基础课18 导数与函数的极值、最值

第5页基础课18导数与函数的极值、最值课时评价·提能基础巩固练1.图象连续的函数y=fx在[A.一定存在极小值 B.一定存在极大值C.一定存在最大值 D.极小值一定比极大值小[解析]由函数的最值与极值的概念，可知y=fx在[a,b2.已知函数fx的导函数f'x的图象如图所示，则fA.x3 B.x4 C.x5 D.[解析]由导函数f'x的图象可知，当x<x3或x>x5时，f所以x3为函数的极大值点，x5为函数的极小值点.故选3.已知函数fx=ex+kx在A.−1 B.0 C.1 D.[解析]易知f'x=ex+k,因为函数fx=ex+kx故选A.4.已知函数fx的导函数为f'x，则“函数fx在x=A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件[解析]若函数fx在x=x0处有极值反之，若f'x0=0，函数fx如fx=x3在x=0处满足f'0=0，所以“函数fx在x=x0处有极值”是“f'x5.某电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系式为y=13A.20 B.30 C.40 D.50[解析]由题意知y'=令y'>0，解得x>40，令y所以函数y=13x3−392x2−所以当x=40时，y因此为使耗电量最小，则其速度应定为40.故选C.6.已知函数fx=sinx−acosxA.−3 B.−13 C.3[解析]函数fx=sin且f'所以若x0为fx的一个极值点，则f'x因为tanx0=3，所以−1a7.已知函数fx=x3+A.6,+∞ B.−∞,−3 C.−∞,−3[解析]由题意知f'x=所以Δ=4a2−12a+6>08.已知e是自然对数的底数，则下列不等关系中正确的是（A）.A.eπ>πe>3e B.[解析]设函数fx则f'x=1−ex=x−ex，当0<x<e时，f'x<0,fx在0,e上单调递减；当x>e时，f'x>0,fx在e,+∞上单调递增.因此综合提升练9.（多选题）下列说法正确的是（CD）.A.函数的极小值一定比极大值小B.对于可导函数fx，若f'xC.函数fx在a,b内单调，则函数fD.三次函数在R上可能不存在极值[解析]对于A，根据极值的定义，函数的极小值不一定比极大值小，A错误；对于B，若f'x≤0或f'x≥0恒成立，对于C，fx在a,b内单调，因为区间为开区间，所以取不到最值，对于D，三次函数求导以后为二次函数，若f'x≤0或f'x≥0恒成立，则fx10.（多选题）已知函数fx=xA.fx在0B.fxC.曲线y=fx在点(−1D.fx[解析]fx=xln则f'由y=lnx+1,y=xx+1=1−1又f'0=0，所以当x∈−1,0时，f'x<0，fx单调递减因为f0=0，所以fx只有一个零点f'−12=ln1fx的定义域为−1,+∞，不关于原点对称，故fx是非奇非偶函数，D错误11.若函数fx=2alnx+1[解析]g'x=设公切线与gx=x2与曲线fx=2aln所以2x所以a=x1x所以x1因为a=x1x设ℎx则ℎ'x=2x1−2当ℎ'x>0时，x∈0,e所以ℎx在0,e上单调递增，在e所以ℎx所以实数a的最大值为e.12.[2024·南通月考]已知函数fx=2x3−ax2+b，若存在a，b，使得fx在区间[[解析]fx=2x3−ax2+b，f'x=6x2−2ax=2x3x−f1=2−a+b=−1,解得a=应用情境练13.已知点A在函数fx=ex−2x的图象上，点B在直线l：x[解析]由题意可得f'x=ex−2所以当x∈−∞,ln2时，f'x<0，函数fx单调递减；当x∈ln2所以fx的图象如图所示要使得A，B两点之间的距离最小，即当直线l1与l平行，且直线l1与曲线y=fx相切时，l1与l令f'x=e由f0=1，得直线l1的方程为y则l1与l的距离d即A，B两点之间距离的最小值是2214.(2024·九省适应性测试)已知函数f(x)=lnx+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直.(1)求a;(2)求f(x)的单调区间和极值.[解析](1)f'(x)=1x+2x+a,则f'(2)=12+2×2+a=9由题意可得92+a×-23=-1,解得a=-3.(2)由(1)得f(x)=lnx+x2-3x+2,则f'(x)=1x+2x-3=2x2-3x+1故当0<x<12时,f'(x)>0,当12<x<1时,f'(x)<0,当x>1时,f'(x)故f(x)的单调递增区间为0,12,(1,+∞),f(x)的单调递减区间为12,1,故f(x)的极大值为f12=ln12+122-3×12+2=34-ln2,f(x)的极小值为f(1)=ln1+12-3×1+2=0创新拓展练15.[2024·湖北联考]请写出一个满足以下条件的函数fx的解析式:fx①fx②当x>0时，[解析]记gx=xe当x∈0,e时，有g'x<0，函数gx单调递减；当x∈e,+∞故gxmin=ge=ee−ln故当x>0可取fx=12因为fx为偶函数，所以可以找到一个符合题意的函数fx16.已知函数fx（1）若fx≤0（2）若函数fx的单调递增区间为[1e,b]，且fx的极大值为M[解析]（1）由题意知，函数fx的定义域为0由fx≤0，不等式两边同除以x，设gx=lnx−x+a,x>0当x∈0,1时，g'x>0故gx在0,1上单调递增，在1所以gx≤g1=ln1所以实数a的取值范围为(−∞,1（2）令tx=f'x=ln令t'x=0当x∈(0,12)时，t'x>0；故tx在(0,12)上单调递增