2021春人教版九年级数学下册 第27章 教学设计

27.3.2平面直角坐标系中的位似

一、教学目标

1.巩固位似图形及其有关概念.

2.会用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换，掌握把一个图形按一定大小

比例.放大或缩小后，点的坐标变化的规律.

3.了解四种变换(平移、轴对称、旋转和位似)的异同，并"能在复杂.图形中找

出这些变换.

二、重点、难点

1.重点：用图形的坐标的变化来表示图形的位似变换.

2.难点：把一个图形按一定大小比例放大或缩小后，点的坐标变化的规律.

3.难点的.突破方法

(L)相似与轴对称、平移、旋转一样.，也是图形之间的一个基本变换，因此一

些特殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示..

(2)带领学生共同探究出位似变换中对应点的坐标的变化规律：在平面直角坐

标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点

的坐标的比等于k或-k..

(3)在平面直角坐标系中，用图形的座标的变化来表示图形的位似变换的关键

是要确定位似图形各个顶点的坐标，而不同方法得到的图形坐标是不同的.如：

已知:AABC三个顶点坐标分别为A(1,3),B(2,0),C(6,2),以点0为位似中心，

相似比为2,揩Z\A13c放大，根据前面(2)总结的变化规律，点A的对应点A'

的坐标为(1X2,3X2),即A'(2,6),或点A的对应点A''的坐标为(IX(-2),

3X(-2)),即A''(-2,-6).类似地”可以确定其他顶点的坐标.

(,4)本节课的最后要给学生总恪吉(或让学生自己总结)平移、轴对称、旋转和

位似四种变换的异同：图形经过平移、旋转或轴对称的变换后，虽然对应位置改

变了，但大小和形状没有改变，即两个图形是全等的；而图形放大或缩小(位似

变换)之后.是相似的.并让学生练习在所给的图案中，找出平移、轴寸称、旋

转和位似这些变换.

三、例题的意图.

本节课安排了两个例题，例1是教材P63的例题，它是在引导学生寻找出位.似变

换中对应点的坐标的变化规律后的一个用图形的坐标的变化来表示图形的位似

变换的题目，其目的是巩固新知识，帮助学生加深理解用图形。的坐标的变化来

表示图形的位似变换知识，此题目应让学生用不同方法作出图形.例2是教材P64

的一.个问题，它是“平移、轴对称、旋转和位似”四种变换的一个综合题目，

所给的图案由于观察的角度不同，答案就会不.同.，因此应让学生自己来回答，

并在顺利完成这个题目基础上，让学生自己总结出这四种变换的异同.

四、课堂引入

1.如图“△ABC三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2).,(1)将AABC

向左平移三个单位得到△ABC”写出&、Bi、G三点的坐标；

(2)写出AABC关于x轴对称的Aft2的C2三个顶点A?、B?、C?的坐标；

(.3)将AABC绕点。旋转180°得到AA363c3,写出&、B：,、C三点的坐标.

2*.在前面几册教科书中，我们学.习了在平面直角坐标系.中，如何用坐标表示某

些平移、轴对称、旋转(中心对称)等变换，相似也是一种图形的变换，一些特

殊的相似(如位似)也可以用图形坐标的变化来表示.

3.探究：

(1)如图，在平面直角坐标系中，有.两点A(6,3),B(6,0).以原点0为位似中

心，相似比为，把线段AB缩小.观察对应点之间坐标的变化，你有什么发现？

(2)如图,/XABC三个顶点坐标分别为A(2,3),B(2,1),C(6,2),以点①为位

似中心，相似比为2,将AABC放大，观察对应顶点坐标的变化，你有什么发现？

【归纳】位似变换中对应点的坐标的.变化规律：在平面直角坐标系中，如果位

似变换是以原点为位似中心，相似此为k,那么位.似图形对应点的坐标的比等

于k或-k.

五、例题讲解

例1(教材P63的例题)

分析：略(见教材P63的例题分析)

解：略(.见教材P63的例题解答)

问：你还可以得到其他图形吗？请你自己试一试！

解法二：点A的对应点A''的坐标为(-6X,6X)，即A''(3,-3).类

似地，可以确定其他顶点的坐标.(具体解法与作图略)

例2.(教材P64)在右图所示的图案中“你能找出,平移、轴对称、旋转和位似这

些变换吗？.

分析：观察的角度不同.，答案，就不同.如：它可以看作是一排鱼顺时针旋转

45°角，连续旋转八次得到的旋转图形；它还可以看作位似中心是图形的正中心，

相似比是4：3：2：1的位似图形，…….

解：答案不惟一，略.

六、课堂练习

1.教材

2.AABO的定点坐标分别为A(-1,4),B(3,2),0(0,0),试将△ABO放大为△EFO,

使△EFO与aABO的相似比为2.5：1,求点E和点F的坐标.

3.r如图，^AOB缩小后得到观察变化前后的三角形顶点，坐标发生了

什么变化，并求出其相似比和面积比.

七、课后练习

1.请用平移、轴对称、旋转和位似这四种变换设计.一种图案（选择的变换不限）.

2.如图，将图中的△ABC,以A为位似中心，放大到1.5倍，请画出图形，并指出

三个顶点的坐标所发生的变化.

27.3.1位似图形

一、教学目标

1.了解位似图形及其有关概念，了解位似与相似的联系和区别，掌握位似图形

的性质.

2.掌握位似图形的画法，能够利用作位似图形,的方法将一个.图形放大或缩小.

二、重点、难点.

1.重点：位似图形的有关概念、性质与作图.

2.难点：利用位似将一个图形放大或缩小.

3.难点的突破方法

（.1）位似图形：如果两个多边形不仅相似，.而.且对应顶点的连线相交于一点，

.那么这样.的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称

为位似比.

（2）掌握位似图形概念，需注意：①位似是一种具有位置关系的相似”所以两

个图形是位似图形，必。定是相似图形，而相似图形不一定是位似图形；②两个

位似图形的位似中心只有一个；③两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可

能位于位似中心的一侧；④位似比就是相似比•,利用位似图形的定义可判断两

个图形是否位似.

（3）位似图形首先是相似图形，所以它具有相似图形的一切性质.位似图形是

一种特殊的相■似图形，它又具有特殊的性质，位似,图形上任意一对对应点到位

似中心的距离等于位似比（相似比）.

（4）两个位似图形的主要特征.是：每对位似对应点与位似中心共线；不经过位

似中心“的对应线段平行.

（5）利用位似，可以将一个图形放大或缩小，其步骤见下面例题乍图时要注

意:①首先确定位似中心，位似中心的位置可随意选择；②确定原图形的关键点,

如四边形有四个关键点，即它的四个顶点；③确定位似比，根据位似比的取值，

可以判断是将一个图形放大还是缩小；④符合要求的图形不惟一，因为所作的

图形与所确定的位似中心的位置有关（如例2）,并且同一个位似中,心的两侧各

有一个符合要求的图形（如例2中的图2与图3）.

三、例题的意图

本节课安排了两个例题，例1是补充的一个例题，通过辨别位似图形，巩固位

似图形的概念，让学生理解位似图形必须满足两个条.件：（1）两个图形是相似

图形；（2）两个相似图形每对对应点所在的直线都经过同一点，二者缺一不可.例

2是教材P61例题，通过例2的教学，使学生掌握位似图形的画法，能够利用作

位似图形的方法将一个图形放大或缩小.讲解例2时，要注意引导学生能够用不

同的方法画出所要求作的图形，要让.学生通过作.图理解符合要求的图形不惟一，

这和所作的图形与所确定的位似中心的位置有关（如位似中心0可能选在四边形

ABCD外，可能选在四边形ABCD内，可能选在四边形ABCD的一条边上，可能选

在四边形ABCD的一个顶点上）.并且同一个位似中心的两侧各,有一个符,合要求

的图形（如例2中的图2与图3）,因此，位似中心的确定是作出图形的关键.要

及时强调注意的问题（见难点的突破方法④），及时总结作图的步骤（见例2）,

并让学生练习找.所给图形的位似中心的题目（如.课堂练习2）,以使学生真正掌

握位似图形的概念与作图.

四、课堂引入.

1.观察：在日常生活中，我们经常见到下面所给的这样一类相似的图形，它们

有什么特征？

2.问：已知：如图，多边形ABCDE,把它放大为原来的2倍，即新图与原图的

相似比为2.应该怎样做？你能.说出画相似图形的L种方法吗？

五、例题讲解

例1（,补充）如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图

形，请指出淇位似中心.

分析：位似图形是特殊位置上的相似图形，因此判断两个图形是否为位似图

形，首先要看这两个图形是否相似，再看对应点的连线是否都经过同一点，这两

个方面缺一不可.

解：图（1）、（2）和（4）三个图形中的两个图形都是位似图形，位似中心

分别是图（1）中的点A,图（2）中的点P和图（4）中的点0.（图（3）中的

点0不是对应点连线的交点，故图.（3）不是位似图形，图（5）也不是位似图

形）

例2（教材P61例题）把图1中的四边形ABCD缩小到原来的.

分析：把原图形缩小到原来的，也就是使新图形上各顶点到位似中心的距离

与原图形各对应顶点到位似中心的距离之比为1：2.

作法一：(1)在四边形ABCD外任取一点0；

(2)过点。分别作射线0A,OB,QC,0D；

(3)分别在射线0A,OB,0C,0D上取点A'、B'、C'、”,使得；

(4)顺次连接A'B'、B'C'、CD，、D'A',得到所要画的四边形

A'B/CD',如图2.

问：此题目还可以如何画出图形？

作法二：(1)在四边形ABCD外任取一点0；

(2)过点。分别作射线0A,OB,0C,0D；

(3)分别在射线0A,OB,0C.,0D的反向延长线上取点A'、B，、C'、D',

使得；

(4)顺次连接A'B，、B'C'、CD'、D'A',得到所要画的四边形

A'B'CD',如图3.

作法三：(1)在四边形ABCD内任取一点(X；

(2)过点。分别作射线0A,OB,0C,0D；

(3)分别在射线0A,OB,0C,0D上取点A'、B'、C'、D',

使得；

(4)顺次连接A'B「、B'C'、CD'、D'A',得到所要画的四边形

A'B'CD',如图4.

(当点0在四边形ABCD的一条边上或在四边形ABCD的一个顶点上时，作法略

——可以让学生自己完成)

六、课堂练习

1.教材P61.1、2

2.画出所给图中的位似中心.

3.把右图中的五边形ABCDE扩大到原来的2倍.

七、课后练习

1.已知：如图，△ABC,画aA'B'C,

"使AA'B'C-AABC,且使相似比为1.5,要求

(1)位似中心在aABC的外部；(2)位似中心在aABC的内部；(3)位似中

心在△ABC的一条边上；

(4)以点C为位似中心.

27.1.2相似多边形

一、教学目标

1.知道相似多边形的主要特征，即：相似多边形的对应角相等，对应边的比相

等.

2.会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用其性质进行相

关的计算.

二、重点、难点

1.重点：相似多边形的主要特征与识别.

2.难点：运用相似多边形的特征进行相关的计算.

3.难点的突破方法

（1）判别两个多边形是否相似，要看这两个多边形的对应角是否相等，且对应

边的比是否也相等，这两个条件缺一不可；可以以矩形、菱形为例说明：仅有对

应角相等，或仅有对应边的比相等的两个多边形不一定相似（见例1）,也可以

借助电脑直观演示，增加效果，从而纠正学生的错误认识.

（2）由相似多边形的特征可知，如果已知两个多边形相似，就等于知道它们的

对应角相等，对应边的比相等（对应边成比例），在计算时要能灵活运用.

（3）相似比是一个很重要的概念，它实质是把一个图形放大或缩小的倍数（即

相似多边形的对应边的长放大或缩小的倍数）.

三、例题的意图

本节课安排了3个例题，例1与例3都是补充的题目，其中通过例1的学习，

要让学生了解判别两个多边形是否相似，要看这两个多边形的对应角是否相等，

且对应边的比是否也相等，这两个条件缺一不可；而若说明两个多边形不相似，

则必须说明各角无法对应相等或各对应边的比不相等，或举出合适的反例，在解

决这个问题上，依靠直觉观察是不可靠的；例2是教材P39的例题，它主要考查

的是相似多边形的特征，运用相似多边形的对应角相等，对应边的比相等即可求

解；例3是相似多边形特征的灵活运用（使用方程思想）的题目，在教学中还可

根据自己的学生学习的程度，适当增加一些题目用以巩固相似多边形的性质.

四、课堂引入

1.如图的左边格点图中有一个

四边形，请在右边的格点图中

画出一个与该四边形相似的图形.

2.问题：对于图中两个相似的四边形，它们的对应角，对应边的比是否相等.

3.【结论】：

（1）相似多边形的特征：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等.

反之，如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，那么这两个多边形

相似.

（2）相似比：相似多边形对应边的比称为相似比.

问题：相似比为1时，相似的两个图形有什么关系？

结论：相似比为1时，相似的两个图形全等，因此全等形是一种特殊的相似

形.

五、例题讲解

例1（补充）（选择题）下列说法正确的是（）

A.所有的平行四边形都相似B.所有的矩形都相似

C.所有的菱形都相似D.所有的正方形都相似

分析：A中平行四边形各角不一定对应相等，因此所有的平行四边形不一定

都相似，故A错；B中矩形虽然各角都相等，但是各对应边的比不一定相等，因

此所有的矩形不一定都相似，故B错；C中菱形虽然各对应边的比相等，但是各

角不一定对应相等，因此所有的菱形不一定都相似，故C也错；D中任两个正方

形的各角都相等，且各边都对应成比例，因此所有的正方形都相似，故D说法正

确，因此此题应选D.

例2（教材P39例题）.

分析：求相似多边形中的某些角的度数和某些线段的长，可根据相似多边形

的对应角相等，对应边的比相等来解题，关键是找准对应角与对应边，从而列出

正确的比例式.

解：略

例3（补充）

已知四边形ABCD与四边形ABCD相似，且A.B,:B.C,:CD:D,A,=7:8:11:14,

若四边形ABCD的周长为40,求四边形ABCD的各边的长.

分析：因为两个四边形相似，因此可根据相似多边形的对应边的比相等来解

题.

解：•••四边形ABCD与四边形ABCD相似，

AB:BC:CD:DA=AB:B£:CD:DA・

AIBI：BICI：CIDI：DIAI=7:8:11:14,

AB:BC:CD:DA=7:8:11:14.

设AB=7m,则BC=8m,CD=llm,DA=14m.

,/四边形ABCD的周长为40,

7m+8m+llm+14m=40.

/.m=l.

AB=7,则BC=8,CD=1LDA=14.

六、课堂练习

1.教材P40练习2、3.

2.教材P41习题4.

3.（选择题）AABC与4DEF相似，且相似比是2,则^DEF与AABC与的相似

3

比是（）.

A.2-B.3-C.-2D.-4

3259

4.（选择题）下列所给的条件中，能确定相似的有（）

（1）两个半径不相等的圆；（2）所有的正方形；（3）所有的等腰三角形；（4）

所有的等边三角形；（5）所有的等腰梯形；（6）所有的正六边形.

A.3个B.4个C.5个D.6个

5.已知四边形ABCD和四边形ABCD相似，四边形ABCD的最长边和最短边的长

分别是10cm和4cm,如果四边形ABCD的最短边的长是6cm,那么四边形A.B.C,D,

中最长的边长是多少？

七、课后练习

1.教材P41习题3、5、6.

2.如图，AB〃EF〃CD,CD=4,AB=9,若梯形CDEF与梯形

EFAB相似,求EF的长.

X3.如图，一个矩形ABCD的长AD=acm,宽AB=bcm,E、

F分别是AD、BC的中点，连接E、F,所得新矩形ABFE与原

矩形ABCD相似，求a:b的值.（收：1）

B

教学反思

27.2.8相似三角形的性质

广》教学目标

【知识与技能】

1.理解并掌握相似三角形及相似多边形的周长和面积性质；

2.能够运用相似三角形及相似多边形的周长和面积性质解决相关问题.

【过程与方法】

经历将多边形问题转化为三角形问题进行探究的过程，进一步增强学生领会

转化的思想方法.

【情感态度】

通过对性质的发现和论证过程,感受数学活动中充满着探索，提高学习热情,

增强探究意识.

【教学重点】

理解并能运用相似三角形及相似多边形的周长和面积性质.

【教学难点】

探索证明相似多边形面积性质的过程.

"教学国程

一、情境导入，初步认识

问题（1）如果44?844£。，则它们之间有哪些性质？

（2）如果两个多边形相似，那么这两个多边形又有怎样的性质呢？不妨说说

看，并与同伴交流.

【教学说明】以上两个问题可由学生口答，既是对前面学过知识的回顾，又

是学习相似三角形及相似多边形的性质的铺垫.教师在学生回答过程中，在黑板

ABBCAC,

上可写出关系式：（1）_________________lh\-

AB'B'CA'C'

（2）Ak=Ak==2鼻=上A=々，为后面证明相似三角形及相似多

A-；A；44

边形周长的比作准备.）

二、思考探究，获取新知

问题1你能根据刚才的性质探索出相似三角形和相似多边形周长之间各有

怎样的特征？

【教学说明】让学生依据黑板上所给出的两个等式来探索新的结论，在学生

自主探索过程中，教师应在黑板上画出能够相似的aABC和aABC,及相似的多边

BE

及B；

形44…“4,和多边形444',如下图(1)(2)所示:

最后师4(1)索出结论，并给出证明过才(2)

性质相似三角形周长之比等于相似比;

相似多边形周长之比等于相似比.

问题2如图，相似比为k且AD,AD分别是△ABC

与△A'8'C'对应边长的高线，求半的值，并说明理由.

A'D'

问题3如图，△ABCs△AB'C',相似比为k则△ABC与△AB'C'的面积

之间有什么关系，说说你的理由.

【教学说明】问题2为解决问题3作好了铺垫.教师可让学生自主探究问题

2的结论，得出相似三角形对应高线之比等于相似比的结论.这里既要用到相似

三角形性质又要用到相似三角形的判定，教师要作好诱导.由问题2的解决来探

索问题3就顺理成章了.

1.相似三角形对应高线之比等于相似比.

2.相似三角形面积之比等于相似比的平方.

问题4如图，四边形A8C。与四边形

A9CD,相似比为k那么它们的面积

之比又如何？谈谈你的看法.

【教学说明】可先让学生在小组中进行交流,

尽量找出解决问题的方法，与此同时，教师可设置

以下问题来帮助学生：你能直接表示出图中两个四边形的面积吗？如果不能，是

否可连接对角线AC和AC,,用三角形的面积来表示四边形的面积呢？这样设问

起到画龙点睛作用，问题便迎刃而解，最后教师可在黑板上展示说理过程，从而

得出：相似四边形面积的比等于相似比的平方.

问题5类似地，相似多边形面积之比是否也等于相似比的平方呢？

【教学说明】引导学生将两个相似多边形用类似于问题4的方法转化成若干

个三角形，从而得出结论.

相似多边形面积之比等于相似比的平方.

三、运用新知，深化理解

1.判断：

(1)一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个三角形的周长也扩大为

原来的5倍.()

(2)一个四边形的各边长扩大为原来的9倍，它的面积扩大为原来的9倍.

()

2.△ABC△A'B'C,它们的周长分别为60和72,且AB=15,BT5=24,

试求BC,AC,A'B',AC的长.

3.在一张复印出来的纸上，一个多边形的一条边由原图中2cm变成了6cm,

这次复印的放缩比例是多少？这个多边形的面积发生了怎样的变化？

4.如图，在AABC和ADEF中，AB=2DE,AC=2DF,NA=ND,△ABC的周长

为24,面积为12百，求4DEF的周长和面积.

【教学说明】所选四道小题都可直接运用相似三角形和相似多边形的周长与

面积性质进行判断说明，难度不大，学生可自主完成，教师巡视，发现问题，及

时指导，让每个学生都学有所得.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作

业中本课时的“名师导学”部分.

【答案】1.(1)V(2)X2.BC=20,AC=25,A'B'=18,A'C'=30.

3.这次复印的放缩比例是1:3,这个多边形的面积放大了9倍.

4.解：VAB=2DE,AC=2DF,

.M一丝_?

又•・・NA=/D・・・・AABCcoADEF.

•S乙ABC_/ABy=4_AB__,

又；S△皿=12而,以谢=24.

S&I,EF=3V5，CADEF=12.

四、师生互动，课堂小结

1.在探索相似多边形面积之比等于相似比的平方时，采用了怎样的思想方

法，谈谈你的认识.

2.请总结一下相似三角形和相似多边形的性质.

课后作业

1.布置作业：从教材P5-56习题27.2中选取.

2.课外思考：

(1)蛋糕店制作两种圆形蛋糕，一种半径是15cm,一种半径是30cm,如果半

径为15cm的蛋糕够2个人吃，那么半径为30cm的蛋糕，够几个人吃(假设两种

蛋糕的高度相同)？八/

(2)如图，在AABC中，DE〃FG〃BC,D、F在AB边上，/\£

E、G在AC边上，且DE、FG将aABC的面积三等分，若

F/\G

AB=10,试求AD,DF的长.8/------V

(3)完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

?教学反思

本课时的教学过程中，首先提出问题让学生回答，这有助于学生回顾有关知

识，接着教师提出问题并让学生自主探索形成初步认识，最后师生共同归纳结论.

在上述教学过程中，教师要充分调动学生的积极性，自主探究，体会发现和解决

问题的乐趣.

相似三角形及平行线分线段成比例

一、学生知识状况分析

学生在本章前两课时的学习中，通过对相似图形的直观感知，体会到可以

用对应线段长度的比来描述两个形状相同的平面图形的大小关系。从而认识了线

段的比，成比例线段。通过对方格纸中成比例线段的探究，了解了合比性质与等

比性质，并在探究活动中积累了一定的合作交流的经验，培养了提出问题与解决

问题的能力。同时学生通过对合比性质与等比性质的演绎证明，也进一步发展了

逻辑推理能力。

二、教学任务分析

本节课依旧采用前两节在方格纸中探究的方式，引导学生得出平行线分线段

成比例及其推论。平行线分线段成比例定理是研究相似形的最重要和最基本的理

论，是《课程标准》图形的性质及其证明中列出的九个基本事实之一。在知识技

能方面，要求学生理解并掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并会灵活应用。

学生经历运用平行线分线段成比例及其推论解决问题的过程，在观察、计算、讨

论、推理等活动获取知识。让学生经历“观察一猜想一归纳一验证”的数学思想，

并体会数形结合和特殊到一般的思想方法。进一步发展学生的说理和简单推理的

意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系。

教学目标：

（一）知识目标

理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论，并会灵活应用。

（二）能力目标

通过应用，培养识图能力和推理论证能力。

（三）情感与价值观目标

（1）、培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中

的价值。

（2）、在进行探索的活动过程中发展学生的探索发现归纳意识并养成合作交流的

习惯。

教学重点：平行线分线段成比例定理和推论及其应用。

教学难点：平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用，平行线分线段成比

例定理的变式。

三、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习设疑，引入新课；第二环节：

探索发现平行线分线段成比例定理及其推论；第三环节：平行线分线段成比例定

理及其推论的简单应用；第四环节：课堂小结；第五环节：布置作业.

第一环节：复习设疑，引入新课

内容：教师提问：

（1）什么是成比例线段？

（2）你能不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是

2:3?

目的：（1）复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线

段性质的过程。（2）通过一个生活中的实例激发学生探究的欲望。

效果：学生对不通过测量快速将一根绳子分成两部分，使得这两部分的比是

2:3,这一问题很感兴趣，急切想要知道解决办法。

第二环节：小组活动，探究定理

1.探究活动一：

内容：如图（1）小方格的边长都是1,直线a〃b〃c，分别交直线m,n

于A,,A”A：”Bt，B2,B3

（1）计算?争，争察你有什么发现？

（2）将b向下平移到如下图2的位置，直线m,n与直线b的交点分别为

A2,B2O你在问题（1）中发现的结论还成立吗？如果将b平移到其他位置呢？

（图2）

（3）在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？

归纳：平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对

应线段成比例；

目的：让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动,

达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。

效果：学生在以前的学习中，尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多

边形来完成的。所以学生有种熟悉感，并不感到困难。

2.议一议：

内容：教师提问：1.如何理解“对应线段”？

2.平行线分线段成比例定理的符号语言如何表示?

3.“对应线段”成比例都有哪些表达形式？

若a〃b〃c，则A4_

4A3B2B3

4a_B\B?aa_B?B3

由比例的性质还可以得到：Aa42,AaByB2

A?A3_B?B3

成比例线段时，感觉结论很多，老师这时可以引导总结出成比例线段的特点，那

就是都体现了“对应”二字。

2.探究活动二：

内容：如图3,直线a〃b〃c,分别交直线m,n于A,,A2>A3,B”B2>

B3O过点&作直线n的平行线，分别交直线b,c于点Cz，C3o（如图4）,图

4中有哪些成比例线段?

（图3）（图4）

推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

目的：让学生脱离表格，不通过计算，运用平行四边形的性质推理得出平行线等

分线段定理的推论。

效果：学生已经学习过特殊四边形的性质与证明，所以很容易得出AC=BA，

C2C3=B2B;i,进而得出推论。而且让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能

力及语言表达能力。

进一步探究内容：熟悉该定理及推论的几种基本图形

目的：加深对平行线分线段成比例定理及其推论的理解，发展学生生曲g能/E

效果：经过这一环节的变式应用，学生能够归纳出平行线分线段成比例

推论的本质特征。

3.探究活动三：/

内容:直线14、15、16被11、12、13所截且人13=点则图中还

有哪些线段相等?

_4/、：\I—

思考：当平行平间的,唠崎仃为中段匕是#?

2.如何不岫测量学知吼，前速N将凯力分成两部分,使这两部

分之比是2，B\

目的：让步体会平行线*分线段定理可看作噌A背分线段成比例定理的特

例。解从六丁人刖掘山阜题。口，弋’

效果：/也很容易算中此时、对应线段的比值也、后面探究相似与全等的

关系做彳铺垫。⑵\

第三环节：灵活应用

内容：例1、如图，在aABC中，E、F分别是AB和AC上的点，且EF〃BC,

(1).如果AE=7,FC=4，那么AF的长是多少？

(2).如果AB=10,AE=6,AF=5,那么FC的长是多少？

课堂练习：

1、如图，已知L〃k〃知

(1).在图(1)中AB=5,BC=7,EF=4,求DE的长。

(2).在图(2)中DE=6,EF=7,AB=5,求AC的长。

(1)(2)

2、如图，在AABC中，D、E分别是AB和AC上的点，且DE〃BC,

(1).如果AD=3.2cm,DB=1.2cm,AE=2.4cm,那么EC的长是多少？

(2).如果AB=5cm,AD=3cm,AC=4cm,那么EC的长是多少？

目的：通过对平行线分线段成比例定理的简单应用，规范书写格式，培养学生严

谨的逻辑推理能力，深化对知识的理解。

效果：由学生直观操作得出的结论与简单推理进行有机结合，是对探索活动的自

然延续和必要发展，实现理性升华，培养语言表达能力。

第四环节：课堂小结：

内容：本节课你有哪些收获？

目的：

通过师生反思评价，实理知识的系统归纳，对知识和方法进行总结，并通过作业

和考题全面巩固平行线分线段成比例定理及其推论。

效果：

学生都能归纳出：1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例。

第五环节：布置作业：

知识技能1、2、

问题解决3、4.

学法指导

本节的难点也是平行线分线段成比例定理.平行线分线段成比例定理变式较

多，学生在找对应线段时常常出现错误；另外在研究平行线分线段成比例时，常

用到代数中列方程的方法，利用已知比例式或等式列出关于未知数的方程，求出

未知数，这种运用代数方法研究几何问题，学生接触不多，也常常出现错误.

在授课过程中要根据学生的个体差异，注意因材施教、分层教学，在教学中结合

课本“想一想”、“议一议”、“做一做”等教学环节调动学生的潜能，为每一

位学生创设施展才能的空间，让学生学得轻松、愉快，培养学生的成就感，使每

一位学生都能获得不同程度的成功。同时把学生的活动贯穿于教学的整体过程

中，提供学生学习合作、交流、探索、归纳的机会，使学生最大限度的动手、动

口、动脑、同伴互助，让学生通过实际感悟平行线分线段成比例定理及其推论的

区别与联系。

27.1.1相似图形及成比例线段

一、教学目标

1.通过实例知道相似图形的意义.

2.经历观察、猜想和分析过程，知道相似多边形对应角相等，对应边的比相等，

反之亦然.

二、教学重点和难点

1.重点：相似图形和相似多边形的意义.

2.难点：探索相似多边形对应角相等，对应边的比相等.

三、教学过程

（一）创设情境，导入新课

师：（出示两张全等的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形形状相同，

大小也相同，它们叫什么图形？

生：（齐答）叫全等图形.

师：（出示两张相似的图片）大家看这两个图形，（稍停）这两个图形只是形状

相同，它们叫什么图形？（稍停）它们叫相似图形.也可以说，这两个图形相

似（板书：相似）.

师：和全等一样，相似也是两个图形的一种关系.从今天开始我们要学习新的一

章，这一章要学的内容就是相似（在“相似”前板书：第二十七章）.

（二）尝试指导，讲授新课

师：相似图形在我们的生活中是很常见的，大家把课本翻到第34页，（稍停）

34页上有几个图，左上方是用同一张底片洗出的不同尺寸的照片，它们是相

似图形；还有大小不同的两个足球，它们也是相似图形；还有一辆汽车和它的

模型，它们也是相似图形.

师：看了这些相似图形，哪位同学能给相似图形下一个定义？

生：……（让几名同学回答）

（师出示下面的板书）

形状相同的两个图形叫做相似图形.

师：请大家一起把相似图形的概念读两遍.（生读）

师：（出示两张全等的图片）全等图形，它们不仅形状相同，而且大小也相同；

（出示两张相似的图片）而相似图形，它们只是形状相同，它们的大小可能相

同，也可能不相同.

师：明确了相似图形的概念，下面请同学们来举几个相似图形的例子，谁先来说？

生：……（让几位同学说，如果学生说的题材不够广泛，师可以再举几个例子.

譬如，放电影时，屏幕上的画面与胶片上的图形是相似图形；实际的建筑物与

它的模型是相似图形；复印机把一个图形放大，放大后的图形和原来图形是相

似图形）

师：好了，下面请大家做一个练习.

（三）试探练习，回授调节

1.下列各组图形哪些是相似图形？

(6)

2.如图，图中是人们从平面镜及哈哈镜里看到的不同镜像，它们相似吗？

（四）尝试指导，讲授新课

（师出示下图）

师：（指准图）这个三角形和这个三角形形状相同，所以它们是相似三角形.从

图上看，这两个相似三角形的角有什么关系？

生：ZA=ZA\ZB=ZB,,ZC=ZC,.（生答师板书：NA=NA',NB=NB',Z

C=ZC,）

师：（指图）这两个相似三角形的边有什么关系？（让生思考一会儿）

师：（指准图）AB与A'B'的比是工匕（板书：工与），BC与B'C'的比是/（板

A0ABB0

书：,）‘CA与C，A，的比是黑（板书：黑）’这三个比相等吗?

生：（齐答）相等.

师：为什么相等？（稍停后指准图）△A'B'C可以看成是aABC缩小得到的，假

如AB是A'B'的2倍，那么可以想象，BC也是B'C'的2倍，CA也是C'A'的2

倍，所以这三个比相等（在式子中间写上两个等号）.

师：我们再来看一个例子.

（师出示下图）

师：（指准图）这个四边形和这个四边形形状相同，所以它们是相似四边形.从

图上看，这两个相似四边形的角有什么关系？

生：ZA=ZA\NB=NB',NC=NC',ZD=ZDZ.（生答师板书：NA=NA',Z

B=NB',ZC=ZC\ND=ND'）

师：（指图）这两个相似四边形的边有什么关系？

生：胆=£=0=磐.（生答师板书：胆:角=2.理）

ABBOCnDWABBOCHDW

师：（指式子）这四个比为什么相等？（稍停后指准图）四边形A'B'C'D'可以

看成是四边形ABCD放大得到的，假如AB是A'B'的一半，那么可以想象，BC

也是B'C'的一半，CD也是C'D'的一半，DA也是D'A，的一半，所以这四个比

相等.

师：从这两个例子，大家想一想，你能得出一个什么结论？（等到有一部分同学

举手再叫学生）

生：……（多让几名学生发表看法）

（师出示下面的板书）

相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.

师：请大家把这个结论一起来读两遍.（生读）

师：相似多边形对应角相等，对应边的比也相等.实际上，这个结论反过来也是

成立的，反过来怎么说？

生：……（让几名学生说）

（师出示下面的板书）

对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似多边形.

师：请大家把反过来的结论一起来读两遍.（生读）

师：我们知道，形状相同的多边形是相似多边形.但是，什么样才算形状相同呢？

（稍停）从这两个结论我们可以看到，对多边形来说，所谓形状相同，实际上

指的就是对应角相等，对应边的比也相等.对应角相等，对应边的比也相等的

多边形是相似多边形.所以，现在我们可以给相似多边形下一个更明确的定义.

（师出示下面的板书）

对应角相等，对应边的比也相等的两个多边形叫做相似多边形.

师：下面我们利用相似多边形的概念来做两个练习.

（五）试探练习，回授调节

3.如图，AABC与△A'B'C'相似，则NC'=°,B'C'=.

4.判断正误：对的画“J”，错的画“义”.

（1）两个等边三角形一定相似；（）

（2）两个正方形一定相似；（）

（3）两个矩形一定相似；（）

（4）两个菱形一定相似.（）

（六）归纳小结，布置作业

师：（指准板书）本节课我们学习了相似图形和相似多边形的概念.什么叫做相

似图形？形状相同的两个图形叫做相似图形.从这两个结论，我们进一步发现,

对多边形来说，所谓形状相同指的就是对应角相等，对应边的比也相等.所以

我们又给相似多边形下了一个更明确定义：对应角相等，对应边也相等的两个

多边形叫做相似多边形.

（作业：P35练习LP38习题1.4.）

四、板书设计

27.2.5用边角关系判定三角形相似

产敦与目标

【知识与技能】

1.初步掌握“两组对应边的比相等且它们的夹角相等的两个三角形相似”的判

定方法.

2.能运用它们解决具体问题.

【过程与方法】

经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合理推理能力.

【情感态度】

培养学生的观察、动手探究、归纳总结能力，形成推理、说明的科学态度.

【教学重点】

两个三角形相似的判定定理及其应用.

【教学难点】

准确运用判定定理来判定三角形是否相似.

,教学士旌

一、情境导入，初步认识

问题判定两个三角形全等我们有SAS方法，类似地，判定两个三角形相似

是否也有类似的简单方法呢？

【教学说明】设置疑问，引导学生思考，尝试用类似的思路来判定两个三角形相

似，激发求知欲望.

二、思考探究，获取新知

思考如图，在AABC和AVB'C'中，若NA=NA',且空=芷，那么

A'B'A'C'

△ABC与AA'B'C'信相似？为｛十么？

【教学说明】通过“思考1”的学习，对于“思考2”教师可让学生也尝试着在

△A'8C中构造丛NDE,类似地得到AN优〜邱EC,

△A'DE之△ABC,从而△ABC〜AA'EC.教师巡视，学生可相互交流，针对学生实际可

作适当的提示，帮助学生完成证明，获得理性思考的体验.

相似三角形的判定定理如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应

的夹角相等，那么这两个三角形相似.

问题如果定理中的“夹角相等”换成“其中一边的对角对应相等”，其他

条件不变，这样的两个三角形仍能相似吗？若相似，请予以证明；若不相似，请

举一反例.

【教学说明】教师可与学生一道回顾“两边对应相等，且其中一边的对角也相

等的两个三角形不一定全等”时所举出的反例，使学生能轻松地过渡到判别它

们不一定能相似时可能存在的一种情形.加深对定理中“夹角相等”这一条件的

理解.

三、典例精析，掌握新知

例1教材P33中例

【教学说明】教师可让学生自主完成，让学生从中体验成功的喜悦.对于题，还

可让学生说出他们的相似比是多少；对于题，应引导学生用小边比小边，中边比

中边，大边比大边的比值进行说明，不能出现混乱.进一步地，若要使得两个三

角形相似，可改变其中一条线段的长，让学生试试看.

例2如图，四边形ABCD中，ZB=ZACD,AB=6,BC=4,AC=5,CD=7.5,

你能求出线段AD的长吗？说说你的理由.

【教学说明】可让学生独立完成试试看，也可以相互交流，共同探讨解题思路，

然后予以评析，巩固本节所学知识.

四、运用新知，深化理解

根据下列条件，判断AABC与MBC是否相似，并说明理由：

ZA=40°,AB=8cm,AC=15cm,NA'=40°,A,B,=16cm,

A'C'=30cm；

【教学说明】1、2题让学生独立完成，第3题可集体评讲（在学生思考后），

注重于分类思想.在完成上述题目后，教师引导学生完成创优作业中本课时的“名

师导学”部分.

五、师生互动，课堂小结

1.与同伴交流论证判定定理中的证明方法，谈谈你的认识；

2.判定定理中“夹角相等”这个条件是否可换成“一角对应相等”，

说说你的理由.

.＞课后作业

1.布置作业：从教材Pwi,习题27.2中选取.

2.完成创优作业中本课时的“课时作业”部分.

敦学反思

本课时教学可采用类比的方法进行，一方面可类比两个三角形全等的判定方法,

另一方面可类比上一课时中有关两个三角形相似的判定方法.教学时应注意突出

学生的主体地位，让学生独立完成并相互交流,教师给予引导并同学生一起归纳,

以提高学生的推理能力.

27.2.6用两角相等关系判定三角形相似

（教学目标）

1.掌握判定两个三角形相似的方法：如果一个三角形的两个角与另一个三角形

的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。

2.培养学生的观察、发现、比较、归纳能力，感受两个三角形相似的判定方法

3与全等三角形判定方法（AAS、ASA）的区别与联系，体验事物间特殊与

一般的关系。

3.让学生经历从实验探究到归纳证明的过程，发展学生的合情推理能力。

（教学重点与难点）

重点：两个三角形相似的判定方法3及其应用

难点：探究两个三角形相似判定方法3的过程

（教学设计）

教学过程设计意图说明

新课引入：

复习两个三角形相似的判定方法1、2与全等

三角形判定方法（SSS、SAS）的区别与联系：从复习两个三角形相

SSS似的判定方法1与全等三角

1形判定方法（SSS）及两个

如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么三角形相似的判定方法2与

这两个三角形相似。（相似的判定方法1）全等三角形判定方法（SAS）

SAS的区别与联系来以旧引新，

I帮助学生建立新旧知识间

如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且的联系，体会事物间一般到

相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。（相似的特殊、特殊到一般的关系。

判定方法2）

提出问题：

观察两副三角尺，其中同样角度（30°与60°,通过观察同样角度的

或45°与45°）的两个三角尺大小可能不同，但它们两副三角尺，可以发现：两

看起来是相似的。个三角尺大小可能不同，但

1它们的形状相同。学生从实

如果两个三角形有两组角对应相等，它们一定物的比较中容易直观地得

相似吗？至1」：如果两个三角形有两组

角对应相等，它们很可能相

似。

延伸问题：

作AABC与AAIBICI,使得NA=NAi,ZB=Z

Bi,这时它们的第三角满足NC=NCi吗？分别度量

这两个三角形的边长，计算丝、—<—,作图并动手进行尺规

A\B\B\C\A\C\实验来探索命题成立的可

你有什么发现？（学生独立操作并判断）

能性，让学生经历定理的重

1

发现过程，有助于对定理的

分析：学生通过度量，不难发现这两个三角形

理解。

的第三角满足

/厂“ABBCAC

ZC=ZCi,-----=------=------o

A\B\B\C\A\C\

l

分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它

们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（利让学生进行协同式小

用刻度尺和量角器，让学生先进行小组合作再作出组合作可以提高实验的效

具体判断。）率，并培养学生的合作能

力。

探究方法：

探究3

分别改变这两个三角形边的大小，而不改变它

们的角的大小，再试一试，是否有同样的结论？（教把学生利用刻度尺、量角器

师应用“几何画板”等计算机软件作动态探究进行等作图工具作静态探究与

演示验证，引导学生观察在动态变化中存在的不变应用“几何画板”等计算机

因素。）软件作动态探究结合起来