遵循的原则(1)运用公式

的前提是“x1≠x2”,即直线不与x轴垂直,因为当直线与x轴垂直时,斜率的计算公式无意义.(2)斜率公式

与两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的先后顺序无关,也就是说公式中的x1与x2,y1与y2可以同时交换位置.3.若两点的横坐标中含有参数,则应先讨论横坐标是否相等,再确定直线的斜率.【变式训练1】

(1)经过点A(-1,2),B(3,-2)的直线的倾斜角为(

).A.135° B.120° C.60° D.45°(2)已知经过点M(0,b)与点N(-,1)的直线的倾斜角为120°,则b=

.

答案:(1)A

(2)-2探究二直线的斜率与方向向量的关系【例2】

已知直线l的斜率为,求它的一个方向向量的坐标.解:设P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2)为直线l上的两点,则直线l的一个方向向量v=(x2-x1,y2-y1).由直线的斜率求方向向量的坐标实际上只是求了一个符合条件的向量的坐标,根据向量共线的条件可知,所有与所求向量共线的向量都是直线的方向向量.已知直线的一个方向向量的坐标(x,y),其中x≠0,则该直线的斜率

,从而可由k=tan

α求得倾斜角α.探究三直线斜率的综合应用【例3】

若经过点P(1-a,1+a),Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的取值范围为

.

解析:因为直线的倾斜角为钝角,所以1-a≠3,即a≠-2.即实数a的取值范围为(-2,1).答案:(-2,1)若把本例中的“钝角”改为“锐角”,其他条件不变,试求实数a的取值范围.解:因为直线的倾斜角是锐角,即实数a的取值范围为(-∞,-2)∪(1,+∞).已知直线的倾斜角的取值范围求斜率的取值范围时,要注意对倾斜角分锐角和钝角两种情况进行分析求解;已知斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时,应对斜率分正值和负值两种情况进行分析求解.【变式训练3】

若直线l的斜率k≤1,求倾斜角α的取值范围.解:∵tan

45°=1,∴当0≤k≤1时,0°≤α≤45°;当k<0时,90°<α<180°.∴当k≤1时,倾斜角α的取值范围是{α|0°≤α≤45°或90°<α<180°}.

思想方法数形结合思想在求直线的斜率和倾斜角中的应用【典例】

已知点A(-3,4),B(3,2),P(1,0),过点P的直线l与线段AB有公共点.(1)求直线l的斜率k的取值范围;(2)求直线l的倾斜角α的取值范围.(1)要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞).图1-1-31.已知线段AB的端点及线段外一点P,过点P的直线l与线段AB有交点的情况下,求直线l的斜率的取值范围的方法:(1)连接PA,PB;(2)分别求出直线PA,PB的斜率;(3)结合图形,写出满足条件的直线l斜率的取值范围.2.数形结合思想是一种重要的数学思想,在解析几何中经常用到,借助图形的直观性很容易阐明数与数之间的关系,而且也会使复杂的问题直观化、简单化、具体化,从而使问题快速得到解决.随堂练习1.已知经过点P(-2,m),Q(m,4)的直线的斜率为1,则m的值为(

).A.1 B.4C.1或3 D.1或4答案:A答案:D答案:C4.（多选题）下列说法中正确的是(

).A.任何一条直线都有唯一的倾斜角B.一条直线的倾斜角可以为-30°C.倾斜角为0°的直线只有一条,即x轴D.按照倾斜角的概念,直线倾斜角的集合{α|0°≤α<180°}中每一个倾斜角α都有唯一确定的一条直线与它对应答案:AC