人教版中考冲刺模拟检测《数学试题》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题

学校班级姓名成绩

一、选择题：（每题3分，满分30分）

1.下列运算正确的是（）

A.-5a+4a=-1B.=a12C.4x-3=xD.（3«）'=6a2

2.下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

D.4个

3.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的

个数可能是（）

A.7个或8个B.7个或8个或9个

C.8个或9个或10个D.9个或D个

4.一组数据6,8,X、14的平均数为12,且y一%=4,则这组数据的中位数为（）

A13B.14C.15D.16

5.在雨地里放置一个无盖的容器，如果雨水均匀地落入容器,容器水面高度h与时间t的函数图象如图所示,

那么这个容器的形状可能是（）

0

A.B.C.D.

p

6.在-9,-3,1,3四个数中，随机取两个数分别作为二次函数了=分2+次+1中。/的值，且该函数的

图象恰好经过第一、二、四象限的概率为（）

7.如图，反比例函数y=-?（x>0）图象经过矩形0ABe边AB的中点E,交边于尸点，连接EF、

0E、0F,则□0EF的面积是（）

1—W72

8.已知关于无分式方程^——2=——的解是非负数，则6的取值范围是（）

x-11-x

A.机45且加力一3B.m25且加片一3C.且加/3D.且m/3

9.已知二次函数y=ac2+bx+c的图象如图所示，则以下结论：①〃历〉0,②26+3。=0,

(3)a-/?+c<0,④5a+2c<0.其中正确的有()

C.3个D.4个

10.某校三年六班举办了“以梦为马，不忘初心”演讲比赛，王老师为鼓励同学们，带了100元钱去购买甲、

乙两种钢笔作为奖品，己知甲种钢笔每支14元，乙种钢笔每支10元，每种钢笔至少买3支，则王老师购买

乙种钢笔的方案有()

A.3种B.4种C.5种D.6种

二、填空题：(每题3分，满分21分)

11.国际劳工组织发布报告称，受新冠病毒影响，全球12.5亿人正面临暂时解雇和工资减少的风险，相当

于劳动人口的38%.其中12.5亿用科学记数法表示为.

12.函数^=-7-+(x—2)中，自变量尤的取值范围是________.

yx+1

13.如图，己知口43。中，A3=AC,点。、E在BC上，要使则只需添加一个适

当的条件是.(只填一个即可)

14.如图，在放UABC中，NB4C=9()。，点A的坐标(0,2)),顶点C在反比例函数y="。＞0)的图象

x

上.若AB=2AC,且3=08,则女=.

15.过正方形A8CO的顶点3作8"〃AC,E是上的一点，且AE=AC,忤CFHAE,交3”于点

F,则NCFE=.

16.直角三角形的两条边的长分别是3cm和4cm,以直角边所在的直线为轴，将三角形旋转一周，所得几

何体的俯视图的面积是.

17.如图，已知直线/：y=Bx，过点4(0,1)作y轴的垂线交直线/于点8,过点5作直线/的垂线交

轴于点4；过点A作了轴的垂线交直线/于点4，过点4作直线/的垂线交了轴于点儿；…；按此作法继

续下去，则点&020的坐标为—

三、解答题：（本题共7道大题，共69分）

18.（1）计算：（―1）2°2°+而_卜_6|+（右_%了一［：）

⑵分解因式：（炉_2,2-2（-2x)-3

19.解方程3d-2x-2=0

20.如图，在RtDCOO中，ZCOD=9Q°,/。=30。，斜边C7）与以AB为直径，。为圆心的半圆相切

于点尸，。。与半圆交于点E,连接PAPE,PA与。C交于点F.

（1）当/8。。=60°时，试判断四边形AOE尸的形状，并证明：

探索与发现：

（2）当A8=6时，求图中阴影部分的面积：

21.2020年春节前夕"新型冠状病毒”爆发.疫情就是命令，防控就是使命，全国各地驰援武汉的医护工作

者，践行医者仁心的使命与担当，舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情

的钢铁长城.如图两幅图是2月9日当天全国部分省市驰援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）.

人数/人

图①图②

请解答下列问题：

（1）①上述省市2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为人；

②请将图①条形统计图补充完整；

（2）请求出图②的扇形统计图中“山西”所对应扇形的圆心角的度数；

（3）本次河北驰援武汉的医护工作者中，有5人报名去重症区，王医生和李医生就在其中，若从报名的5

人中随机安排2人，求同时安排王医生和李医生的概率.

22.A、8两地相距的路程是400千米，快、慢两车同时从两地出发，慢车从8地驶向甲地，中途因故停

车1小时后，继续按原路原速驶向A地；快车从A地驶向B地，在到达B地后，立即按原路原速返回到A

地，在两车行驶的过程中，两车距A地的路程》（千米）与两车行驶时间X（小时）之间的函数图象如图

所示.请结合图象解答下列问题：

（1）求快、慢两车在行驶过程中的速度；

（2）求快车从3地返回A地的过程中，）'与尤的函数解析式；

（3）出发多长时间，两车相距的路程是75千米？（直接写出答案）.

23.综合与实践：折纸中的数学

问题背景

在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片48C。按如图①所示方式折叠，使点C与点4重合，点。落

到。'处，折痕为EF.这时同学们很快证得：△AEF是等腰三角形.接下来各学习小组也动手操作起来，

请你解决他们提出的问题.

操作发现

（1）“争先”小组将矩形纸片A8C。按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分恰好是等边三角形，求

矩形ABC。的长、宽之比是多少？

实践探究

（2）“励志”小组将矩形纸片ABC。沿EF折叠，如图③，使B点落在AD边上的处；沿8'G折叠，使

。点落在。'处，且B'D'过尸点.试探究四边形EFGB'是什么特殊四边形？

（3）再探究：在图③中连接58',试判断并证明△32'G形状.

（：/

图①图②图③

24.综合与探究

如图，已知直线丫=尔+〃与抛物线y=f+笈+。分别相交于A、3两点，4（1,0）,8（0,—3）,点。是

抛物线与x轴另一个交点（与A点不重合）.

（1）求抛物线的解析式及直线）'=如+〃的解析式；

（2）求口儿?。的面积；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M,使口人台“周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出

点M的坐标.

（4）如果对称轴上有一动点“，在平面内是否存在点N,使A、B、H、N四点构成矩形？若存在，直

接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由

答案与解析

一、选择题：（每题3分，满分30分）

1.下列运算正确的是（）

A.-5a+4a=-1B.C.4x-3=xD.（3«）'=6a2

【答案】B

【解析】

分析】

根据合并同类项，幕的乘方的运算法则进行计算即可.

【详解】解：A、-5a+4a=-a,故A错误；

B、（/）=渣,故B正确;

C^4-x—3=4x—3,故C错误；

D、（3。）2=9/,故D错误；

故选：B.

【点睛】本题考查了合并同类项，幕的乘方，掌握运算运算法则是解题关键.

【答案】B

【解析】

试题分析：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心,

旋转180度后两部分重合.①既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；②是轴对称图形，不是中心

对称图形，故错误；③既是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确；④是中心对称图形，不是轴对称图

形，故错误.综上可得共有两个符合题意.故选B.

考点：中心对称图形；轴对称图形.

点评：本题主要考查了轴对称图形及中心对称图形的定义，关键是熟练掌握好中心对称图形与轴对称图形

的概念.

3.由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小正方体的

个数可能是（）

主视BE

A.7个或8个B.7个或8个或9个

C.8个或9个或10个D.9个或10个

【答案】C

【解析】

【分析】

从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的形状和个数，从

而算出总的个数.

【详解】解：由题中所给出的主视图知物体共三列，且左侧一列与中间一列都是最高两层，右侧一列高一

层；由俯视图知底层有6个小正方形，于是，可确定第二层可能有2个或3个或4个小正方形，所以图中的

小正方体的个数可能是8个或9个或10个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考

查.如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案.

4.一组数据6,8,X、y,14的平均数为12,且y-x=4,则这组数据的中位数为（）

A.13B.14C.15D.16

【答案】B

【解析】

【分析】

先根据平均数的计算方法列式求出x,y的值，然后求中位数即可.

【详解】解：•.♦y-x=4,

y=4+x,

6+8+x+4+x+14

A12=----------------------------,

5

解得x=14,

y=4+x=18,

将这组数据从小到大进行排列可得6,8,14,14,18,

故中位数为：14,

故选:B.

【点睛】本题考查了中位数和平均数，求出x和y的值是解题关键.

5.在雨地里放置一个无盖的容器,如果雨水均匀地落入容器,容器水面高度力与时间t的函数图象如图所示,

那么这个容器的形状可能是（）

【答案】B

【解析】

【分析】

根据图象得到高度随时间的增大，高度增加的速度，即可判断.

【详解】解：根据图象可以得到：杯中水的高度h随注水时间t的增大而增大，而增加的速度越来越小，

则杯子应该是越向上开口越大，

故杯子的形状可能是B,

故选：B.

【点睛】此题考查函数的图象，读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程,

能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小.

6.在-9,-3,1,3四个数中，随机取两个数分别作为二次函数卜=℃2+灰+1中。力的值，且该函数的

图象恰好经过第一、二、四象限的概率为（）

1111

A.-B.-C.-D.一

3469

【答案】B

【解析】

【分析】

画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出符合要求的情况，然后根据概率公式求解.

【详解】解：画树状图为:

共有12种等可能的结果数，

•..该函数的图象恰好经过第一、二、四象限，且x=0时，y=l>0,

a>0

：.---->0,

2a

b2-4a>0

a>0,b<0,且bLa）。，

满足要求的情况有3种，即为a=l,b=d）；a=l,b=-3；a=3,b=-9；

31

该二次函数图象恰好经过第一、二、^四象限的概率=刁=7,

故选：B.

【点睛】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合

事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了二次函数的性质.

7.如图，反比例函数y=-（x>0）图象经过矩形0ABe边A8的中点E,交边BC于F点,连接E尸、

X

OE、OF,则口。£户的面积是（）

冲

99117

A.-B.-C.—D.-

2423

【答案】A

【解析】

【分析】

连接OB,首先根据反比例函数的比例系数k的几何意义，得出SAOE=SC8=3,然后由三角形任意一边

的中线将三角形的面积二等分及矩形的对角线将矩形的面积二等分，得出F是BC的中点，则

SBEF=耳SOCF=1・5,最后由SOEF=SAOCB~SAOE~COF~SBEF得出结果.

・・・E、F是反比例函数>=一9(1>0)图象上的点，EA_Lx轴于A,轴于C,

SA0E—SCOF—3,

・・•矩形OABC边AB的中点是E,

一•q°BOE_-qUAOE_-J3，QqBOC_-qAOB-6u，

••,uqBOF—~uqBOC-°qCOF—-6v-3J-—3J'

・・・F是BC的中点，

_19

*e,SOEF~$AOCB~SAOE一ScoF-SBEF=12—3—3——xlx3=—,

故选：A.

【点睛】本题主要考查反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作

垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即5=3|幻，得出点F为BC的中点是解决本题的关键.

1—m2

8.已知关于无的分式方程^------2=——的解是非负数，则6的取值范围是()

x-11-x

A.加45且加H-3B,m25且mH-3C.加W5且加H3D.加25且znH3

【答案】C

【解析】

【分析】

5-mS-m

先求出分式方程的解，由题中已知得到不等式二^20,『我1，求解即可.

22

X-]\—X

l-m-2(x-l)=-2,

1-m-2x+2=-2,

-2x=-2-2-l+m,

-2x=m-5,

5-m

x=-------,

2

由题意得

解得"zW5且zww3.

故选C.

【点睛】本题考查了解分式方程，熟练掌握分式方程的解法，注意增根的情况是解题的关键.

9.己知二次函数y=ac2+Ax+c的图象如图所示，则以下结论：①。历>0,②26+3。=0,

@a-b+c<0,④5a+2c<0.其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】

由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物

线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.

【详解】解：A、•.•抛物线开口方向向下，

a<(),

又对称轴x=---->0,

2a

:.b>Q,

•••抛物线与y轴交与正半轴,

/.c>0,

abc<0,故①错误；

1Q

②根据图示知，对称轴光=———=一，则2）=一3。，

2a4

2b+3a=0,故②正确；

③根据图示知，当x=—1时，y<0,即。一人+c<0,故③正确；

④根据图示知，当x=—1时，y<0,即a-人+c<0,

,3a

b=-----，

2

a—b+c=-----Fc<0,即5a+2c<0,故④正确；

2

综上所述，正确的结论有②③④，共3个，

故选：C.

【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称

轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用.

10.某校三年六班举办了“以梦为马，不忘初心”演讲比赛，王老师为鼓励同学们，带了100元钱去购买甲、

乙两种钢笔作为奖品，已知甲种钢笔每支14元，乙种钢笔每支10元，每种钢笔至少买3支，则王老师购买

乙种钢笔的方案有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

【答案】A

【解析】

【分析】

设甲种钢笔购买了x支，乙种钢笔y支，就可以得出14x+10yW00,x>3,y>3,根据解不定方程的方法求

出其解即可.

【详解】解：设甲种钢笔购买了x支，乙种钢笔y支，由题意，得

l4x+10y<100,即7x+5yW50,

x>3,y>3,

当x=3,y=3时,

7x3+5x3=36V50,

当x=3,y=4时，

7x3+5x4=41<50,

当x=3,y=5时，

7x3+5x5=46<50,

当x=3,y=6时，

7x3+5x6=51>50舍去，

综上所述，王老师购买乙种钢笔的方案共有6利I

故选：A.

【点睛】本题考查了列二元一次不等式解实际问题的运用，分类讨论思想在解实际问题中的运用，解答时

根据条件建立不等式是关键，合理运用分类是难点.

二、填空题：（每题3分，满分21分）

II.国际劳工组织发布报告称，受新冠病毒影响，全球12.5亿人正面临暂时解雇和工资减少的风险，相当

于劳动人口的38%.其中12.5亿用科学记数法表示为.

【答案】1.25X109

【解析】

【分析】

根据科学记数法的表示方法对■数值进行表示即可.

【详解】解：12.5亿=1250000000=1.25X109,

故答案为：1.25X109

【点睛】本题考查了科学记数法，掌握知识点是解题关键.

12.函数丁=亍=+（%-2）°中，自变量x的取值范围是

，X+1

【答案】X>-1且XH2

【解析】

【分析】

根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0,分式的性质，分母不等于0,零指数幕的定义可以求出尤的

范围.

【详解】解：根据题意得：x+l〉0且%一2H0,

解得：x>-l且x/2.

故答案为：x>-1且XH2.

【点睛】考查了函数自变量的取值范围和零指数累的定义，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负.

13.如图，已知口48。中，AB=AC,点。、E在BC上,要使△ABEgZSACD,则只需添加一个适

当的条件是.(只填一个即可)

【答案】BE=CD(答案不唯一)

【解析】

【分析】

此题是一道开放型的题目，答案不唯一，如BE=CD,根据SAS推出即可.

【详解】解：BE=CD,

理由是：VAB=AC,

.*.ZB=ZC,

在^ABEWAACD中，

AB=AC

<ZB=NC,

BE=CD

：./^ABE^/^ACD(SAS),

故答案为：BE=CD.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS,ASA,AAS,SSS,

题目比较好，难度适中.

14.如图，在心DABC中，ZR4C=90°,点A的坐标(0,2)),顶点。在反比例函数y=&(x>0)的图象

X

上.若AB=24C,且0A=08,则左=

【答案】3

【解析】

【分析】

作CH_Ly轴于H.由相似三角形的性质求出点C坐标，进而求出k的值.

【详解】如图，作CH，y轴于H.

VA(0,2),OA=OB,

:.OA=OB=2,

VZBAC=90°,

AZOAB+ZCAH=90°,

VZABO+ZOAB=90°,

.\ZABO=ZCAH,

XVZAOB=ZAHC=90°,

.,.△ABO^ACAH,

.OAOBAB

,9'CH~~HA~~CA~'

ACH=AH=1,

.\OH=OA+AH=3,

：.C(1,3),

k

・・,点C在y=—(x>0)的图象上,

x

k=1x3=3,

故答案为3.

【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的特征，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用

辅助线，构造相似三角形解决问题.

15.过正方形ABC。的顶点3作E是上的一点，且=作CF〃AE,交BH于点、

F,则=.

【答案】150。或30。

【解析】

【分析】

过A作4G，BE于G,设AC、BD交于O,则AGBO是正方形，所以△AEG是直角三角形，又

AG=AO=-AC=-AE,然后根据含30度角的直角三角形的性质即可求解.

22

【详解】解:过A作AGL5E于G,设AC与BD相交于点O,如下图所示：

又；AG±GE],

，

：.ZAEiB=3d,

-CF//AE,

/CFE=150°,4CF\B=30°,

CF{=AC=CF、,

；.CF]=CF2,

../。6与=/。耳6=30°,

ZCFE=150°或ZCFE=30°.

故答案为：150°或30°.

【点睛】本题考查正方形的性质，难度适中，解答本题要充分利用正方形的特殊性质，即对角线互相垂直、

平分、相等.

16.直角三角形的两条边的长分别是3cm和4cm,以直角边所在的直线为轴，将三角形旋转一周，所得几

何体的俯视图的面积是.

【答案】7%或9"或16〃

【解析】

【分析】

分当3和4分别为直角边时和当4为斜边，3为直角边时，两种情况讨论即可.

【详解】当3和4分别为直角边时，

①当绕边长为3的边旋转，俯视图为半径为4的圆，

二俯视图的面积为：4?»=16%；

②当绕边长为4边旋转，俯视图为半径为3的圆，

俯视图的面积为：3?乃=9%；

当4为斜边，3为直角边时，

另一条直角边的长为："2_32=币,

绕边长为3的边旋转时，

...俯视图的面积为:（万）2乃=7%；

故答案为：7）或9）或16".

【点睛】本题考查了圆的面积，勾股定理，三视图，旋转的性质，掌握分类讨论的思想是解题关键.

17.如图，已知直线/：丫=%,过点A（0,l）作y轴的垂线交直线/于点B,过点3作直线/的垂线交y

轴于点4；过点A作y轴的垂线交直线/于点4,过点4作直线/的垂线交y轴于点儿；…；按此作法继

续下去，则点4O2（）的坐标为

【答案】(OY。?。)

【解析】

【分析】

先求出点B的坐标为(石，1),得到OA=1,0B=0,求出/AOB=60。，再求出N04,6=30°得到

A4,=y/3AB=3,求出4(0,4)；同理得到44=4®，44=644=12,A(0,42)；由此得到

规律求出答案.

【详解】将y=l代入y=g尤中得X=石,

AB（6，1）,

/.OA=1,OB=6，

AB/r

tanz^AOB=-----=<3,

OA

AZAOB=60°,

•・•ZAiBO=90°,

・・・N35=30”,

A4,=6AB=3,

OA,=4,

...A（o,4）；

同理：44=46，44=644=12,

2

/.OA2=16=4,

・,・4（0,42）；

...点怎20的坐标为(°，42°2°)，

故答案为：(0,4202。).

【点睛】此题考查图形类规律的探究，一次函数的实际应用，锐角三角函数，根据图形的规律求出点的坐

标得到点坐标的表示规律是解题的关键.

三、解答题：(本题共7道大题，共69分)

18.(1)计算：(―1)202。+灰_1_6|+(石

(2)分解因式：一2x)2-2(f-2x)—3

【答案】(1)-V3-2；(2)(x-3)(x+l)(x-l)2

【解析】

【分析】

(1)分别根据-1的偶次基、算术平方根的定义、实数的绝对值、0指数幕的意义和负整数指数辱的运算法

则计算每一项，再合并即可；

(2)原式先把(V-2x)看作一个整体，利用十字相乘法分解，再分别根据十字相乘法和公式法继续分解.

【详解】解：(1)原式=1+4-(百一1)+1-9=一3-6+1=—6-2；

(2)原式=(一一2%一3)卜2-2X+1)=(X—3)(X+1)(X—1)2.

【点睛】本题考查了实数的混合运算、。指数落的意义、负整数指数基的运算法则以及分解因式等知识，属

于常考题型，熟练掌握上述基本知识是解题的关键.

19.解方程3f—2x-2=0

r免a，、1+\/71—

【答案】X|=———,X2=———

33

【解析】

【分析】

根据公式法即可求解.

【详解】3X2-2X-2=0

a=3,b=-2,c--2

△=b2-4ac=4+4x3x2=28>0

._-b±ylb2-4ac_2±y/2S_l±/i

••X-----------------------------

2a63

.l+币1-V7

故Xl=———,X2=——

33

【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知公式法的运用.

20.如图，在RtDCOO中，/CO。=90°,NO=30°,斜边CD与以AB为直径，。为圆心的半圆相切

于点P,。。与半圆交于点E,连接PAPE,PA与OC交于点F.

(1)当/80。=60°时，试判断四边形AOEP的形状，并证明;

探索与发现：

(2)当48=6时，求图中阴影部分的面积；

【答案】(1)ZBOQ=60°,四边形AOEP为菱形；证明见解析；(2)匝工

22

【解析】

【分析】

(1)连接0P,根据现有条件推出△Q4P与AOPE为等边三角形，然后可得QA=AP=PE=EO,且

ZPAO=60°,即可证明结论；

(2)连接0P,先求出尸。=0P_=36NPOE=60。，然后根据阴影部分的面积

tanAD

S^-PDOP-^—TT-OP2,计算即可.

2360°

【详解】(1)当/8。。=60°时，四边形AOEP为菱形.

证明：连接。P.

D

•.♦CD切半圆于点P,

OPLCD,

又；ND=30。,

/.ZDOP=60°,

又ZBOD=60°,

ZAOP=60°,

,/OE=OP=OA,

：.^OAP与bOPE为等边三角形，

：.OA=AP=PE=EO,且NE4O=60。，

.••四边形AOEP为菱形；

(2)连接。尸.

RtDOP。中，OP」A6=3,ZOPD=90°,ZD=30°,

2

:.PD="_=3百,NPOE=60°,

tanZD

阴影部分的面积@;万.op2=2^—3万.

2360022

【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，切线的性质，等边三角形的性质和判定，扇形的面积，锐角三角

函数，掌握这些知识点灵活运用是解题关键.

21.2020年春节前夕"新型冠状病毒”爆发.疫情就是命令，防控就是使命，全国各地驰援武汉的医护工作

者，践行医者仁心的使命与担当，舍小家，为大家，用自己的专业知识与血肉之躯构筑起全社会抗击疫情

的钢铁长城.如图两幅图是2月9日当天全国部分省市驰援武汉医护工作者的人数统计图（不完整）.

图①图②

请解答下列问题：

（1）①上述省市2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为人；

②请将图①的条形统计图补充完整；

（2）请求出图②的扇形统计图中“山西”所对应扇形的圆心角的度数；

（3）本次河北驰援武汉的医护工作者中，有5人报名去重症区，王医生和李医生就在其中，若从报名的5

人中随机安排2人，求同时安排王医生和李医生的概率.

【答案】⑴①5000；②见解析；⑵21.6°；（3），

【解析】

【分析】

（1）①根据辽宁的人数和所占的百分比求出2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数；

②先求出江苏、浙江和山东所占的百分比，再用整体1减去各省份所占的百分比，求出山西所占的百分比,

再用总人数乘以山西所占的百分比即可补全统计图；

（2）用山西所占的百分比乘以360。即可得出答案；

（3）根据题意画出树状图得出所有等情况数和同时安排王医生和李医生的情况数，然后根据概率公式即可

得出答案.

【详解】解：（1）①2月9日当天驰援武汉的医护工作者的总人数为黑=5000（人），

958

②江苏所占的百分比是：——X100%=19.16%；

5000

797

浙江所占的百分比是：——X100%=15.94%；

5000

695

山东所占的百分比是：——X100%=13.9%；

5000

则山西所占的百分比是:1-19.16%-7%-6%-6%-6%-13.9%-15.94%-20%=6%,

山西的人数是5000X6%=300（人），补图如下：

故答案为：5（X）0；

（2）“山西”所对应扇形的圆心角的度数是360°X6%=21.6°；

（3）这5名医护工作者分别用1,2,3,4,5表示，其中王医生用1表示，李医生用2表示，根据题意画

图如下：

共有20种等情况数，其中同时安排王医生和李医生的有2种，

则同时安排王医生和李医生的概率是..

【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符

合事件A或B的结果数目m,然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了统计图.

22.A、8两地相距的路程是400千米，快、慢两车同时从两地出发，慢车从3地驶向甲地，中途因故停

车1小时后，继续按原路原速驶向A地；快车从A地驶向8地，在到达8地后，立即按原路原速返回到A

地，在两车行驶的过程中，两车距A地的路程了（千米）与两车行驶时间X（小时）之间的函数图象如图

（1）求快、慢两车在行驶过程中的速度;

(2)求快车从8地返回A地的过程中，y与X的函数解析式；

(3)出发多长时间，两车相距的路程是75千米？(直接写出答案).

57

【答案】(1)快车：100千米/时；慢车：50千米/时；(2)y=-100x+800;(3)当两车行驶5小时或x=

1117

小时或x=一小时或x=一小时时，两车相距75千米.

22

【解析】

分析】

(1)根据图象，找出对应的时间与路程求得答案即可；

(2)由(1)的结论可以求出点。的坐标，待定系数法求出解析式；

(3)根据(2)的结论，由待定系数法求出求出直线OC和直线5。的解析式，再由一次函数与一元一次

方程的关系建立方程就可以求出结论.

【详解】解：(1)•••快车从甲地驶向乙地，在到达乙地后，立即按原路原速返回到甲地，

二快车8小时行驶800千米，

.•.快车在行驶过程中的速度为：800-8=100(千米/时).

♦.•慢车从乙地驶向甲地，中途因故停车1小时后，继续按原速驶向甲地共用9小时，

慢车8小时行驶400千米，

••・慢车在行驶过程中的速度为：400+8=50(千米/时)；

(2)如图点。坐标为(4,400),

设y与龙的函数解析式均。=丘+匕，代入点(8,0),C(4,400),

0=8%+8

400=4%+/?

4=-100

"\b=800'

解析式为YCD=-lOOx+800,

(3)设%8=入+0，代入点(2,350),(9,0)求得解析式为力)8=-50刀+450，

设京，代入点0(4,400),求得解析式为y0c=100x,

57

由题意得-50x+450-100x=±75,解得x=—或x=-

22

1117

-50x+450-(-100x+800)=75,解得x=—或x=—；

22

571117

也就是当两车行驶一小时或x=—小时或》=一小时或》=一小时时，两车相距75千米.

2222

【点睛】此题考查一次函数的实际运用，利用待定系数法求得函数解析式，进一步利用行程问题的基本数

量关系解决问题.

23.综合与实践：折纸中的数学

问题背景

在数学活动课上，老师首先将平行四边形纸片ABC。按如图①所示方式折叠，使点C与点A重合，点。落

到处，折痕为£凡这时同学们很快证得：AAE尸是等腰三角形.接下来各学习小组也动手操作起来，

请你解决他们提出的问题.

操作发现

(1)“争先”小组将矩形纸片A8C。按上述方式折叠，如图②，发现重叠部分△4EF恰好是等边三角形，求

矩形ABC。的长、宽之比是多少？

实践探究

(2)“励志”小组将矩形纸片A8C。沿EF折叠，如图③，使8点落在AD边上的夕处；沿*G折叠，使

。点落在。'处，且夕D,过产点.试探究四边形EFG夕是什么特殊四边形？

(3)再探究：在图③中连接8B',试判断并证明ABB'G的形状.

C

图①困②图③

【答案】(1)矩形ABCO的长、宽之比为6；(2)四边形EFGB'是平行四边形，理由详见解析；(3)Z\BB'G

为直角三角形，理由详见解析.

【解析】

【分析】

(1)矩形ABC。的长、宽之比应是设=根据等边三角形的性质可得出NE4/=60。，根据

矩形的性质可得出NBAD=N4BE=90。，NBAE=30°,再根据特殊角的三角函数值即可得出AE=2。，

AB=#)a，结合边与边之间的关系即可得出=

AB

(2)四边形QEFG是平行四边形.根据矩形的性质可得出AO//BC,从而得出相等的内错角

“ZREF=ZBFE,NEB'F=NGFB',NDB'G=NFGB”,再由翻折的性质可得出NB在：="庄，

NDB'G=NFB'G,由此即可得出NQFE=NFQG,从而找出B'E//尸G,由两组对边互相平行即可证出四

边形夕EFG是平行四边形；

(3)489G为直角三角形.连接8夕交EF于点M,根据平行线的性质可得出473=56,由翻折

的性质可得出跖=8尸，从而可得出N印5=4归5,再由等腰三角形的性质可得出N8MF=90。，根据

平行线的性质即可得出NB*G=N8M尸=90。，由此即可证出△B*G为直角三角形.

【详解】解：(D矩形ABCO的长、宽之比应是也.

证明：设=

•・・\AEF等边三角形，

ZEAF=60°,

・・•四边形ABCO为矩形,

/./BAD=ZABE=90°,NBAE=/BAD-NEAF=30°.

在RlAABE中，ZABE=90°,ZBAE=30°,BE=a,

BECABE/T

AE=2a,AB=------------=<3a,

sinZBAEtanZ.BAE

・・・AE=EC,

.BC=BE+EC=3af

.8c3a

.刘一甚一®.

(2)四边形朋EFG是平行四边形.

证明：•••四边形ABC。为矩形,

AD//BC,

；"EF=ZBFE,NEB，F=NGFB\ZDB'G=Z.FGB'.

由翻折的特性可知：ZBFE=ZBFE,NDB，G=NFB，G,

ZBEF=ZBFE,NFB'G=AFGB',

又,：NEB，F=ZGFB',

NB'FE=ZFB'G,

EF//B'G,

又B'EHFG,

：.四边形B'EFG是平行四边形.

(3)△BB，G为直角三角形.

证明：连接89交EE于点M,如图所示.

AAf

4E；p

\

>**:\

By7GC

八./

C,

vADIIBC,

:.ZEBB=ZFBB，

•;BF=BF,

:.ZFBB=ZFBB,

:.ZEBB=ZFBB.

-,-ZBEF=ZBFE,

，△9EF为等腰三角形，

:.BMYEF，

NAM尸=90°.

•:EF//B'G,

NBB，G=ZBMF=90°,

为直角三角形.

【点睛】本题考查了翻折变换、平行线的性质、平行四边形的判定定理、特殊角的三角函数值、矩形的

性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：(1)求出生的值；(2)证出EF//QG；(3)证出

AB

NBB，G=NBMF=90。.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质找出相等

的角是关键.

24.综合与探究

如图，已知直线^=见+〃与抛物线y=f+bx+c分别相交于A、8两点，4(1,0),8(0,-3),点。是

抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合).

（1）求抛物线的解析式及直线y=s+〃的解析式；

（2）求DABC的面积；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点使口4a0周长最短？若不存在，请说明理由；若存在，求出

点M的坐标.

（4）如果对称轴上有一动点H,在平面内是否存在点N,使A、B、H、N四点构成矩形？若存在，直

接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由

【答案】（1）y=3x—3,y=x2+2x-3-,（2）6；（3）存在点M使口ABM周长最短，其坐标为（一1,一2）；

（4）存在，^0,—j,2,——j,（2,-1）,（2,-2）

【解析】

【分析】

（1）把A、3两点的坐标分别代入抛物线y=f+陵+。和直线y=+〃中，解之即可;

（2）由图可知，SABC^^AC-OB,所以只需求出AC,OB的长即可，因为C点为抛物线与x轴的一个

交点，令y=0即可求出C点坐标，根据已知可得A点坐标，从而得到AC的长，根据已知得到B点坐标，

可得OB的长，从而求出口人区。的面积；

（3）由题意知,A、C关于对称轴对称，则可知MA=,故当8、"、C三点在同一条直线上时MB+MC

最小，此时DABM的周长最小，连接BC交对称轴于点则M即为满足条件的点，设直线8C的解析

式为、=区+机，将B,C的坐标代入即可求出该解析式，令x=-l,即可求出点M的坐标；

（4）在平面内是否存在点N,使A、B、H、N四点构成矩形，求N点坐标时，需分情况讨论，当HB_LAB

时，根据互相垂直的两直线的斜率之积为-1,互相平行的两直线的斜率相等求出直线HB,直线HN,直线

AN的解析式，根据N点为直线HN