2024届西藏自治区拉萨市高三上学期一模理数试题及答案

拉萨市2024届高三第一次模拟考试数学理科注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．ð7,9，则AB（1．已知全集U1,3,5,7,9,A1,9,B）UA．3,7B．3,5C．3D．92．已知复数2i1aai为纯虚数，则实数a的值为（）A．1B．0C．1D．2x2y23．双曲线1的焦点坐标为（）7310,0100A．0,B．0,2,2C．10,0,D．10,π2π0的图象向左平移gx4fxx3（）ππππA．B．C．D．6543x25．函数fx的部分图象大致为（）4x4xA．B．C．D．6C:y28x的焦点为FM在抛物线COOM（）A．5B．25C．4D．551x37．二项式2x的展开式中的第3项为（）A．160B．80xC．D．x3x78x3y3yx18．若变量x,y满足约束条件5x2y4则z的最小值为（）xy1131151A．B．C．D．469．若一个圆锥的轴截面是一个腰长为2，底边上的高为1的等腰三角形，则该圆锥的侧面积为（）A．22πB．2πC．422πD．12π10．11tan35的值为（）A．1B．0C．1D．211指由相互垂直的长短两条直尺为，较短边为，然后将这个圆形木板截出一块四边形木板，该四边形ABCD的顶点都在圆周上，1如右图，若ACCD,sinBAC，则（）35535551525153A．B．C．D．2,2，当x2时，12．已知函数fx的定义域为R,f2xf2x,f52，且x,x121f1f20，则不等式fx4x3x2的解集为（）12A．xx1，或x5B．x1x5C．xx5，或x5D．x5x5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x,yR，空间向量ax,by,．若a∥b，则2xy______．1114．已知正数a,b满足ab2，则的最小值为______．ab15．如果两个球的表面积之比为4:9，那么两个球的体积之比为______．2b1xbfx的图象与x轴的交点关于yab时，16fxxax函数fx______；当函数fx有三个零点时，函数fx的极大值为______．（第一空2分，第二空3分）三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．1712分）已知等差数列a的前n项和为Sn,S34520．n（1）求an的通项公式；1（2）记数列的前n项和为T，求T．nnaan1n1812分）如图，正方体ABCDABCD的棱长为2．1111（1）证明：AC∥平面ACD；111（2）求直线与平面ACD1所成角的正弦值．1912分）当前，以ChatGPT为代表的AIGC（利用AI技术自动生成内容的生产方式）领域一系列创新技术有了革命性突破，全球各大科技企业都在积极拥抱AIGC，我国的BAT（百度、阿里、腾讯3个企业的简AIGC2023年中国AIGC7个科技企业中随机选取3个进行采访．（1）求选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率；（2）记选取的3个科技企业中BAT中的个数为X，求X的分布列与期望．x22y222012分）设椭圆E:1ab0的上顶点为B，左焦点为F．且B,F在直线xy20ab上．（1）求E的标准方程；（2）若直线l与E交于P,Q两点，且点A为中点，求直线l的方程．2112分）已知函数fxx21xxax,fx为函数fx的导函数．2（1）若a1，求fx的最小值；（2）若方程fxe2axx2有解，求实数a的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22104-4：坐标系与参数方程】xt在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为yt（tO为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为24sin30．（1）求直线l的直角坐标方程以及曲线C的普通方程；（2）过直线l上一点A作曲线C的切线，切点为B，求AB的最小值．23104-5：不等式选讲】已知函数fxx3x2．（1）求不等式fx7的解集；4m1（2）证明：mxR，使得fxm．拉萨市2024届高三第一次模拟考试数学理科参考答案及评分细则1Að，所以A7，因为B7,9，所以9【解析】因为U1,3,5,7,9,AUAB3,7，故选A．2Da21a【解析】因为2i1aaia21ai为纯虚数，所以解得a2，故选D．3Ca27,b23，所以c2a2b210，得c10，所以焦点坐标为10,0和【解析】因为10,0，故选C．4Aππgx为偶函【解析】将fx的图象向左平移gxx33ππππ数，且0，所以，得，故选A．23265Ax2【解析】因为fxfx，又函数的定义域为xx0，故fx为奇函数，排除CD；4x4xyx在R上单调递增，当x0时，xx，故44x4x，则fx0，排除B，根据指数函数的性质，故选A．6Bp0【解析】设Mx,y，由4得04，又p4，得02，所以02M4,41625，故选B．7【解析】Ck21180C2k5x5k，所以3C522x3，故选C．因为k13x3xx38Cyx1【解析】根据约束条件画出如图所示的可行区域，再利用几何意义知z表示点x,y与点P1,0135x2y42115连线的斜率，易知直线PA的斜率最小，由得A,，所以z，故选C．xy10332319B【解析】由题意可得该圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，腰长为22l2，底面圆半径r1，所以该圆锥的侧面积为Srlπ122π，故选B．10D【解析】11tan351tan35tan3511tan35tan352，故选D．11A【解析】因为ACCD，所以AD为圆的直径，由题意得10255，因为△在以2155AD为直径的圆上，所以BCADsinBAC55，故选A．3312B【解析】解法一：由f2xf2x可知，fx的图象关于直线x2对称，且在,2上单调递增，在fxx24x，易知函数gx的图象关于直线x2对称，且在上单调递减；令gx,2上单调递增，在上单调递减，则hxgx2关于y轴对称，且在,0上单调递增，在上单调递减，故fx4x3x23gxg5hx2h3x231x5fxx24xx211，则2，故选B．解法二：取满足条件的特殊函数，令fxfx4x3x2x22114x3x2x24x501x5，故选B．131241x11【解析】因为a∥b，所以，即x,y2，得2xy1．y2142ba111111ba1b2ab222，当且仅当ab122【解析】依题意，时取等号．ab2abaab8158:27（填也可以）274【解析】因为球的表面积公式为S4R2，体积公式为VR3，所以由两个球的表面积之比为4:9可3得它们的半径之比为2:3，所以它们的体积之比为8:27．232（第一空2分，第二空3x3x2x1也可以）16x1x19xaxbx1abfx1【解析】fx2fx有3fx的图象与x轴的交点关于y1abfxx1x1轴对称，所以0是函数fx的零点，从而1也是函数fx的零点，于是33fxxx1x1,fx3x21，由fx0，得x，显然当x时，函数fx有33239极大值，极大值为．171）设a的公差为d，naa2a7d451解得．ad21由已知得Saad321．故an1n1d2n111111（2），2n12n3anan122n12n3111112355711所以Tn2n12n311111．232n364n6【评分细则】nn第（2）小题的结果若写成或，不扣分．6n932n3181AC∥AC,AC平面ACD,AC平面ACD，111111AC∥平面ACD．111（2）解：如图，以D为原点，,DC,分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D．1则A2,0,0,C2,0,B2,0,D0,0,0,D0,0,2，12,0,2,BD2,0，所以AC2,0,AD1设平面ACD1的法向量为nx,y,z，n2x2y由得2x2zn1令x1，得n1，BDn2162101BD,n．2233BDn6所以直线与平面ACD1所成角的正弦值为．3【评分细则】如果第一问使用其他方法证明且步骤无误，不扣分．191）选取的3个科技企业中，BAT中至多有1个的概率为C13C24CC43336422．35357（2）由题意，X的所有取值为2,3，CC34374C13CC2418350,PX1PX，3537C23CC141235C3337123PX,PX，37C35所以X的分布列为XP012341124181459EX0123．35353535357【评分细则】1．如有其他解法若正确，也给满分；2．第（2）问最终结果不化为最简扣1分．201）直线xy20与x轴交于点F2,0，与y轴交于点B0,2，所以bca2b2c28，1．x2y2因此E的标准方程为84xxx（2）当直线l的斜率不存在时，l:x1，联立x解得2y27或7，y,y84227272故P,Q，不满足，即A不是的中点，不符合题意．．当直线l的斜率存在时，设直线l:ykx1Px,y,Qx,y112222xy2联立84可得x22kx180，ykx1即2k1x4kkx2k80．2224kk1所以xx．122k121x4kk1121，即1，解得k由于A为的中点，所以2．222k21综上，直线l的方程为y，即x2y30．x112【评分细则】第（2）题中也可以通过其他方法得出斜率的值，步骤结果无误，可给满分．211）当a1时，fxx21xxx，21fx2xx1，x1fx，则gx1x设gx，x2gx在上单调递增，且g10，所以x时，gxfx单调递减，x时，gxfx单调递增，f1所以f(x)1．1，2ax（2）fxe2axx即2x1x2axe22即x21xe2ax1lne2ax，22ax2设hxx1x，则hxhe，11x1hxx1，设mxx1，则mx，xxx2所以x时，xmx单调递减，x时，xmx单调递增，所以mxm120，即hxhx在上单调递增，所以方程fxe2axx2有解即x2e2ax在上有解，x即2axx有解，即ax有解，x1x设nx，则nx，xx2xe时，nxnx单调递增，x时，nxnx单调递减，1所以nxne，e当x0时，nx，11e所以a，即实数a的取值范围是,．e【评分细则】如有其他解法若正确，也给满分．xt221）依题意，由消去t，得直线l的直角坐标方程为xy10；yt24sin30，故x2y24y30，因为即曲线C的普通方程为．（2）由（1）知，曲线C表示以C2为圆心，1为半径的圆，，y221x2AC21所以AB要使得AB最小，只需AC最小，02132又，11223221