江苏省苏州市常熟市九年级（上）期末数学试卷

江苏省苏州市常熟市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填写在答题卷相应位置上.

1.（3分）方程/=3x的解为（）

A.0B.3C.。或-3D.0或3

2.（3分）已知。。的半径为4cm.若点尸到圆心。的距离为3。〃?，则点P（）

A.在。0内

B.在上

C.在。。外

D.与。。的位置关系无法确定

3.（3分）二次函数＞=（x+2）2-1的顶点坐标是（）

A.（2,-1）B.（-2,-1）C.（2,1）D.（-2,1）

4.（3分）一组数据：5、4、3、4、6、8,这组数据的中位数、众数分别是（）

A.4.5,4B.3.5,4C.4,4D.5,4

5.（3分）若二次函数y=-7+3的图象经过点（-3,yi）、（-4,*）,则川、户的大小关

系是（）

A.yi<y2B.yi=y2C.y\>y2D.不能确定

6.（3分）如图，圆锥的底面半径为3Mb高为4cm,那么这个圆锥的侧面积是（)

9

A.IOTCC/WB.15ncmC.20ncm2D.25nc/w

7.（3分）2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设

第一季度的销售额平均每月的增长率为x,可列方程为（）

A.50（1+JC）2=182

B.50(l+2x)=182

C.182(1-x)2=50

D.50+50(1+x)+50(1+x)2=182

8.（3分）如图，4B为。。的直径，点C,。在上.若NCAB=25°,则NO的度数为

D

C.115°D.130°

9.（3分）如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中.点A,B,C,。都在这些小正方

形的格点上，AB,CC相交于点E,贝Isin/AEC的值为（）

A•等B.嚓C.1D.平

10.（3分）抛物线）=0?+法+c（“W0）的部分图象如图所示，抛物线的对称轴是直线x=l,

与x轴的一个交点坐标为（4,0）.下列结论中：①c>a；②2a-6=0：③方程—+法+c

=1（aWO）有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1,0）；

⑤若点A（m,n）在该抛物线上，则其中正确的有（）

A.①③④B.②③④C.①③⑤D.①④⑤

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卷相应位置上.

11.（3分）若乙4为锐角，且tanA=l,则乙4的度数为.

12.（3分）在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是7.68米，方差分

别是S甲2=092（米2）,s乙2=1.12（米2）,则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是.

13.（3分）在一个不透明的袋子中共装有红球、黄球和蓝球320个，这些球除颜色外都相

同.小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验,

算得摸到红球的频率是25%,则估计这只袋子中有红球

14.（3分）将抛物线y=/x2先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到新的抛物线,

则新抛物线对应的函数表达式是.

15.（3分）关于x的一元二次方程7-2x+〃i-3=0有两个实数根，则m的取值范围

是.

16.（3分）如图，四边形AOBC是菱形，点C在以。为圆心0A为半径的窟上，若0A=2,

则源的长为

17.（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线丫=/+,以交x轴的负半轴于点4.点B是

y轴正半轴上一点，点4关于点8的对称点4'恰好落在抛物线上.过点A'作x轴的平

行线交抛物线于另一点C.若点4'的横坐标为1,则A'C的长为.

V

18.（3分）如图，正方形A08C的顶点。在原点，边40,8。分别在x轴和y轴上，点C

坐标为（4,4）,点。是30的中点，点P是边04上的一个动点，连接PZ）,以P为圆

心，PD为半径作圆，设点P横坐标为3当G）P与正方形AOBC的边相切时，f的值

为.

三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写

出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.

19.（5分）解方程：7-3x-2=0.

20.（5分）计算：2sin60°+>/^cos45°-tan30°.

21.（6分）已知关于x的方程f-（jt-1）x+2k=0,若方程的一个根是-4,求另一个根

22.实心球四个训练小队，现将四个训练小队

四个讥除小队人数分布统计图

口男生口女生

（/）学校运动队的队员总人数为..人，扇形统计图中短跑训练小队所对应圆心角

的度数为.

（2）补全条形统计图，并标明数据;

（3）若在短跑训练小组中随机选取2名同学进行比赛，请用列举法（画树状图或列表）

求所选取的这两名同学恰好是一男一女的概率.

23.（7分）如图，公园里有三条笔直的他身步道，两两相交呈三角形，交点为A、B、C.经

测量，点8在点A的正东方向，点C在点A北偏东60°的方向，且在点8北偏东45°

的方向，BC=2声机.小明从C处出发，沿着C-A-8的路径散步.求小明散步的路

24.（7分）如图，二次函数yi='x2-C^—5m）x+3m的图象与一次函数”=履+3（2。）

的图象的一个交点为A,点A的横坐标为-2,另一个交点C在y轴上.

（1）求二次函数的表达式；

（2）当x取何值时，一次函数值大于二次函数值？

（3）将点A绕点C顺时针旋转90°后得到点8,请判断点B是否在该二次函数的图象

25.（8分）某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价为60元时，可

销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件.公司规定：售价不超过70元.

（1）若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元？

（2）若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元？

26.（10分）如图，AB是。。的弦，OPLOA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线

于点C,且CP=CB.

（1）求证：8c是。。的切线；

（2）若0A=5,OP=3,求CB的长；

s

（3）设△AOP的面积是Si,△BCP的面积是S2,且一1=犯.若的半径为4,BP

S29

=殳度，求tan/C8尸.

27.（10分）如图，在RtZ\ABC中，/AC8=90°,点。在A8上，以为直径的。0与

BC相切于点E,与AC相交于点F.连接AE.

(1)求证：AE平分NC4D；

(2)连接。凡交AE于点、G,若。0的直径是12,AE=10,求EG的长;

(3)连接8,若NB=30°,CE=2。求CD的长.

28.(10分)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=a?+bx+c(a#0)的图象与x轴交

于点4(-1,0)、点8(3,0),与y轴交于点C(0,3),连接AC,BC.点P是该二

次函数位于第一象限内图象上的一个动点，过点P作POLx轴，垂足为。，交8c于点

E,过点P作PF〃AC,交x轴于点F,交BC于点G.设点P的横坐标是"葭

(1)求该二次函数的表达式；

(2)连接AE,在点尸运动的过程中，是否存在点E,使aACE是以4C为腰的等腰三

角形？如果存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；

(3)当他为何值时，EG有最大值？

江苏省苏州市常熟市九年级（上）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.请将正确选项前的字母代号填写在答题卷相应位置上.

1.（3分）方程/=3x的解为（）

A.0B.3C.0或-3D.0或3

【解答】解：,••f-3x=0,

.,.x（x-3）=0,

贝x=0或x-3=0,

解得：x=0或x=3,

故选：D.

2.（3分）已知的半径为4c%.若点P到圆心。的距离为3c/n,则点P（）

A.在00内

B.在。。上

C.在外

D.与的位置关系无法确定

【解答】解：..•点P到圆心的距离为3cm,

而。。的半径为4cm,

.•.点P到圆心的距离小于圆的半径，

点P在圆内，

故选：A.

3.（3分）二次函数＞=（x+2）2-1的顶点坐标是（）

A.（2,-1）B.（-2,-1）C.（2,1）D.（-2,1）

【解答】解：•••二次函数y=（x+2）2-I是顶点式，

工顶点坐标为（-2,-1）,

故选:B.

4.（3分）一组数据：5、4、3、4、6、8,这组数据的中位数、众数分别是（）

A.4.5,4B.3.5,4C.4,4D.5,4

【解答】解：把这组数据从小到大排列：3、4、4、5、6、8,

最中间的数是4和5,

则这组数据的中位数是上（4+5）=4.5；

2

4出现了2次，出现的次数最多，则众数是4；

故选：A.

5.（3分）若二次函数y=-/+3的图象经过点（-3,yi）、（-4,”），则yi、”的大小关

系是（）

A.y\<y2B.y\=y2C.y\>y2D.不能确定

【解答】解：

当冗=-3时，y\=-32+3=-6,

当x=-4时，yi=-42+3=-9.

故y\>y2

故选：C.

6.（3分）如图，圆锥的底面半径为3cm,高为4cm,那么这个圆锥的侧面积是（）

B.15nc/nC.20TTCW2D.2511cm2

【解答】解：由于圆锥的底面半径，高，母线组成直角三角形，所以由勾股定理知：母

线/='32+42=5,

圆锥的侧面积S=L(2nr)—nrl=15TTC/„2.

2

故选：B.

7.（3分）2018年某公司一月份的销售额是50万元，第一季度的销售总额为182万元，设

第一季度的销售额平均每月的增长率为x,可列方程为（）

A.50（1+x）2=182

B.50(1+2%)=182

C.182(1-x)2=50

D.50+50(1+x)+50(1+x)2=182

【解答】解：二月份的销售额为：50（1+x）,

三月份的销售额为：50(1+x)(1+x)=50(1+x)2,

故第一季度总销售额为：50+50(1+x)+50(1+x)2=182.

故选：D.

8.(3分)如图，AB为。。的直径，点C,。在OO上.若NC4B=25°,则的度数为

)

【解答】解：如图，连接8C,

为。。的直径，

；.NACB=90°,

VZCAB=25°,

：.ZABC=65°,

二四边形ABCD是圆内接四边形，

；.N£>+/ABC=180°,

-NA8c=115°,

故想C.

.•.NCA£>=NCBO=35°.

故选：C.

9.(3分)如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中.点A,B,C,。都在这些小正方

形的格点上，AB,8相交于点E,则sin/AEC的值为()

A•等B.等C.lD.孚

过A作AFA.CD于F,

在RtZVlDB中，BD=3,A£>=3,由勾股定理得：/1B=Jg2+32=372>

在RtZ\C4£>中，AC=\,AD=3,由勾股定理得：。。=丫12+32=5/75,

由三角形的面积公式得：yXCDXAF=yXACXAD）

百5义4尸=1X3,

解得：4尸=%页，

10

'：AC//BD,

:.XCEAsADEB,

AC=AEI

BDBE)

1=AE

S-3V2-AE'

sinZAEC=竺=2而,

AE5

故选：A.

10.（3分）抛物线>=0?+法+。（4之0）的部分图象如图所示，抛物线的对称轴是直线x=l,

与x轴的一个交点坐标为（4,0）.下列结论中：①c>a；②2a-6=0；③方程^^bx+c

=1QW0）有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-1,0）；

⑤若点A〃）在该抛物线上，则卬/+加j〈a+b.其中正确的有（）

A.①③④B.②③④C.①③⑤D.①④⑤

【解答】解：•••抛物线开口向下，交y轴于正半轴，

.'.67<O,C>0,

••ca,

故①正确；

:-M=1,

2a

•tb-2a,

：.2a+b^0,故②错误；

观察图象可知，抛物线与直线y=l有两个交点，

方程/+次+c=l有两个不相等的实数根，

故③正确；

:抛物线的对称轴x=l,与x轴交于（4,0）,

.•.另一个交点坐标（-2,0）,

故④错误；

•."=1时，函数有最大值，

••♦点A（m,n）在该抛物线上，则<7〃?+b，*+cWa+b+c,

/.sf+brnWa+b,

故⑤正确.

故选：C.

二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.把答案直接填在答题卷相应位置上.

11.（3分）若NA为锐角，且tanA=l,则/A的度数为4为.

【解答】解：•••乙4为锐角，且tanA=l,tan45°=1,

AZA=45°.

故答案为：45°.

12.（3分）在一次跳远训练中，甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是7.68米，方差分

别是S甲2=092（米2）,s乙2=1.12（米2）,则在这次跳远训练中成绩比较稳定的是」

【解答】解：•••甲、乙两人每人5次跳远的平均成绩都是7.68米，S甲2=092（米2）,5

「2=1.12（米2）,

•••S甲2<S乙2,

两名男生中成绩较稳定的是甲;

故答案为：甲.

13.（3分）在一个不透明的袋子中共装有红球、黄球和蓝球320个，这些球除颜色外都相

同.小明每次从中任意摸出一个球，记下颜色后将球放回并搅匀，通过多次重复试验，

算得摸到红球的频率是25%,则估计这只袋子中有红球奠.

【解答】解：设袋中有x个红球.

由题意可得：」-=25%,

320

解得：x=80,

故答案为：80.

14.（3分）将抛物线丫得乂？先向右平移1个单位，再向下平移3个单位后得到新的抛物线，

则新抛物线对应的函数表达式是」三工（x-1）2-3.

2

【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y蒋*2先向右平移1个单位所得抛

物线的解析式为：y=l（x-I）2.

2

由“上力口下减”的原则可知，将抛物线、=工（X-1）2向下平移3个单位所得抛物线的

2

解析式为：y=—（%-1）2-3；

2

故答案是：尸工（X-1）2-3.

2

15.（3分）关于尤的一元二次方程7-2x+，〃-3=0有两个实数根，则〃，的取值范围是m

【解答】解：••・关于x的一元二次方程W-2x+m-3=0有两个实数根，

二△=（-2）2-4X1X（7W-3）=16-4m）0,

解得：

故答案为：

16.（3分）如图，四边形AO8C是菱形，点。在以O为圆心为半径的窟上，若。4=2,

则源的长为

-3-

0

AB

【解答】解：连接。C

・・•四边形AOBC是菱形,

：.OA=AC=2.

•：OA=OC,

AA(?C是等边三角形，

，NAOC=NBOC=60°

...△ACO与△80C为边长相等的两个等边三角形.

，408=120°,

17.(3分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=7+，nx交x轴的负半轴于点A.点B是

y轴正半轴上一点，点A关于点3的对称点A'恰好落在抛物线上.过点A'作x轴的平

行线交抛物线于另一点C.若点A'的横坐标为1,则A'C的长为3.

【解答】解：当y=0时，x2+wx=0,解得xi=0,X2=-m,则A(-m,0),

•••点4关于点B的对称点为A',点A'的横坐标为1,

.,.点A的坐标为(-1,0),

•♦•抛物线解析式为y=7+x,

当x=l时，y=/+x=2,贝!]4'(1,2),

当y=2时，/+x=2,解得xi=-2,X2=l,则C(-2,2),

.MA'C的长为1-(-2)=3.

故答案为3.

18.（3分）如图，正方形A02C的顶点。在原点，边A0,80分别在x轴和y轴上，点C

坐标为（4,4）,点。是80的中点，点户是边0A上的一个动点，连接尸£>,以P为圆

心，为半径作圆，设点P横坐标为f,当G）P与正方形A08C的边相切时，f的值为

【解答】解：；点C坐标为（4,4）,点。是8。的中点，

：.OA=OB=4,。。=工08=2.

2

分OP与AC相切和OP与BC相切两种情况考虑：

①当0P与AC相切时，如图1所示.

•••点P横坐标为/,

：.PA=4-t.

在RtZXOOP中，。。=2,OP=t,PD=PA=4-t,

：.PD2^OD2+OP2,即（4-r）2=22+於，

解得：f=3；

2

②当0P与8c相切时，设切点为E,连接PE,如图2所示.

'：PELBC,AC-LBC,

：.PE//AC.

■:PAHEC,

四边形ACEP为矩形，

：.PE=AC=4,

:.PD=PE=4.

在RtZ^POO中，OP=t,0D=2,PD=4,

：.PD2=OD^+OP2,即42=22+?,

解得：八=2«,〃=-2«（不合题意，舍去）.

综上所述：f的值为•!或2日.

故答案为：&或2«.

2

出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔.

19.（5分）解方程：？-3x-2=0.

【解答】解：：a=l，b=-3,c=-2；

.•.房-4ac=（-3）2-4XlX（-2）=9+8=17；

.“=-b±Vb2-4ac

2a

_3±V17

------,

2__

•v,-3+717.

22

20.（5分）计算：2sin60°+V2cos45°-tan30°.

【解答】解：原式=2X返+&X返-返=2返+1.

2233

21.（6分）己知关于x的方程/-（Jt-1）x+2k=o,若方程的一个根是-4,求另一个根

及女的值.

【解答】解：•.•关于x的方程a-1）》+2后=0的一个根是-4,

A16+4（fc-1）+2k=0,解得％=-2,

•••原方程为f+3x-4=0,解得尤=-4或x=l,

即方程的另一根为1,%的值为-2.

22.（8分）某中学运动队有短跑、长跑、跳远、实心球四个训练小队，现将四个训练小队

队员情况绘制成如下不完整的统计图:

四个训练小队男女生人数统计图四个沙惨小队人数分布统计图

口男生口女生

（/）学校运动队的队员总人数为25人,扇形统计图中短跑训练小队所对应圆心角的

度数为72°；

（2）补全条形统计图，并标明数据；

（3）若在短跑训练小组中随机选取2名同学进行比赛，请用列举法（画树状图或列表）

求所选取的这两名同学恰好是一男一女的概率.

【解答】解：（1）学校运动队的队员总人数为（4+5）+36%=25（人），

扇形统计图中短跑训练小队所对应圆心角的度数为360。x2±2=72°,

25

故答案为：25,72.

（2）长跑中男生人数为25X12%-2=1（人），跳远中女生人数为25-（3+2+1+2+5+4+5）

=3（人），

补全条形图如下:

四个训练小队男女生人数统计图四个训练小队人数分布统计图

口男生口女生

(3)画出树形图为:

女

男男男女

共有20种等可能的结果数,其中恰好为一男一女的结果数为12,

二所选取的这两名同学恰好是一男一女的概率为丝=3.

205

23.(7分)如图，公园里有三条笔直的他身步道，两两相交呈三角形，交点为4、B、C.经

测量，点8在点A的正东方向，点C在点A北偏东60°的方向，且在点8北偏东45°

的方向，8c=2小〃?.小明从C处出发，沿着C-4-8的路径散步.求小明散步的路

程.

【解答】解：如图，作交4B的延长线于H.

在RtZ^BCH中，VZ/7=90°,NCBH=45°,BC=2&,

:.BH=CH=2,

在RtZ\ACH中，；NC4B=30°,

；.AC=2CH=4,AH=ECH=2«,

；.AB=2愿-2,

二小明散步的路程：AC+CB=4+2A/§-2=2+2我(km)

24.(7分)如图，二次函数A-5m)x+3m的图象与一次函数"=履+3(&W0)

42

的图象的一个交点为A,点A的横坐标为-2,另一个交点C在y轴上.

(1)求二次函数的表达式；

(2)当x取何值时，一次函数值大于二次函数值？

(3)将点A绕点C顺时针旋转90°后得到点B,请判断点B是否在该二次函数的图象

：.C(0,3),

把C(0，3)代入yi=*x2-g-5m)x+3m中，得

3=3nt9

・•1,

...二次函数的解析式为：yi=*x2Vx+3；

(2)由函数图象可知，当两函数图象位于A与C两点之间时，一次函数值大于二次函

数值，

...当-2Vx<0时，一次函数值大于二次函数值；

(3)当x=-2时，yi=5-9+3=-1,

(-2,-1),

过8点作BOLy轴于£>,过A点作AELy轴于点E,

VZACB=90°,

AZACE+ZACD=90°,

；NBCO+NB=90°,

：.ZACE=ZB,

在△ACE和△CQB中，

fZACE=ZB

<ZAEC=ZCDB=90°»

AC=CB

A/\ACE^ACDB(AAS),

：.BD=CE=3-(-1)=4,CD=AE=2,

00=3+2=5,

：.B(-4,5),

当x=-4时，yi—20-18+3=5,

...点8在二次函数的图象上.

25.(8分)某公司销售一批产品，进价每件50元，经市场调研，发现售价为60元时，可

销售800件，售价每提高1元，销售量将减少25件.公司规定：售价不超过70元.

(1)若公司在这次销售中要获得利润10800元，问这批产品的售价每件应提高多少元？

(2)若公司要在这次销售中获得利润最大，问这批产品售价每件应定为多少元？

【解答】解：设这次销售中获得利润为W元，售价为x元，依题意得，

W=(60+x-50)(800-25x),整理，得W=-25/+550x+8000

(1)令W=10800得

10800=-25?+550x+8000,

整理得，22x+112=0

解得，xi=8；X2=14

:售价不超过70元.

.'.X2—14(不合题意，舍去)

此时售价为：60+8=68元

故这批产品的售价每件应提高8元.

(2)由题意，

W=-25?+550x+8000

■:a=-25<0

由顶点公式尤=上=—

2a2X25

•.,当x=ll时，售价为60+11=71>70

・'•xW11,

:.当x=10有最大利润，此时利润W=-25x102+550X10+8000=11000

此时定价为：60+10=70元

故这批产品售价每件应定为70元.

26.(10分)如图，A8是。。的弦，OPJ_OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线

于点C,且CP=CB.

(1)求证：BC是的切线；

(2)若OA=5,OP=3,求CB的长；

s

(3)设△AOP的面积是Si,ZiBC尸的面积是S2,且—L二弛.若。。的半径为4,BP

s29

=色区，求tanNC3P.

【解答】(1)证明：连接08,如图，

•：OPLOAf

：.ZAOP=90°,

・・・N4+NAPO=90°,

■:CP=CB,

:./CBP=/CPB,

而NCPB=NAPO,

，NAPO=NCBP,

U：OA=OB,

：.ZA=ZOBAf

：.ZOBC=ZCBP+ZOBA=ZAPO+ZA=90°,

:.OB1BC,

・・・8C是。。的切线；

(2)解：设3C=JG则PC=x,

在RtzXOBC中，O3=OA=5,0C=CP+0P=x+3,

VOB2+BC2=OC2,

.*.52+X2=(X+3)2,

解得X=l,

3

即BC的长为旦；

3

(3)解：如图，作C£)_LBP于。，

,:PC=PB,

25

；NP£>C=NAOP=90°,NAPO=NCPD,

：.丛AOPs/\pcD,

..Si10

*'一二一,

s29

.SAAOP_

••—2—0—>

2APCD§

.OAI=20

CD29

VOA=4,

5

：.tanZCBP=^-=2.

27.(10分)如图，在RtZ\A8C中，NACB=90°，点。在AB上，以AO为直径的。。与

BC相切于点E,与AC相交于点F.连接A£

(1)求证：AE平分/CW；

(2)连接。F,交AE于点G,若。。的直径是12,AE=10,求EG的长；

(3)连接CZ),若NB=30°,CE=2yf3,求CO的长.

E

【解答】证明：（1）连接OE,

\'OA=OE,

：.ZOAE=ZOEA9

•・・BC是OO切线

:.OELBC

；・NOEB=90°,且NAC3=90°

JOE//AC

：.ZCAE=NAEO

:・/CAE=/EAO

・・・AE平分NCAD

(2)连接。E,

VAD是直径

AZAED=90°,

VAD=12,AE=10

•*,D