基础课03 等式性质与不等式性质

基础课03等式性质与不等式性质课时评价·提能基础巩固练1.设P=2a2−4a+A.P≥Q B.P>Q C.[解析]∵P∴P≥Q.2.若a，b，c为实数，且a<b，c>A.ac>bc B.1a<1b[解析]对于A，由不等式的基本性质知，若c>0，a<b，则ac<bc对于B，由不等式的基本性质知，若a=−2，b=−1，则1a>对于C，由不等式的基本性质知，a<b⇒a+c对于D，b−a>0,c>0,无法比较，故D3.若x,y满足−π4<x<A.(−π2,0) B.(−π2,π2) C.(−[解析]由x<y，可得由−π4<y因为−π4<x可得−π2<x−y<0，即x−4.如果a<0，−1A.a>ab>ab2 B.a[解析]由选项可知，仅需要比较a,ab,ab2显然ab>0,ab2<0由−1<b<所以ab2−a故ab>ab25.若实数a，b满足a6<aA.a<b B.a3<b3[解析]因为a6<a5显然a≠0，所以所以a>0,a−b<0若0<a<b，则a<b，若b<a<0，则a>b，a3>6.若数列{an}为等差数列，数列{A.b1+b4≤b2+b[解析]若bn=−12n−1，则可得b1+b4=7若bn=2n，则b1=2,b2=4,b3若an=n，则a1=1,a2=2,a3=不妨设{an}的首项为a1，公差为d，则a1a4=a1a1+3d7.已知a<b，则（A.a2<bC.lna+1[解析]对于A，若a=−1,b=0，则a2>对于B，因为a<b，所以−a>−b，又y=ex为增函数，对于C，若a=−1,b=0，则lna+对于D，若a<b<0，则aa=−a2,bb=−b2，函数y=−x2在−∞,0上单调递增，所以aa=−a若a<0≤b，则aa=−a2<8.若α<β<A.α2<β2 B.βα+[解析]∵α<β<0，∴−α>−β∵α<β<0，∴αβ>0,∵0<12<1,α<β令α=−π,β=−π2，此时sinα=0,sinβ=−1综合提升练9.（多选题）若1a>1A.a3<bC.b−a<[解析]∵1a>1b>0，∴0<a<∵b>a>0，∴b−a>0当a=2,b=3时，a3+b3−10.（多选题）已知a，b分别是方程2x+x=0A.−1<b<a<0 B.[解析]作出函数y=2x,y=由图可知−1所以2a<2b,所以−b⋅2所以a⋅2b故选BD.11.已知实数a，b，c满足a>b>c，且a+b+[解析]因为a>b>c所以a>0,c<0，b=−a−c,所以−a−c<a,即2a>−c,即ca>−212.设二次函数fx=mx2−2x+nm,n[解析]依题意得，二次函数fx图象的对称轴为直线x∵fx的值域为∴m>0且f1m=0，即m⋅由f1≤2，即m−∵m=m=m=m=m=m且m2+n2−1≥2mnm2∴m应用情境练13.若x，y∈R，设M=x2−[解析]因为M==x=x当且仅当x=12，y=所以M的最小值为−114.已知某投资机构从事一项投资，第一次投入本金aa>0元，得到的利润是bb>0元，收益率为ba.假设在第一次投资的基础上，此机构每次都定期追加投资xx>0元，得到的利润也每次都增加了x元，若要使得该项投资的总收益率是增加的，则a>[解析]由题意得，设追加了nn∈N∗次投资，则n若该项投资的总收益率是增加的，则b+nxa+nx>即b+nxa+nx−∵x>0,a+nx>0,创新拓展练15.(2024·九省适应性测试)以maxM表示数集M中最大的数.设0<a<b<c<1,已知b≥2a或a+b≤1,则max{b-a,c-b,1-c}的最小值为15[解析]令b-a=m,c-b=n,1-c=p,其中m,n,p>0,则b若b≥2a,则b=1-n-p≥2(1-m-n-p),故2m+n+p≥1,令k=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p},因此2k≥2m,k≥n,k当且仅当m=n=p时,等号成立.若a+b≤1,则1-n-p+1-m-n-p≤1,即m+2n+2p≥1,令k=max{b-a,c-b,1-c}=max{m,n,p},由k≥m,2k≥2n,2k≥2p,当且仅当m=n=p时,等号成立.综上可知,max{b-a,c-b,1-c}的最小值为1516.设二次函数fx=ax2（1）求证：0≤（2）若直线y=−a与函数y=fx的图象从左到右依次交于A，B，C，D四点，且线段AB,BC[解析]（1）依题意得,a+2b+所以a<0，c>所以−a所以−1又因为函数y=fx的图象与直线y所以方程ax2+2bx+c即Δ=4所以4ba2+8⋅b综上，0≤（2）依题意得，点A与点D，点B与点C关于二次函数fx图象的对称轴对称设