2024-2025学年新教材高中数学课时素养检测十二旋转体含解析新人教B版必修第四册

PAGE十二旋转体(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共20分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列叙述不正确的是 ()A.圆锥过轴的截面是等腰三角形B.以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台C.用平面去截圆柱、圆锥、圆台,得到的截面均为圆面D.用一平面截圆锥可得的是一个圆锥和一个圆台【解析】选BCD.圆锥过轴的截面是等腰三角形,A对,选项B应以直角梯形的垂直于底边的一腰为轴旋转方可得到圆台,C用平行于底面的平面去截圆柱、圆锥、圆台,得到的截面才是圆面,D用平行于圆锥底面的平面截圆锥可得圆锥和圆台,否则得不到.2.圆锥的母线长为10,底面半径为6,则其高等于 ()A.6 B.8 C.10 D.不确定【解析】选B.由圆锥的轴截面可知,圆锥的母线、底面半径与高构成直角三角形,所以其高为QUOTE=8.3.一圆锥的母线长为2cm,母线与轴夹角为30°,则圆锥的底面与轴截面面积之比为 ()A.2QUOTE∶π B.π∶QUOTEC.QUOTE∶π D.以上均不对【解析】选B.在轴截面中简单求得底面半径为1cm,高为QUOTEcm,所以底面面积为π,轴截面面积为QUOTE×2×QUOTE=QUOTE,因此底面与轴截面面积之比为π∶QUOTE.4.下列推断中正确的个数是 ()①圆柱的随意两条母线所在的直线是平行的;②球面和球是同一个概念;③经过球面上不同的两点只能作一个球大圆.A.1 B.2 C.3 D.0【解析】选A.①正确;球面和球是两个不同的概念,②错误;若球面上不同的两点恰好为球的直径的端点,则过此两点的球大圆有多数个,故③错误.5.若圆锥的母线长为5,底面半径为3,则其侧面积等于 ()A.15 B.15π C.24π D.30π【解析】选B.S侧=πrl=π×3×5=15π.二、填空题(每小题4分,共8分)6.一个圆锥的母线长为20cm,母线与轴的夹角为30°,则圆锥的高为__________cm.

【解析】如图是圆锥的轴截面,则SA=20cm,∠ASO=30°,所以SO=10QUOTEcm.答案:10QUOTE【补偿训练】若圆柱OO′的底面半径r=2cm,母线长l=3cm,则圆柱OO′的表面积等于______cm2.

【解析】S表=2πr(r+l)=2π×2×(2+3)=20π(cm2).答案:20π7.点O1为圆锥高上的靠近顶点的一个三等分点,过O1与底面平行的截面面积是底面面积的____.

【解析】如图为圆锥SO的轴截面,则QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE三、解答题(每小题16分,共32分)8.把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4,母线长为10cm,求圆锥的母线长.【解析】设圆锥的母线长为ycm,圆台上、下底面半径分别为xcm、4xcm,作圆锥的轴截面如图所示,在Rt△SOA中O′A′∥OA,所以SA′∶SA=O′A′∶OA.即(y-10)∶y=x∶4x,y=QUOTE,故圆锥的母线长为QUOTEcm.9.已知圆锥的底面半径为r,高为h,正方体ABCD-A1B1C1D1内接于圆锥,求这个正方体的棱长.【解题指南】过正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,将有关量放在平面图形中,建立正方体的棱长与圆锥有关量的关系即可求解.【解析】过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,如图所示.设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中,正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和QUOTEx.因为△VA1C1∽△VMN,所以QUOTE=QUOTE.所以QUOTEhx=2rh-2rx,所以x=QUOTE=QUOTE.即圆锥内接正方体的棱长为QUOTE.(35分钟70分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对得2分,有选错的得0分)1.(多选题)下列命题:A.在圆柱上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线就是圆柱的母线B.在圆锥顶点与底面圆周上随意一点的连线就是圆锥的母线C.在圆台上、下底面圆周上各取一点,则这两点的连线就是圆台的母线D.旋转体的母线肯定是线段其中,错误的命题是 ()【解析】选ACD.选项A中两点连线不肯定是母线,可能是圆柱内部的一条线段,故A错;B正确;C中两点连线不肯定是母线,可能是圆台内部的一条线段,故C错;D旋转体的母线可能是曲线,例如球的母线为半圆,故D错.2.关于下列几何体,说法正确的是 ()A.图①是圆柱 B.图②和图③是圆锥C.图④和图⑤是圆台 D.图⑤是圆台【解析】选D.因为图①的上下底面既不平行又不全等,所以图①不是圆柱,故A错误;因为图②的母线长不相等,故图②不是圆锥,故B错误;因为图④的上下底面不平行,所以图④不是圆台,故C错误;因为图⑤的上下底面平行,且母线延长后交于一点,所以图⑤是圆台,故D正确.3.已知圆柱的高为2,底面半径为QUOTE,若该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,则这个球的表面积等于 ()A.4π B.QUOTEπ C.QUOTEπ D.16π【解析】选D.设球半径为R,因为该圆柱的两个底面的圆周都在同一个球面上,所以可得R2=12+(QUOTE)2=4,球的表面积为4πR2=16π.4.(2024·天津高考)若棱长为2QUOTE的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为 ()A.12π B.24π C.36π D.144π【解析】选C.这个球是正方体的外接球,其半径等于正方体的体对角线的一半,设外接球的半径为R,则R=QUOTE=3,所以,这个球的表面积为S=4πR2=4π×32=36π.二、填空题(每小题4分,共16分)5.在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40cm,母线长最短50cm、最长80cm,则斜截圆柱侧面面积S=__________cm2.

【解析】将侧面绽开可得S=QUOTE(50+80)×40π=2600π(cm2).答案:2600π6.假如圆台两底面的半径分别是7和1,则与两底面平行且等距离的截面面积是__________.

【解析】作出圆台的轴截面(图略),上底长2,下底长14,与两底面平行且等距离的截面对应轴截面中的中位线,其长度为8,所以所求截面的半径为4,所以其面积为16π.答案:16π7.圆台两底半径分别是2cm和5cm,母线长是3QUOTEcm,则它的轴截面的面积为__________.

【解析】由题设条件知,圆台的高h=QUOTE=9,所以轴截面的面积S=QUOTE×(4+10)×9=63.答案:63cm28.用平面α截半径为R的球,截面到球心的距离为QUOTE,则截面圆面积为________.

【解析】如图,O为球心,O1为截面圆心,AB为截面圆的直径,则OA=R,OO1=QUOTE,所以AO1=QUOTE=QUOTER,所以截面圆面积S=πQUOTE=QUOTEπR2.答案:QUOTEπR2三、解答题(共38分)9.(12分)有一个半径为5的半圆,将它卷成一个圆锥的侧面,求圆锥的高.【解题指南】本题考查圆锥中基本量的计算和侧面绽开,求解的关键是抓住半圆弧长等于圆锥的底面周长这一点.【解析】如图,由题知,半圆的半径等于圆锥的母线长,即SA=5.半圆的弧长等于圆锥底面周长,设圆锥底面半径为r,因为5π=2πr.所以r=QUOTE,所以高h=QUOTE=QUOTE.即圆锥的高是QUOTE.10.(12分)一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,在圆锥内部有一个高为xcm的内接圆柱.(1)用x表示圆柱的轴截面面积S.(2)当x为何值时,S最大?【解析】(1)如图,设圆柱的底面半径为rcm,则由QUOTE=QUOTE,得r=QUOTE,所以S=-QUOTEx2+4x(0<x<6).(2)由S=-QUOTEx2+4x=-QUOTE(x-3)2+6,所以当x=3时,Smax=6cm2.11.(14分)圆台的母线长为8,母线与轴的夹角为30°,下底面半径是上底面半径的2倍,求两底面面积和轴截面面积.【解题指南】作出圆台的轴截面找出各量之间的关系进行计算.【解析】设圆台上底面半径为r,则下底面半径为2r.将圆台还原成圆锥,轴截面如图所示.则∠ASO=30°.在Rt△SA′O′中,SA′=QUOTE=2r.在Rt△SAO中,SA=QUOTE=4r.所以AA′=SA-SA′=2r即2r=8,所以r=4.所以S上=πr2=16π,S下=π(2r)2=4πr2=64π