专题3-2 三角函数求w类型及换元归类（原卷版）

专题3-2三角函数求w类型及三角换元应用归类目录TOC\o"1-1"\h\u题型01平移型求w 1题型02单调区间及单调性求w 2题型03对称中心（零点）求w 3题型04对称轴型求w 4题型05对称轴及单调性型求w 5题型06“临轴”型求w 6题型07“临心”型求w 7题型08区间内有“心”型求w 8题型09区间内无“心”型求w 9题型10区间内最值点型求w 10题型11多可能性分析型求w 10题型12三角应用：三角双换元 11题型13三角应用：无理根号型 12题型14三角应用：圆代换型 12题型15三角应用：向量型换元 13高考练场 14题型01平移型求w【解题攻略】平移型求w，可以借助代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，或者利用单调区间，再结合图形解出值或者范围。【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数，将的图像向右平移个单位长度后，若所得图像与原图像重合，则的最小值等于（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）将函数的图像向右平移个单位长度后与原函数图像重合，则实数的最小值是（

）A．2 B．3 C．6 D．9【变式1-1】（2021春·浙江杭州·高三学军中学校考开学考试）将函数的图像向左平移2个单位长度后，与函数的图象重合，则的最小值等于（

）A． B．1 C． D．2【变式1-2】（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中学校考一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【变式1-3】（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）将的图象向左平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A． B． C． D．题型02单调区间及单调性求w【解题攻略】正弦函数在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递增，在每一个闭区间（k∈Z）上都单调递减余弦函数在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ]（k∈Z）上都单调递增，在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上都单调递减【典例1-1】（上海市川沙中学2021-2022学年高三下学期数学试题）设，若函数在上单调递增，则的取值范围是________【典例1-2】（广西玉林市育才中学2022届高三12月月考数学试题）已知函数的图象关于直线对称，且，在区间上单调，则的值为_____________.【变式1-1】函数,若在区间上是单调函数,且则的值为（）A． B．或 C． D．或【变式1-2】若函数在上是增函数，则的取值范围是____________.【变式1-3】（2022-2021学年度下学期高三数学备考总动员C卷）若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是________.题型03对称中心（零点）求w【解题攻略】正弦函数对称中心(kπ，0)(k∈Z)余弦函数对称中心(eq\f(π,2)＋kπ，0)(k∈Z)正切函数对称中心(eq\f(kπ,2)，0)(k∈Z)【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2022秋·重庆·高三统考期中）若存在实数，使得函数的图象的一个对称中心为，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2023春·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）已知，周期是的对称中心，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2022秋·高三课时练习）已知函数的部分图象如图，的对称中心是，则（

）A． B． C．3 D．【变式1-3】（2023秋·江苏苏州·高三校考阶段练习）设函数的图象的一个对称中心为，则的一个最小正周期是（

）A． B． C． D．题型04对称轴型求w【解题攻略】正弦函数对称轴（k∈Z）时，ymax＝1；（k∈Z）时，ymin＝－1余弦函数对称轴x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1；x＝2kπ＋π（k∈Z）时，ymin＝－1【典例1-1】（2022秋·山西长治·高三山西省长治市第二中学校校考阶段练习）已知函数的部分图象如图，的对称轴方程为，则（

）A．3 B．2 C． D．1【典例1-2】（2022·全国·高三专题练习）若是函数图象的对称轴，则的最小正周期的最大值是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2021秋·云南昆明·高三昆明市第三中学校考阶段练习）已知函数的图像关于对称，则函数的图像的一条对称轴是（）A． B．C． D．【变式1-2】（“超级全能生”高考全国卷26省9月联考乙卷数学试题）已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是（）A． B．C． D．【变式1-3】已知向量，函数，且，若的任何一条对称轴与轴交点的横坐标都不属于区间，则的取值范围是A． B．C． D．题型05对称轴及单调性型求w【典例1-1】（2021届重庆市南开中学高考冲刺二数学试题）已知函数，对任意的，都有，且在区间上单调，则的值为___________.【典例1-2】（2020届百校联考高考百日冲刺金卷全国Ⅱ卷?数学（二）试题）已知函数的一条对称轴为，且在上单调，则的最大值为（）A． B．3 C． D．【变式1-1】（四川省成都市新都区2020-2021学年高三诊断测试数学试题）已知函数满足，，且在区间上单调，则的最大值为________．【变式1-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在上是单调函数，其图象的一条对称轴方程为，则的值可能是（

）A． B． C．1 D．【变式1-3】（2023·内蒙古赤峰·校考模拟预测）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间[0，]上不单调，则的最小值为（

）A．9 B．7 C．11 D．3题型06“临轴”型求w【解题攻略】若的图像关于直线对称,则或.【典例1-1】（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考开学考试）已知函数的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为，直线是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（

）A． B．C． D．【典例1-2】（2023秋·高三课时练习）已知函数，是函数的一个零点，是函数的一条对称轴，若在区间上单调，则的最大值是（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2023秋·河南洛阳·高三洛宁县第一高级中学校考阶段练习）已知，是函数图象上两条相邻的对称轴，则（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023春·广东佛山·高三校考阶段练习）已知函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象，且当时，不等式恒成立，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【变式1-3】（2023春·四川成都·高三校联考阶段练习）已知直线是函数图象的任意两条对称轴，且的最小值为，则的单调递增区间是（

）A． B．C． D．题型07“临心”型求w【解题攻略】函数的性质：(1).(2)周期(3)由求对称轴，由求对称中心.(4)由求增区间；由求减区间.【典例1-1】（2023春·广东珠海·高三校考）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【典例1-2】（2023上·天津东丽·高三天津市第一百中学校考阶段练习）函数，的最大值为2，其图象相邻两个对称中心之间的距离为，且的图象关于直线对称，则下列判断正确的是（

）A．函数在上单调递减B．将图象向右平移个单位与原图象重合C．函数图象关于点对称D．函数的图象关于直线对称【变式1-1】（2023下·河南焦作·高三统考）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2023·云南红河·统考二模）已知函数（）的图象的两个相邻对称中心之间的距离为，则（

）A．2 B．4 C．8 D．16【变式1-3】（2021上·四川雅安·高三统考期末）已知函数，点和是其相邻的两个对称中心，且在区间内单调递减，则（）A． B． C． D．题型08区间内有“心”型求w【解题攻略】求w的表达式时，中不要把写成k,因为后面还有一个k,中不要把写成k，否则不好研究w的最小值.它们本身就不一定相等.【典例1-1】（天津市部分区2020届高考二模数学试题）若函数()在区间上单调递减，且在区间上存在零点，则的取值范围是（）A． B． C． D．【典例1-2】（2021春•商洛）已知函数在，上恰有6个零点，则的取值范围是A． B． C． D．【变式1-1】（2022•湖北模拟）已知函数在区间，上恰有三个零点，则的取值范围是．【变式1-2】（云南省2020届高三适应性考试数学试题）若函数（，）图象过点，在上有且只有两个零点，则的最值情况为（

）A．最小值为，最大值为 B．无最小值，最大值为C．无最小值，最大值为 D．最小值为，最大值为【变式1-3】（2021年全国高考甲卷数学（理）试题变式题16-20题）设函数，若对于任意实数，在区间上至少有2个零点，至多有3个零点，则的取值范围是________．题型09区间内无“心”型求w【解题攻略】无“心”型求w，可以采用正难则反的策略把无交点问题转化为有交点的问题，利用补集思想得到最终的结果，对于其他否定性问题经常这样思考.【典例1-1】已知函数，若函数在区间内没有零点，则的取值范围为_________.【典例1-2】（天津市南开中学2022届高三下学期统练二数学试题）已知函数，，若在区间内没有零点，则的取值范围是______.【变式1-1】函数，且，，若的图像在内与轴无交点，则的取值范围是__________.【变式1-2】（2023春·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考阶段练习）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．题型10区间内最值点型求w【解题攻略】极值点最大值最小值的问题，可以转化为区间对称轴的个数，利用对称轴公式求解。【典例1-1】.已知函数（，），，，在内有相邻两个最值点，且最小值点距离轴近，则的最小正整数值为（

）A．5 B．7 C．9 D．10【典例1-2】已知函数的图象关于点及直线对称，且在不存在最值，则的值为（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2022年全国高考乙卷数学（理）试题变式题13-16题）已知函数，若且在区间上有最小值无最大值，则_______．【变式1-2】（2022届湖南省长沙市第一中学高考模拟数学试题）已知函数，，若，对任意恒有，在区间上有且只有一个使，则的最大值为（）A． B． C． D．【变式1-3】（【全国百强校】河北衡水金卷2022届高三12月第三次联合质量测评数学试题）已知函数，两个等式：对任意的实数均恒成立，且上单调，则的最大值为A．1 B．2 C．3 D．4题型11多可能性分析型求w【解题攻略】解决函数综合性问题的注意点（1）结合条件确定参数的值，进而得到函数的解析式．（2）解题时要将看作一个整体，利用整体代换的方法，并结合正弦函数的相关性质求解．（3）解题时要注意函数图象的运用，使解题过程直观形象化．【典例1-1】.函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（）A． B． C． D．【典例1-2】（北京市西城区北京师范大学附属实验中学2021-2022学年高三上学期12月月考数学试题）已知点，若三个点中有且仅有两个点在函数的图象上，则正数的最小值为__________.【变式1-1】（北京市东城区2021-2022学年高三上学期数学试题）已知函数，曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则的所有可能值为__________．【变式1-2】（上海市晋元高级中学2022届高三数学试题）已知，若存在使得集合中恰有3个元素，则的取值不可能是（）A． B． C． D．【变式1-3】（2021•淮北二模）已知函数满足，，且在区间上单调，则满足条件的个数为A．7 B．8 C．9 D．10题型12三角应用：三角双换元【解题攻略】形如，等，均可以用三角换元来解决.在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是[-1，1]，但其角度有多种形式，于是我们在设置角度时要抓住2点：设置的角度要使三角函数的范围为[-1，1]，（2）根号要能直接开出来.就如本题来讲，令，此时，于是.【典例1-1】（2023·全国·高三专题练习）设、且，求的取值范围是.【典例1-2】（2020·江西·校联考模拟预测）若等差数列满足，且，求的取值范围（

）A． B． C． D．【变式1-1】（2021·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考阶段练习）已知，，求的取值范围为（）A． B．C． D．【变式1-2】（江西省抚州市金溪一中等七校2021-2022学年高三考试数学试题（B卷））已知满足，则的取值范围为A． B． C． D．【变式1-3】（浙江省嘉兴市2022届高三试数学试题）已知实数满足,则的取值范围是_______．题型13三角应用：无理根号型【解题攻略】无理根号型求范围，可以通过换元求得：1.单根号，一般是齐次关系。2.双根号，不仅仅是齐次关系，并且平方后能消去x。3.式子可能具有“轮换特征”4.一定要注意取值范围之间的变化与互相制约。【典例1-1】.求函数的值域.【典例1-2】求函数的值域.【变式1-1】若对任意，恒成立，则实数的取值范围是.【变式1-2】（新疆莎车县第一中学2022届高三上学期第三次质量检测数学试题）函数y=x−4−【变式1-3】（2020届安徽省六安市第一中学高三下学期模拟卷（七）数学（理）试题）已知，则的最大值为_________.题型14三角应用：圆代换型【解题攻略】圆代换型，利用圆的参数方程，注意尽量代换规范：余弦对应x，正弦对应y的参数方程是：【典例1-1】（上海市第二中学2020-2021学年高三下学期5月月考数学试题）知点A(2,0)，点P是以原点为圆心，1为半径的圆上的任意一点，将点P绕点逆时针旋转90°得点Q，线段AP的中点为，则|MQ|的最大值是______【典例1-2】设圆O:x2+y2=1上两点Ax【变式1-1】已知是单位圆（圆心在坐标原点）上任一点，将射线绕点逆时针旋转到交单位圆于点，则的最大值为________.【变式1-2】设圆上两点，满足：，则的取值范围是___________.【变式1-3】（2020·黑龙江哈尔滨·哈尔滨三中校考一模）已知点为圆上任一点，，分别为椭圆的两个焦点，求的取值范围.题型15三角应用：向量型换元【解题攻略】向量中的三角换元原理之一，就是源于,实质是圆。所以模定值，可以用圆的参数方程代换。【典例1-1】（2022上·广东佛山·高三统考）菱形中，，点E，F分别是线段上的动点（包括端点），，则，的最小值为.【典例1-2】（2020·江苏南通·江苏省如皋中学校考模拟预测）已知，，则向量的最小值为.【变式1-1】（2024上·重庆·高三重庆南开中学校考阶段练习）平面向量，，满足，，则的最大值为.【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）已知向量，满足，，则的最大值为.【变式1-3】（2023·上海·上海市七宝中学校考模拟预测）已知为单位向量，向量满足，则的取值范围是.高考练场1.（2023·湖南长沙·长沙一中校考模拟预测）设函数，将函数的图象先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，所得的图象与图象重合，则（

）A．， B．，C．， D．，2.（湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考（二）数学试题）已知函数，其中，若在区间上单调递减，则的最大值为__________．3.（2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（

）A． B．C． D．4.（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考一模）已知直线是函数（）图象的一条对称轴，则在上的值域为（

）A． B