人教版必修二高中数学笔记讲义

第1讲第1章§1.1.1柱、锥、台'球的结构特征

口学习目标：认识柱、锥、台、球的结构特征，并能运用这些特征描述生活中简单物体的结构.逐步培养观察能力和抽

象概括能力.

CI知识要点：

结构特征图例

(1)两底面相互平行；(2)侧面的母

(1)两底面相互平行，£

棱线平行于圆柱的轴；

其余各面都是平行四边圆

柱(3)是以矩形的一边所在直线为旋转

形；柱,*50

轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的

(2)侧棱平行且相等.

几何体.\B

(1)底面是多边形，各(1)底面是圆；(2)是以直角三角形

棱

侧面均是三角形；圆的一条直角边所在的直线为旋转轴，其

锥

(2)各侧面有一个公共锥余两边旋转形成的曲面所围成的几何

顶点.体.公:一

(1)两底面相互平行；

棱(1)两底面相互平行；

(2)是用一个平行于棱圆

台(2)是用一个平行于圆锥底面的平面

锥底面的平面去截棱锥，台

去截圆锥，底面和截面之间的部分.

底面和截面之间的部分.

(1)球心到球面上各点的距离相等；(2)是以半圆的直径所在直线为

球

旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体.

0例4诞精讲：

1.下列说法错误的是()

A.多面体至少有四个面B.九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形

C.长方体、正方体都是棱柱D.三棱柱的侧面为三角形

分析：多面体至少应有四个顶点组成(否则至多3个顶点，而3个顶点只围成一个平面图形)，而四个顶点当然必须围成

四个面，所以A正确；棱柱侧面为平行四边形，其侧棱和侧面的个数与底面多边形的边数相等，所以B正确；长方体、正

方体都是棱柱，所以C正确；三棱柱的侧面是平行四边形，不是三角形，所以D错误.

答案：D

2.•个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm,则每条侧棱长为cm.

分析：n棱柱有2n个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱，又因棱柱的侧棱都相等，五条侧棱长的和为

60cm，可知每条侧棱长为12cm.

答案：12

3.在本节我们学过的常见几何体中，如果用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是.

分析：棱锥、棱柱、棱台、圆锥等几何体的截面都可以是三角形，因此本题答案是开放的，作答时要考虑周全.

答案：棱锥、棱柱、棱台、圆锥

第2讲§1.1.2简单组合体的结构特征

口学习目标：认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.

口知识要点：观察周围的物体，大量的几何体是由柱、锥、台等组合而成的，这些几何体称为组合体.

0例题精讲：［例1］在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有().

A.1个B.2个C.3个D,4个

解：在长方体A8C£)-48'C'。'中，取四棱锥A'-A8C£>,它的四个侧面都是直角三角形.选D.

【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为r,R,求球的半径.

解：圆台轴截面为等腰梯形，与球的大圆相切，由此得

梯形腰长为R+r,梯形的高即球的直径为7(r+/?)2-(T?-r)2=2麻,

所以，球的半径为而.

第3讲§1.2.2空间几何体的三视图

学习目标：能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述的三视图

所表示的立体模型，会使用材料(如：纸板)制作模型.

0知识要点.

1.“苏图’”是将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图.光线自物体的前面向后投影所得的投影图成为“正

视图”，自左向右投影所得的投影图称为“侧视图”，自上向下投影所得的图形称为“俯视图”.用这三种视图即可刻划空

间物体的几何结构，称为“三视图”.

2.画三视图之前，先把几何体的结构弄清楚，确定一个正前方，从几何体的正前方、左侧（和右侧）、正上方三个不

同的方向看几何体，画出所得到的三个平面图形，并发挥空间想象能力.在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线

画出，被遮挡的部分用虚线表示出来.

!3例题精讲：

【例1】画出下列各几何体的三视图：

<1><2>

解：这两个儿何体的三视图如下图所示.

【例2】画出下列三视图所表示的几何体.

解：先画几何体的正面，再侧面，然后结合三个视图完成几何体的轮廓.如下图所示.

【例3】如图，图（1）是常见的六角螺帽，图（2）是一个机器零件（单位：cm）,所给的方向为物体的正前方.试分

别画出它们的三视图.

解：图（1）为圆柱和正六棱柱的组合体.图（2）是由长方体切割出来的规则组合体.

从三个方向观察，得到三个平面图形，绘制的三视图如下图分别所示.

第

第4讲§1.2.3空间几何体的直观图

口学习目标：会用斜二侧法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的直观图.了解空间

图形的不同表示形式.

口知识要点：“直观图”最常用的画法是斜二测画法，由其规则能画出水平放置的直观图，其实质就是在坐标系中确

定点的位置的画法.基本步骤如下：（1）建系：在已知图形中取互相垂直的x轴和），轴，得到直角坐标系wy,直观图中

画成斜坐标系x'。｝',两轴夹角为45。.

（2）平行不变：已知图形中平行于x轴或），轴的线段，在直观图中分别画成平行于£或y'轴的线段.

（3）长度规则：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半.

口例题精讲：【例1】下列图形表示水平放置图形的直观图，画出它们原来的图形.

解：依据斜二测画法规则，逆向进行，如图所示.

【例2】（1）画水平放置的一个直角三角形的直观图；（2）画棱长为4cm的正方体的直观图.

解：（1）画法：如图，按如下步骤完成.

第一步，在已知的直角三角形ABC中取直角边C8所在的直线为x轴，与8c垂直的直线为y轴，画出对应的x'轴和

y'轴，使Nr'O'y'=45.

第二步，在/轴上取O'C'=BC,过C'作了轴的平行线，取C'A'=，C4.

2

第三步，连接A'。'，即得到该直角三角形的直观图.

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴2

（2）画法：如图，按如下步骤完成.

第一步，作水平放置的正方形的直观图ABCD,使N8A。=45,A8=4。〃,AO=2的.

第二步，过A作z'轴，使NBAz'=90.分别过点8,C,。作z'轴的平行线，在z'轴及这组平行线上分别截取

A4'=BB'=CC'=DD'=4cm.

第三步，连接A'8',8'C',CZ>',D'A,所得图形就是正方体的直观图.

点评：直观图的斜二测画法的关键之处在于将图中的关键点转化为坐标系中的水平方向与垂直方向的坐标长度，然后

运用“水平长不变，垂直长减半”的方法确定出点，最后连线即得直观图.注意被遮挡的部分画成虚线.

第5讲§1.3.1柱体、锥体、台体的表面积

!□学习目标：了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的表面积进行计算和

解决有关实际问题.

Q知识要点：

表面积相关公式表面积相关公式

S全=S侧+2s底,

棱柱圆柱S全=2万一+2乃历（r：底面半径，/?：高）

其118恻=/侧棱长c自截面周长

棱锥S全=S侧+5底圆锥S全二万,+乃”（r：底面半径，/：母线长）

S全=^（r'2+r2+r7+rZ）

棱台S全=§侧+S上底+S下底圆台

3•:下底半径，尸：上底半径，/：母线长）

CH列题精讲：

【例1】己知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长.

解：设圆台的母线长为/,则圆台的上底面面积为5卜=4・22=4万，圆台的上底面面积为S下=4-52=25%，

所以圆台的底面面积为S=S上+S卜=294.又圆台的侧面积SffilJ=4（2+5）/=,

29

于是7乃/=254，即/==为所求.

7

【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示，求这个正三棱柱的表面积.

解：由三视图知正三棱柱的高为2〃〃〃.

由左视图知正三棱柱的底面三角形的高为26机机.

设底面边长为小则#a=2道，a=4.

正三棱柱的表面积为5=S；对+25底=3x4x2+2x；x4x2=24+8月（加加）.

【例31牧民居住的蒙古包的形状是一个圆柱与圆锥的组合体，尺寸如右图所示，请你帮助算出要搭建这样的一个蒙

古包至少需要多少平方米的篷布？（精确到0.01疗）

解：上部分圆锥体的母线长为J1.2?+2.52,

其侧面积为$=万x2xV1.22+2.52.

2

下部分圆柱体的侧面积为S,=^-x5xl.8.

所以，搭建这样的一个蒙古包至少需要的篷布为

5=5,+5,=^-X|X>/1.22+2.52+^x5xl.8«50.05（m2）.

点评：正确运用锥体和柱体的侧面积计算公式，解决制作壳形几何体时的用料问题.注意区分是面积计算，还是体枳计算.

第6讲§1.3.1柱体、锥体、台体的体积

CS学习目标：了解棱柱、棱锥、台体的体积的计算公式（不要求记忆公式）；能运用柱、锥、台的体积公式进行计算

和解决有关实际问题.

CS知识要点：1.体积公式：

体积公式体积公式

棱柱v=s&%圆柱V=7tr2h

丫=手底%

棱锥圆锥V=-7rr2h

3

V=^^(r>2+r'r+r2)h

棱台v=g(s'+V^?+s)〃圆台

2.柱、椎、台之间，可以看成一个台体进行变化，当台体的上底面逐渐收缩为•个点时，它就成了锥体；当台体的上

底面逐渐扩展到与下底面全等时，它就成了柱体.因而体积会有以下的关系：

腺=京力<sf=1（5'+>/S;5+5）/z*JV^=Sh.

0例题精讲：[例1]一个长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6,则长方体的体

积是.解：设长方体的长宽高分别为a,,则必=2,℃=3,a=6,

三式相乘得（"c）2=36.所以，长方体的体积为6.

[例2]•块边长为10加的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个

正四棱锥形容器，试建立容器的容积丫与x的函数关系式，并求出函数的定义域.

解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为皿.

在RtAEOF中，EF=5cm,OF=—xctn,

所以E0=小25-；/,于是V=；x2《25-；x2.

依题意函数的定义域为{x[0<x<10}.

【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为、万，母线长为6,现将该容器盛满水，然后平稳缓慢地将容器倾斜让水

流出，当容器中的水是原来的°时，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为

6

解：容器中水的体积为丫=万//=万X（6）2X6=18I.

流出水的体积为V'=（l—2）v=3»,如图，r=—=—率7=2.

6万广万x（6）2

设圆柱的母线与水平面所成的角为a,则tana=38=Ji,解得a=60。.

2

所以，圆柱的母线与水平面所成的角的大小为60°.

点评：抓住流水之后空出部分的特征，它恰好是用一个平面去平分了一个短圆柱.从而由等体积法可计算出高度，解

直角三角形而得所求角.

第7讲§1.3.2球的体积和表面积

口学习目标：了解球的表面积和体积的计算公式（不要求记忆公式）：能运用球的表面积和体积公式进行计算和解决

有关实际问题.

!□知识要点：1.表面积：S球面=4乃R-（R：球的半径）.2•体积:%而=铲8

口例题精讲：

【例1】有一种空心钢球，质量为142g,测得外径等于5cm，求它的内径（钢的密度为7.9g/的？，精确到0.忆机）.

解：设空心球内径（直径）为2x加，则钢球质量为

7.9.[--^-（-）3--^-X3]=142,

323

...=53——142x3_*]]§,xa2.24,

27.9x4x3.14

.♦•直径2x=4.5,即空心钢球的内径约为4.5cm.

【例2】表面积为324〃的球，其内接正四棱柱的高是14,求这个正四棱柱的表面积.

解：设球半径为R,正四棱柱底面边长为。，则作轴截面如图，A4'=14,/TC=，2a,

又・・・44/?2=324），・・・R=9,・・・人。=，4。'2—8'2=8应，・・・。=8,

.・,S表=64x2+32x14=576.

【例3】（04年辽宁卷.10）设4、B、C、。是球面上的四个点，且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面

的距离是球半径的一半，则球的体积是（）.

A.8底兀B.64瓜兀C.2401D.72叵冗

【解】由已知可得，A、B、C、D在球的一个小圆上.

%、历

'：AB=BC=CD=DA=3,：.四边形ABCD为正方形.小圆半径八=、一.

2

由R2=/+"得R2=（述）2+（£『，解得R=遥

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴4

...球的体积丫=壮万六=3万（后）3=8底.所以选A.

33

点评：解答球体中相关计算，一定要牢记球的截面性质R?=/+炉，体积和表面积公式.

第8讲§2.1.1平面

0学习目标：能够从日常生活实例中抽象出数学中所说的“平面”；理解平面的无限延展性；正确地用图

形和符号表示点、直线、平面以及它们之间的关系；初步掌握文字语言、图形语言与符号语言三种语言之间的

转化；理解可以作为推理依据的三条公理.

0知识要点：

1.点A在直线上，记作Aea；点A在平面a内，记作4ea；直线a在平面a内，记作aua.

2.平面基本性质即三条公理的“文字语言”、"符号语言图形语言”列表如下：

公理1公理2公理3

图形

L二/

语言

如果一条直线上的两点在过不在一条直线上的三点，有如果两个不重合的平面有一个公

文字

一个平面内，那么这条直线且只有一个平面.共点，那么它们有且只有一条过该

语言

在此平面内.点的公共直线.

Awl,Bsl][ap—l

符号AB,C不共线n…，…气人/

语言Aea,BGa)A,8,C确定平面a

3.公理2的三条推论：

推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面；

推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面.

0例题精讲：

【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,那么这三条直线是否共面？（尸56A组5题）

解：根据公理2的推论3,可知两条平行直线确定一个平面，又由公理1可知，与两条平行直线相交的第

三条直线在这个平面内，所以一条直线与两条平行直线都相交时，这三条直线是共面的关系.

【例2】空间四边形A88中，E、F、G、”分别是AB、BC、CD,D4上的点，己知E尸和GH交于P

点，求证：EF、GH、AC三线共点.（同尸5sB组3题）

解：；PeEF,EFu面ABC,面ABC.同理Pw面AOC.

P在面ABC与面AOC的交线上，

又：面A8CC面AOC=AC,：.PeAC,即EF、HG、AC三线共点.

【例3】求证：两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.

己知：直线4B,8C,C4两两相交，交点分别为A,B,C,

求证：直线AB,8C,C4共面.

证明：因为A,B,C三点不在一条直线上，所以过4,B,C三点可以确定平面a.

因为4Ga,BWa,所以ABUa.同理BCUa,ACUa.

所以A8,BC,C4三直线共面.

点评：先依据公理2,由不共线的三点确定一个平面，再依据公理1,证三条直线在平面内.注意文字语言

给出的证明题，先根据题意画出图形，然后给出符号语言表述的已知与求证.常根据三条公理，进行“共面”

问题的证明.

【例4】在正方体ABC。-AqGR中，

（1）AA与CG是否在同一平面内？（2）点8,G，。是否在同一平面内？

（3）画出平面AC|与平面BG。的交线，平面ACR与平面8OG的交线.

解：（1）在正方体ABCD-A4clp中，

VA4.//CC,,二由公理2的推论可知，AA与CG可确定平面AG，

...4A与CG在同一平面内.

（2）•..点B，G，。不共线，由公理3可知，点民G，。可确定平面8G。，点8,G，。在同一平面内.

（3）VACBD=O,RCDC,=E,...点Oe平面Oe平面BCR,

又Ge平面AG，0€平面86；力，.I平面4G平面

同理平面ACD,平面BDC,=OE.

点评：确定平面的依据有公理2（不在同一条直线上的三点）和一些推论（两条平行直线、两条相交直线、直

线和直线外一点）.对几条公理的作用，我们必须十分熟练.

第9讲§2.1.2空间中直线与直线之间的位置关系

0学习目标：了解空间两条直线的三种位置关系，理解异面直线的定义，掌握平行公理，掌握等角定理，

掌握两条异面直线所成角的定义及垂直.

0知识要点：

［升,吉江［相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

1.空间两条直线的位置关系：'I平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点.

2.已知两条异面直线a,〃，经过空间任一点。作直线，〃a力'〃b,把a',"'所成的锐角（或直角）叫异面

直线所成的角（或夹角）所成的角的大小与点0的选择无关，为了简便，点。通常取在异面直线的

一条上；异面直线所成的角的范围为（0,90。］,如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直，

记作求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步：选点一平移一定角一计算.

0例题精讲：

【例1】己知异面直线。和b所成的角为50°,P为空间一定点，则过点P且与小〃所成角都是30°的

直线有且仅有（）.

A.1条B.2条C.3条D.4条

解：过P作“'〃小b'//h,若PGa,则取a为，，若PGb,则取万为，.这时优，少相交于尸点，它

们的两组对顶角分别为50°和130°.

记优，〃所确定的平面为B,那么在平面B内，不存在与a',〃都成30°的直线.

过点P与。'，〃都成30°角的直线必在平面B外,这直线在平面B的射影是a',6'所成对顶角的平分线.其

中射影是50°对顶角平分线的直线有两条/和厂，射影是130°对顶角平分线的直线不存在.故答案选B.

【例2】如图正方体ABCD-A4GR中，E、F分别为01G和8G的中点，P、。分别为AC与80、4G

与E尸的交点.（1）求证：D、B、F、E四点共面；

（2）若AC与面。BFE交于点R,求证：P、。、R三点共线.

证明：（1）；正方体ABC。-AgCQ中，BB、&DDt,：.BD//8Q.

又,/BR0中,E、F为中点，

EF//：.EF//BD,即。、B、F、E四点共面.

=2

（2）；Qe平面AC；,Qe平面BE,Pw平面Ag,Pe平面BE,

平面4G平面BE=PQ.

又AC,平面BE=H,ARe平面A6，Re平面BE,R&PQ.即P、Q、R三点共线.

【例3】已知直线a//b〃c,直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,求证：a、b、c、"四线共面.

证明：因为a//b,由公理2的推论，存在平面a,使得aua,%ua.

又因为直线“与a、b、c分别相交于A、B、C,由公理1,dua.

假设c<za,则ca=C,在平面a内过点C作c'〃》，

因为6〃c,则。〃。'，此与cc'=C矛盾.故直线cue.

综上述，a、b、c、d四线共面.

点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件.此

例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的

一种反证法的思路.

【例4】如图中，正方体ABCD-A向G。，E、F分别是A。、制的中点.

（1）求直线A5和CG所成的角的大小；

（2）求直线A5和EF所成的角的大小.

解：（1）如图，连结。G,"DC^/AB1,

二DC,和CG所成的锐角ZCC,D就是AB1和CG所成的角.

VZCC；Z>45°,/.ABt和CG所成的角是45°.

（2）如图，连结。4卜A/G，

VEF/ZAyD,AB}//DCi，：.NAQG是直线AS和EF所成的角.

a

AAQG是等边三角形，/.ZAtDC}=60,即直线45和EF所成的角是60°.

点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴6

转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易.解题中常借助正方体等

几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路.

第10讲§2.1.3直线与平面、平面与平面位置关系

0学习目标：了解直线与平面的三种位置关系，理解直线在平面外的概念，了解平面与平面的两种位置关系.

0知识要点：

1.直线与平面的位置关系：（1）直线在平面内（有无数个公共点）；（2）直线与平面相交（有且只有一个

公共点）；（3）直线与平面平行（没有公共点）.分别记作：/ua；Ia=P-,IHa.

2.两平面的位置关系：平行（没有公共点）；相交（有一条公共直线）.分别记作a〃£；a/?=/.

0例题精讲：

【例I】己知空间边边形ABC。各边长与对角线都相等，求异面直线AB和所成的角的大小.

解：分别取AC、AD.BC的中点P、M、N连接PM、PN,由三角形的中位线性质知PN〃AB,PM//CD,

于是NMPN就是异面直线AB和CD成的角（如图所示）.

连结MN、DN,设AB=2,：.PM=PN=\.

而AN=DN=G,由MN±AD,AM=\,得MN=&,

.,.MMW/A+NP2,.../MPAfegO。..•.异面直线A8、CD成90。角.

【例2】在空间四边形A8C。中，E、”分别是AB、A。的中点，F、G分别是CB、C。的中点，若AC+8。

=a,AC-BD=b,求EG2+F〃2.

解：四边形EFG”是平行四边形，

EG2+FH2=2（£F2+FG2）=-（AC2+BD2）=-（a2-2b）.

22

【例3】已知空间四边形ABC。中，E、H分别是AB*。的中点,F、G分别是BC、C£）上的点，且红=受=2.

CBCD3

求证：（1）&F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点.

证明：（1）在△AB。和△CB。中，

*/E、H分别是AB和CZ）的中点，/.EH//-BD.

=2

P..CF_CG2

乂•--------——/.FGH-BD.

CBCD3=3

・・・EH//FG.所以,E、F.G、”四点共面.

第11讲§2.2.1直线与平面平行的判定

0学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理

解空间中线面平行的判定，掌握直线与平面平行判定定理，掌握转化思想“线线平行n线面平行”.

0知识要点：1.定义：直线和平面没有公共点，则直线和平面平行.

2.判定定理：平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行.

符号表示为：a（Za,b（^a,a//b^>a//a.图形如右图所示.

0例题精讲：

【例1】已知P是平行四边形ABC。所在平面外一点，E、尸分别为A8、P。的中点，求证：4F〃平面PEC

证明：设PC的中点为G,连接EG、FG.

,/尸为PO中点，.IGF//CDS.GF=-CD.

2

,/AB//CD,AB=CD,E为A3中点，

GF//AE,GF=AE,四边形AEGF为平行四边形.

EG//AF,

又：Afa平面PEC,EGu平面PEC,AF〃平面PEC.

【例2】在正方体ABCQ-A向GQ中，E、F分别为棱BC、G"的中点.求证：EF〃平面88QQ.

证明：连接AC交BD于。，连接。E,则。E〃£»C,OE=~DC.

2

•/DC//DtCi，DC=D|G，尸为。iG的中点，

OE//DtF,OE=DtF,四边形QFEO为平行四边形.EF//DXO.

又；EFcZ平面BBNQ,DQu平面BBQi。，/.EF〃平面

【例3】如图，已知E、F、G、M分别是四面体的棱A。、CD、BD、BC的中点，求证：AM//

平面EFG.

证明：如右图，连结9W,交GF于。点，连结0E,

在ABC。中，G、F分别是3D、CO中点，AGF//BC,

；G为班）中点，；.0为MD中点,

在A4W中，•:E、。为4）、用D中点，AEO//AM,

又•.•加/u平面EFG,EOu平面EFG,4W〃平面EFG.

点评：要证明直线和平面平行，只须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了.注意适当添加辅助

线，重视中位线在解题中的应用.

【例4】如图，己知P是平行四边形A8CD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点.

（1）求证：MW平面BW；（2）若MN=BC=4,PA=4后,求异面直线以与MN所成的角的大小.

解：（1）取PD的中点H,连接由N是PC的中点，

NH/I-DC.由M是48的中点，NH//AM,

~2_

即AMNH为平行四边形.Z.MN//AH.

由W平面AHu平面PA。，/.MN//平面PA。.

（2）连接AC并取其中点为。，连接。M、ON,

：.OMU-BC,ONU-PA,所以NONM就是异面直线PA与MN所成的角，且MOA.NO.由

-2-2

MN=BC=4,PA=4后，得OM=2,0N=2也.

所以NOMW=30°,即异面直线以与MN成30°的角.

点评：已知中点，牢牢抓住中住线得到线线平行，通过线线平行转化为线面平行.求两条异面直线所成角，

方法的关键也是平移其中一条或者两条直线，得到相交的线线角，通过解三角形而得.

第12讲§2.2.2平面与平面平行的判定

0学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理

解空间中面面平行的判定，掌握两个平面平行的判定定理与应用及转化的思想.

0知识要点：面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面

平行.用符号表示为：\=>PHa.

alla,bIIaJ

0例题精讲：

【例1】如右图，在正方体A8C£）—A|81Goi中，M、N、P分别是C|C、B。、GQ的中点，求证：平面

MNP〃平面48D

证明：连结55，：P、N分别是。Ci、BiG的中点，,PN〃B、D\.

又B\D\〃BD,：.PN//BD.

又PN不在平面A|BO上，；.PN〃平面A|BD

同理，MN〃平面AiBD.又PNCMN=N,二平面PMN〃平面A|BD

【例2】正方体ABCD—中.（1）求证：平面AB。〃平面8QC；

（2）若E、F分别是A4，CG的中点，求证；平面EBQ〃平面FBO.

证明：（1）由BiB乜DDi，得四边形BBQQ是平行四边形，

又B£><Z平面B|O|C,BQiu平面BQ|C,〃平面与功仁

同理4。〃平面BQ|C.而...平面〃平面BjCO.

（2）由80〃8］得8。〃平面EBQ1.取中点G,：.AE//ByG.

从而得B1E〃AG,同理GF〃A。.J.AG//DF.：.BXE//DF.

：.DF//平面EBQi.：.平面EBQi//平面FBD.

【例3】己知四棱锥尸-ABCD中，底面ABCO为平行四边形.点M、N、Q分别在出、BD、P。上，且PM：

MA=BN：ND=PQ：QD.

求证：平面MNQ〃平面PBC.

证明：PM：MA=BN：ND=PQ：QD.

：.MQIIAD,NQ//BP,

而BPu平面PBC,NQ平面P8C,；.N。//平面PBC.

又A8CQ为平行四边形，BC//AD,：.MQ//BC,

而BCu平面PBC,MQ<Z平面PBC,/.MQ〃平面P8C.

由MQNQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理，平面仞V。〃平面PBC.

苦心人，天不负，卧薪尝胆，三千越甲可吞吴8

点评：由比例线段得到线线平行，依据线面平行的判定定理得到线面平行，证得两条相交直线平行于一个

平面后，转化为面面平行.一般证“面面平面”问题最终转化为证线与线的平行.

第13讲§2.2.3直线与平面平行的性质

0学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中线面平行的性质，掌握直线和平面

平行的性质定理，灵活运用线面平行的判定定理和性质定理，掌握‘‘线线"''线面”平行的转化.

0知识要点：线面平行的性质：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那

alia

么这条直线和交线平行.即：au/3，=a"b.

a0=b

0例题精讲：

【例1】经过正方体ABCO-AISGOI的棱BBi作一平面交平面AAQQ于E|E,求证：E出〃B】B.

证明：AA,〃,AA,B平面BEE4,BB,u平面BEE再,

A4,//平面

又A4,u平面ADRA，平面A£)RA平面BEEM=E%,

：.AA./ZEE^

A4,//1

则=BB,〃EE、

【例2】如图，ABHa,AC//BD,Cea,Dea,求证：AC=BD.

证明：连结C。，

AC//BD,

二.直线AC和3。可以确定一个平面，记为夕，

VC,Dea,C,D&(3,：.a/3=CD,

VAB//a,ABu。，a/J=CD

：.ABIICD,

又•:AC//BD,

，四边形ACZJB为平行四边形，/.AC=BD.

第14讲§2.2.4平面与平面平行的性质

0学习目标：通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理解空间中面面平行的性质，掌握面面平行的

性质定理，灵活运用面面平行的判定定理和性质定理，掌握“线线”“线面”“面面”平行的转化.

0知识要点：

1.面看平容的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号语言表示为:

all(3,ya=a,y/?=b=>a//b.

2.其它性质：①a〃/,/ua=>〃//；②allf3,l，anl，/3；

③夹在平行平面间的平行线段相等.

0例题精讲：

【例1】如图，设平面a〃平面B,A8、8是两异面直线，M、N分别是43、8的中点，且4、Cda,

B、DGP.求证：MN//a.

证明：连接BC,取BC的中点E,分别连接ME、NE,

则ME〃AC,ME〃平面a,又NE〃B£>,NE//P,

又MECNE=E,：.平面MEN//平面a,:MNu平面MEN,：.MN//a.

【例2】如图，A,B,C,。四点都在平面a,。外，它们在a内的射影A，B”G，5是平行四边形的四

个顶点，在0内的射影A?,B”C2,A在一条直线上，求证：ABCO是平行四边形.

证明：；A,B,C,。四点在。曲的射影A?,B”C”A在一条直线上，

；.A,B,C,。四点共面.

又4,B,C,。四点在a内的射影A"G，Q是平行四边形的四个顶点，

二平面A8BA〃平面CDDG.

：.AB,CQ是平面ABC。与平面ABBA，平面CDD£的交线.

：.AB//CD.同理A£>〃BC.二四边形ABC。是平行四边形.

第15讲§2.3.1直线与平面垂直的判定

0学习目标：以立体几何的定义、公理和定理为出发点，通过直观感知、操作确认、思辨论证，认识和理

解空间中线面垂直的判定，掌握直线与平面垂直的定义，理解直线与平面垂直的判定定理，并会用定义和判定

定理证明直线与平面垂直的关系.掌握线面角的定义及求解.

0知识要点：

1.定义：如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，则直线/与平面a互相垂直，记作/_La./一平

面a的垂线，a一直线/的垂面，它们的唯一公共点P叫做垂足.（线线垂直7线面垂直）

2.判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则这条直线与该平面垂直.符号语言表示为：

若I1.n,〃？C〃=B,mua,naa,则/_La

3.斜线和平面所成的角，简称“线面角”，它是平面的斜线和它在平面内的射影的夹角.求直线和平面所

成的角，几何法一般先定斜足，再作垂线找射影，然后通过解直角三角形求解，可以简述为“作（作出线面角）

一证（证所作为所求）一求（解直角三角形）”.通常，通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜

足的连线是产生线面角的关键.

0例题精讲：

【例1】四面体ABC。中，AC=8£）,E,尸分别为A。,8c的中点，且EF=Y2AC,ZBDC=90,求证：

2

平面ACO.

证明：取C。的中点G,连结EG,FG,尸分别为A£）,8c的中点，EG」,AC,FGU-BD.

22

又=FG」AC,.•.在AE/G中，EG2+FG2=-AC2=EF2,

22

：.EG1FG,：.BD1AC,又NBDC=90,即8£>1CO,ACCD=C,

：.班>_L平面AC。.

【例2】已知棱长为1的正方体ABCO-ABiGA中，E是A8的中点，求直线AE与平面ABCQi所成

的角的正弦值.

解：取CQ的中点F,连接EF交平面ABCQ于O,连AO.

由已知正方体，易知E。J.平面A8GR,所以NE4。为所求.

在R/AEOA中，EO=*F=；削=去,AE=拈）2+1?=与，

.E0710

sinZ.EAO=---=----.

AE5

所以直线AE与平面ABCR所成的角的正弦值为手.

【例3】三棱锥P-ABC中，PA±BC,PBrAC,尸。J•平面ABC,垂足为0,求证：O为底面△ABC

的垂心.

证明：连接。A、OB、OC,,/尸。1平面ABC,；.PO±BC,PO1AC.

又PAVBC,PBVAC,

BC±平面尸AO,AC±平面尸80，得A。_LBC,80_LAC,

/.O为底面△ABC的垂心.

点评：此例可以变式为“已知PA_LBC,P8_LAC,求证PC_LAB”，其思路是接着利用射影是垂心的结论得

到OCJ.AB后进行证明.三条侧棱两两垂直时，也可按同样