函数抽象函数(函数类型)

函数—抽象函数（函数类型）所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符号表示的函数。抽象来源于具体。抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，高中大量的抽象函数都是以中学阶所学的基本函数为背景抽象而得，解题时，若能从研究抽象函数的“模型”入手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比、猜想出它可能为某种基本函数，变抽象为具体，变陌生为熟知，常可猜测出抽象函数所蕴含的重要性质，并以此作为解题的突破口，必能为我们的解题提供思路和方法。★★抽象函数常见模型:函数模型抽象函数性质正比例函数一次函数幂函数二次函数（a≠0）f（x+y）=f（x）+f（y）+2axy-c指数函数对数函数或f(xm)=mf(x)余弦函数（和差化积）还有周期性。正切函数余切函数f(x)=cotx一．以正比例函数为模型的抽象函数正比例函数是满足函数恒等式的最常见的模型。若我们能从这个具体的模型出发，根据解题目标展开联想，给解题带来了思路。例1、已知函数对任意实数，均有，且当时，，，求在区间[－2，1]上的值域。分析：由题设可知，函数是的抽象函数，因此求函数的值域，关键在于研究它的单调性。二、以一次函数为模型的抽象函数一次函数y=ax+b是满足函数恒等式f（x+y）=f（x）+f（y）-b的最常见的模型。例2、已知函数f（x）对任意，满足条件f（x）＋f（y）＝2+f（x＋y），且当x＞0时，f（x）＞2，f（3）＝5，求不等式的解。分析：由题设条件可猜测：f（x）是y＝x＋2的抽象函数，且f（x）为单调增函数，如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。三、以幂函数为模型的抽象函数幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。由幂函数的运算法则知是我们最熟悉的满足恒等式的函数。例3、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f（－1）＝1，f（27）＝9，当时，。（1）判断f（x）的奇偶性；（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；（3）若，求a的取值范围。分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶函数，且在［0，＋∞）上是增函数。四、二次函数型的抽象函数例4、定义在的函数满足，，则等于（）A．2 B．3 C．6 D．9五、指数函数为模型的抽象函数由指数函数的性质知是满足恒等式的重要函数之一。例5、已知函数对于一切实数、满足(0)≠0，，且当<0时，＞1（1）当＞0时，求的取值范围（2）判断在R上的单调性分析：由可知f（x）是指数函数的抽象函数，从而可猜想六、以对数函数为模型的抽象函数由对数函数的性质知是满足恒等式的重要函数之一。例6、已知函数定义域为(0,+∞)且单调递增，满足(4)=1，（1）证明：(1)=0；(2)求(16)；（3）若+(-3)≤1，求的范围；（4）试证()=（n∈N）分析：由可知f（x）是对数函数的抽象函数七、以三角函数为模型的抽象函数如满足f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）或f（x）+f（y）的函数便是以余弦函数为模型的抽象函数；而满足f（x+y）的抽象函数，则常以正切函数为模型进行联想。例7、设函数满足，且()=0，、∈R；求证：为周期函数，并指出它的一个周期。分析：由和=2coscos知，本题应是以余弦函数为模型的函数练习：1、f(x)为R上的偶函数，对都有成立，若，则=（）A.2005B.2C.1D.02.f(x)的定义域为，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且f(4)=2，则3.。4．对任意整数函数满足：，若，则（）A.-1B.1C.19D.435、设f(x)是定义在R+上的增函数，且f(x)=+f(y)，若f(3)=1，，求x的取值范围。6、已知函数满足，若，试求(2005)。参考答案：例1、解：设，∵当，∴，∵，∴，即，∴f（x）为增函数。在条件中，令y＝－x，则，再令x＝y＝0，则f（0）＝2f（0）， ∴f（0）＝0，故f（－x）＝f（x），f（x）为奇函数，∴f（1）＝－f（－1）＝2，又f（－2）＝2f（－1）＝－4，∴f（x）的值域为［－4，2］。例2、解：设，∵当，∴，则，

即，∴f（x）为单调增函数。∵，又∵f（3）＝5，∴f（1）＝3。∴，∴，即，解得不等式的解为－1<a<3。例3、解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴f（－x）＝f（x），∴f（x）为偶函数。（2）设，∴，，∵时，，∴，∴f（x1）＜f（x2），故f（x）在0，＋∞）上是增函数。（3）∵f（27）＝9，又，∴，∴，∵，∴，∵，∴，又，故。例4、解：法一;设函数为，由得到，又由，，知，；法二：所以法三：例5、解：（1）对于一切、∈R，且(0)≠0令==0，则(0)=1，现设＞0，则-＜0，∴f(-)＞1又(0)=(-)==1∴=＞1∴0＜＜1（2）设<，、∈R，则－<0，(－)＞1且＞1∴，∴f(x)在R上为单调减函数例6、解:（1）令=1，=4，则(4)=(1×4)=(1)+(4)∴(1)=0（2）(16)=(4×4)=(4)+(4)=2(3)+(－3)=［(－3)］≤1=(4)在（0，+∞）上单调递增∴∴∈（3，4]（4）∵∴例7、解：令=+，=则=0∴∴为周期函数且2π是它的一个周期。练习：1、B2、3、20004、C5、分析：由f(x)=+f(y)可知f（x）是对数函数的抽象函数解：∵f(3)=1∴f(3)+f(3)=2∴f()+f(3)=f(9)=2∵f(x)=+f(y)即f(x)-f(y