2024-2025学年新教材高中数学第一章预备知识1.4一元二次函数与一元二次不等式1.4.1一元二次函数一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE5第一章预备学问§4一元二次函数与一元二次不等式4.1一元二次函数学问点1一元二次函数的解析式1.☉%#9*355￥￥%☉(2024·南昌二中检测)已知抛物线过点(-1,0),(2,7),(1,4),则其解析式为()。A.y=13x2-2x+53 B.y=13x2+2C.y=13x2+2x-53 D.y=13x2-2答案：B解析：可干脆列方程组求解。2.☉%0￥3￥15*#%☉(2024·河北枣强中学高一月考)假如一条抛物线的形态与抛物线y=13x2+2的形态相同,且顶点坐标是(4,-2),则它的解析式是。答案：y=13(x-4)2-2或y=-13(x-4)2解析：由题意得y=13(x-4)2-2或y=-13(x-4)23.☉%*#￥5413#%☉(2024·江苏丹阳高一检测)设点(3,1)及(1,3)为二次函数y=ax2-2ax+b的图像上的两个点,则函数f(x)的解析式为。

答案：f(x)=-12x2+x+5解析：将点(3,1)及(1,3)分别代入f(x)=ax2-2ax+b中,有9a-所以f(x)=-12x2+x+54.☉%@@5#3￥41%☉(2024·株洲期末考试)完成下列题目。(1)已知一个二次函数图像的顶点坐标为(-1,-6),且经过点(2,12),求它的解析式;答案：解:设二次函数的解析式为y=a(x+1)2-6(a≠0),将(2,12)代入解析式中,得12=a(2+1)2-6,解得a=2,所以y=2(x+1)2-6,即y=2x2+4x-4。故二次函数的解析式为y=2x2+4x-4。(2)已知二次函数的图像与x轴的交点坐标为(-3,0)和(1,0),且图像与y轴的交点坐标为(0,-6),求它的解析式。答案：设二次函数的解析式为y=a(x-1)(x+3)(a≠0),因为图像与y轴的交点坐标为(0,-6),所以点(0,-6)在函数图像上,所以-6=a(0-1)(0+3),解得a=2。故二次函数的解析式为y=2(x-1)·(x+3)=2x2+4x-6。学问点2一元二次函数的图像问题5.☉%*@15#90@%☉(2024·张家口二中高一月考)函数y=ax2+bx+c(a>0,b<0,c<0)的图像顶点位于坐标系的()。A.第一象限 B.其次象限C.第三象限 D.第四象限答案：D解析：由a>0,b<0得-b2a>0,又结合c<0得46.☉%@*110@5#%☉(2024·辽宁省试验中学高一期中)如何平移二次函数y=2x2的图像可得到函数y=2(x-4)2-1的图像()。A.向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度答案：D解析：要得到y=2(x-4)2-1的图像,只需将y=2x2的图像向右平移4个单位,再向下平移1个单位。7.☉%@@@7185@%☉(2024·衡水中学高一月考)已知函数y=ax2+bx+c,若a>b>c,且a+b+c=0,则它的图像是()。图1-4-1-1答案：D解析：因为a>b>c,a+b+c=0,所以a>0,c<0。又因为b=-(a+c),所以Δ=b2-4ac=(a-c)2>0,所以抛物线开口向上,且与x轴有两个交点,故选D。8.☉%*5@#153@%☉(2024·江西莲塘一中高一月考)二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1-4-1-2所示,则点(a,c)在()。图1-4-1-2A.第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限答案：D解析：由二次函数的图像的开口方向可知a>0,由与y轴的交点在x轴下方可知c<0。故点(a,c)在第四象限,故选D。9.☉%￥3#15@￥2%☉(多选)(2024·陕西榆林一中高一月考)已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图1-4-1-3所示,有以下结论,其中正确的是()。图1-4-1-3A.a+b+c<0 B.a-b+c>1C.abc>0 D.4a-2b+c<0答案：ABC解析：由题图可知x=1时y<0,x=-1时y>1,所以AB正确。因为-b2a=-1,且a<0,所以b=2a因为x=0时,c=1>0,所以C正确。因为x=-2,x=0时,y=1,所以当x=-2时,y=4a-2b+c>0,所以D不正确。10.☉%￥@0#52*9%☉(2024·北京海淀外国语学校高一期中考试)将函数y=2(x+1)2-2的图像向平移个单位长度,再向平移个单位长度可得到函数y=2x2的图像。

答案：右1上2(或上2右1)解析：y=2(x+1)2-2的图像向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度即可得到y=2x2的图像(也可先上移再右移)。题型1利用二次函数的性质求函数值11.☉%@@9*279*%☉(2024·辽宁大连八中高一月考)校运动会上,某运动员掷铅球时,他所掷的铅球的高y(m)与水平的距离x(m)之间的函数关系式为y=-112x2+23x+53,则该运动员的成果是(A.6m B.10m C.8m D.12m答案：B解析：当y=0时,-112x2+23x+解得x=10或x=-2(舍去),故选B。12.☉%27**#17@%☉(2024·山西大同一中高一月考)已知m>2,点(m-1,y1),(m,y2),(m+1,y3)都在二次函数y=x2-2x的图像上,则()。A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1C.y1<y3<y2 D.y2<y1<y3答案：A解析：因为y=x2-2x在[1,+∞)上是增函数,且m-1,m,m+1均在[1,+∞)内,所以y1<y2<y3。13.☉%8@#18**1%☉(2024·贵州遵义三中高一月考)已知二次函数y=x2+x+a(a>0),若当x=m时,y<0,则当x=m+1时,y的值为()。A.正数 B.负数 C.零 D.符号与a有关答案：A解析：因为a>0,所以x=0时,y=a>0。因为函数图像的对称轴为直线x=-12,所以x=-1时y的值与x=0时y又因为x=m,y<0,所以-1<m<0,所以m+1>0,所以y>0。题型2利用一元二次函数的性质求参数的取值范围14.☉%*#￥*3946%☉(2024·福建福州一中高一月考)若函数y=(a-2)x2+2x-4的图像恒在x轴下方,则实数a的取值范围是。

答案：-∞解析：当a=2时,不合题意;当a≠2时,由题意得a解得a<74。所以实数a的取值范围是-15.☉%0#*90#1*%☉(2024·内江统考)函数y=(m-1)·x2+2(m+1)x-1的图像与x轴只有一个交点,则实数m的取值集合是。

答案：{-3,0,1}解析：当m=1时,y=4x-1,其图像和x轴只有一个交点14,0。当m≠1时,依题意得Δ=4(m+1)2+4(m-1)=0,即m2+3m=0,解得m=-3或所以m的取值集合为{-3,0,1}。16.☉%*6￥*888@%☉(2024·广西桂林一中高一月考)抛物线y=-x2-2x+3与x轴的两个交点分别为A,B,顶点为C,则△ABC的面积为。

答案：8解析：由y=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,得点A(-3,0),B(1,0),C(-1,4),所以|AB|=|1-(-3)|=4,点C到边AB的距离为4,所以S△ABC=12×4×4=817.☉%@￥0#79*4%☉(2024·安徽滁州一中高一检测)已知函数y=x2-2ax+5在x>1时随着x的增大而增大,x<1时随着x的减小而增大,则当x=-1时y的值为。

答案：8解析：由题意易得函数y=x2-2ax+5图像的对称轴为直线x=a=1,∴当x=-1时,y=1+2a+5=6+2a=8。18.☉%266@8@*#%☉(2024·黄冈中学月考)已知二次函数y满意:函数图像向左平移1个单位后关于y轴对称,二次函数的最小值为-4,函数y的图像与x轴的交点为A,B,且AB=4,求二次函数y的解析式。答案：解:由题意知二次函数图像的对称轴方程为x=1。又∵二次函数的最小值为-4,∴设y=a(x-1)2-4=ax2-2ax+a-4。设A(x1,y1),B(x2,y2)。由y=ax2-2ax+a-4=0,得x∴|x1-x2|2=(x1+x2)2-4x1·x2=4-41-4a∴a=1,∴y=x2-2x-3。19.☉%@39#￥￥88%☉(2024·武汉二中检测)若二次函数y=ax2+bx+c满意a(x+1)2+b(x+1)+c-(ax2+bx+c)=2x,且当x=0时,函数值y=1。(1)求二次函数的解析式;答案：解:由x=0时,y=1可得c=1。∴y=ax2+bx+1。又a(x+1)2+b(x+1)+1=ax2+(2a+b)x+(a+b+1),结合题意得2ax+(a+b)=2x。故有2a=2,a+b=0,解得a=1(2)若(1)中所求的二次函数在区间[-1,1]上恒大于2x+m,求实数m的取值范围。答案：由题意知,x2-x+1>2x+m在[-1,1]上恒成立,即x2-3x+1-m>0在[-1,1]上恒成立。令y=x2-3x+1-m=x-322-54-m,其图像的对称轴为直线x=32。故函数y=x2-3x+1-m在区间[-1,1]上是减函数,所以y=x2-3x+1-m的最小值在x=1时