2024届广西南宁市三中高三第一次适应性考试数学试题及答案

邕衡金卷·南宁市第三中学（五象校区）2024届高三第一次适应性考试数学本试卷满分150分，考试用时120分钟。注意事项：12．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。答非选择题时，将答案写在答题卡相应位置上，在试题卷上答题无效。3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若集合A={x∈Z|x2−2x−8≤，B={x|log2x>则AB=（）{}{}{}C．4{}A．4B．4=（D．42．若2i)z+=4+，则z）A．2−iB．2+iC．2+i．2−i32023年月12西北海、钦州、南宁、柳州、桂林5个城市举行，线路总长度达958.8公里，共有全球18支职业车队的百余名车手参加。主办方决定选派甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者到AB则不同的安排方案总数为（A．15B．304．已知函数f(x)(3x)(x）C．25(0<a<D．16=−++f(x)a=的最小值为-2，则，若aa（）133122A．B．C．．32x2y225：+=a>b>F,Fy=3x与椭圆交12a2b于A、B两点，若FFB四点共圆，则椭圆的离心率为（）1233−12A．B．3．3−1．3数学试题第1页（共46．已知直线l:x+y+m=0和圆C：x2+y2+4y=0相交于M，N两点，当的m=面积最大时，（）A．m=0或m=2C．m=0或m=4B．m=4或m=4D．m=0或m=4{}a=1pan1an2n1+2题q：a−{2n}是等比数列，n+=n7an中，1则p是q）条件.A．充分不必要B．必要不充分D．既不充分也不必要+θ=3，则tanθ=C．充分必要π()28．设0<θ<，若θ+θ（）2A．22−7B．3−2C．2−3D．3−22二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.()，由这组数据得到另一组新的样本数据9．已知一组样本数据i2i1≤i≤iN+=∈y,y,,y，其中y=x−20，则（）1210iiA．两组样本数据的平均数相同B．两组样本数据的方差相同C．样本数据y,y,,10的第百分位数为12D．将两组数据合成一个样本容量为的新的样本数据，该样本数据的平均数为10π210．已知函数f(x)Aωx+φ)（A0，=>ω>0，|φ<）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）π6()的图象关于直线对称A．函数fxx=πB．函数f(x)的图象关于点(,0)对称2ππC．函数f(x)在,的值域为[−2,2]π12D．将函数f(x)的图象向右平移个单位，所得函数为g(x)2sin2x=()对任意实数，都有()()()()，xyfx+y+fx−y=2fxfyf(0)≠0，则以下结论一定正确的有（R的函数fx1且f0，2=）A．(0)1f=B()fx．是奇函数1C．f(x)关于,0中心对称2．f)+f(2)++f()=0数学试题第2页（共4π212．如图，透明塑料制成的直三棱柱容器ABCABC内灌进一些水，=−∠，）111=AA1=4A．当底面AACC水平放置后，固定容器底面一边于水平地1111B．转动容器，当平面AACC水平放置时，容器内水面形成的截11面与各棱的交点都是所在棱的中点C．在翻滚、转动容器的过程中，有水的部分可能是三棱锥32D．容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为8π三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共分.()−xe−x是奇函数，则a=13．已知函数fx=a⋅e.(2,3)，则14．已知向量，b满足a1，=b=2a−b=，a+b=.a15．已知圆台轴截面的面积为6，轴截面有一个角为°，则该圆台的侧面积为___________.16x2=2py(p>0)交于ABF⋅=,⊥于点D，点D的坐标为(−2,1)，则AF+BF=__________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分分）1在中，a=3，b−c=2，cosB=−.2（1）求b，c的值；（2）求sin(B+C)的值.18.（本小题满分分）第三次人工智能浪潮滚滚而来，以ChatGPT发布为里程碑，开辟了人机自然交流的ChatGPTChatGPT5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球.（122个球都是红球的概率；（2）掷一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱子随机抽出1个球；如果点数大于等于51个球.的概率.数学试题第3页（共419.（本小题满分分）x2y22−=1a0,b0经过点6，其渐近线方程为y=±2x.)已知双曲线：−(>>)a2b（1）求双曲线C的方程；()l（2P的直线与双曲线C相交于ABP能否是线段AB的中点？请说明理由.20.（本小题满分分）−，H在⊥平面，∠ACD=，=2，=4，=3，⊥.（1）证明：⊥BD；123316=Δ与平面所（2，DEF面积为成角的正弦值．21.（本小题满分分）已知等比数列a}的前nS，且a=2Sn+2(n∈N*nnn1（1）求数列an}的通项公式；（2）在n与an1之间插入ꢀ个数，使这n+2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列d}中是否存在3项d，d，d（其中，k，mpnmkp数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由．22.（本小题满分分）12已知函数f(x)=2−ax+1−ax+1a∈R．()()x()fx（1）讨论函数的单调性；12()（2）当a1时，求证：=f(x)≤xex−1+2x−2lnx．数学试题第4页（共4邕衡金卷·南宁市第三中学（五象校区）2024届高三第一次适应性考试参考答案数学1.C【解析】Bx|x,A2,AB2i)z42.B【解析】由得z2iz2i.3.B【解析】C54．C【解析】由f(x)loga(x1A22C52A2230.30种不同的安排方案种数.3x0x101x3，得22xloga[(x2(0a0(x442为0a1，所以loga[(x2loga4f(x)a42，所以1212a4.F、A、F、BF,5.C【解析】因为四点共圆，所以12122222FF又22且，1121132a）c22(2c)2,31.4y0的圆心为2CMNC：x2y2r2的面积最大2mCl到直线的距离222m0或m4.an2n12nan12n1(an2n)7.A【解析】由an1，是首项为12an2n111的等比数列.满足充分性.由于公比的取值不确定，故不满足必要性.cos28.C【解析】由题意sin3，则13cos23，πππ2即sin22)2)10，由于，33答案第页，共页π3π4ππ3π2π(,)，即，33122tan3故，所以，tan23（舍去负值）.2123x，．【详解】由题意可得：∵iiyx209，s2ys2xB正确，A错误；yi第30百分位数：103y由于求，故为第3个数与第4个数的平均数，的排列为：i，因此，第30百分位数为正确；将两组数据合成一个样本容量为的新的样本数据，新样本的平均数为10xy1212，D错误，故选：BC．91T2π5ππ42πA2Tπ，π，可得210.ACD【详解】由图得，43122f(x)2cos(2x)f()2cos()22kZ，则3332k0有，kZ||，综上，f(x)2cos(2x).3233f()2cos()2x，即图象直线对称，故A正确；63363f()2)10(,0)，即图象不关于点对称，故B错误；2322x[,]2x[,]cos(2x)[f(x)[2]36432故C正确；将函数fx的图象向右平移个单位，得g(x)2cos[2(x)]2cos(2x)2sin2xD正确；故选32xy0f0f02f0f0f00或f01f(0)0，11.ACf(0)1Ax0f(y)f(y)2f(0)f(y)f(y)f(y)fx则以1是偶函数，因此B错误。令x212121121212fy=0ffxfyfy2ffyy=0，所以,02中12f(x)fx)是偶函fxCfx,0中心对称可得答案第页，共页121122数，所以fx的周期为xyf1f02ff=0f+f=f+f=0，进而f1f2f20221011f1f2=01Df2023．AD【详解】A：当平面AACC水平放置时（CCff(0)故选：.111//ABC，侧棱也平行，所以没有水的部分一定是棱柱，故A正确；111：当平面AACC水平放置时，假设D,E,F,G都为所在棱的中点，设水面到底面的的距离111111232,bVS1abCC2ababab为h，，所以水的体积为，ABC1222123又转动前水的体积为VS1ab2ab，ABC22D,E,F,G不为所在棱的中点，故B错误；作为底面，AA1作11123AV1S4，1133223而转动前水的体积为V，所以有水的部分不可能是三棱锥，故C错误；DAC,AC的中点,D，连接的中点O，连接D为t11111接圆圆心，O为三棱柱-ABC外接球的球心，所以为外接球的半径，且111443233OA222222球R3π22πA3V水可知，容器中水的体积为a2b24216，所以ab28，2V水当且仅当ab222ab163328π，222π64644ππ3332即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为D正确.8π故选：AD.得f00a1．【详解】由.答案第页，共页2,3a1，b2，ab【详解】因为向量a，b，(ab)25(ab)2a22abb11617.4【详解】如图，圆台的轴截面为等腰梯形，作，设212ab45，ab0，|aba2+4ab4b2CDO22r2RhAO,DO,ADSrRh6，211222又120，90，所以30，在Rt中，hl330②，由①②可得：rRl43，所以圆台的侧面积为2rRl4.10201【详解】如图，kABkkk222y2x5D在直线l:y1x2即y2x5x22xx4px2410p0，设x,y,Bx,y，由韦达定理得12，所以11221x210px21x22x,y,x,y,xxyyxx10p2011221212122p2pxx2121p，所以12，根据抛物线的定义，准线为y，所以xx5412111yy2x52x5xx.12121244222答案第页，共页1217.）a3，bc2，B.1由余弦定理，得b2a2c2B9b2)223b2)()，2b7，cb25.......................................................................................5分132ABC中，cosB，sinB，2233abasinB332由正弦定理有：，sinA，sinAsinBb733sin(BC)sin()sinA.....................................................................5分（）设事件A表示抽出的2个球中有红球”，事件B表示两个球都是红球，.........1分P()1C29则，...................................................................................2分C25CC23253P(AB)，............................................................................................3分103PPA139PBA故...............................................................................5分2）设事件C表示“从乙箱中抽球C表示“从甲箱中抽球，事件D表示“抽到红球”26134623PCPC，........................................................................6分,43PD|CPD|C.............................................................................7分55,PDPCDPCD..............................................................................8分答案第页，共页PCPD|CPCPD|C..........................................................9分1423353523.....................................................................10分14PCPD|CPD2352PC|D.............................................................12分532262b1）由题意知：1，2，...............................................4分a2b2aa1，b2，y2所以双曲线的方程为x21。............................................................................5分2P（2）当直线lx轴时，因为过点，所以直线l方程为x=1，y2又双曲线x21，右顶点为（1,0）在直线l上2所以直线l与双曲线只有一个交点，不满足题意；...........................6分(x,yB(x,y)xx，因为、B在双曲12当直线l不垂直x轴时，斜率存在，设1122线上，21x2111122(1222)(12y2)02，，两式相减可得y22x2221(xx)(xx)(yyyy)0，..........................8分121212122xx1211x2221P为线段的中点，则，代入上式，yy2yy211221y1221k2，.................9分xx(yy)，则直线l的斜率12122所以直线l的方程为y12(xy2x1，........................10分答案第页，共页y2x1将直线l与双曲线联立y2，可得2x24x30，x212(42380，故方程无解，所以不存在这样的直线。2综上，点P不能是线段的中点.............................................................................12分【详解】1）CDH中，由余弦定理，23，所以222即AC.......1分，，ADFC，平面∴DH，......3分．......4而，即有又BHBC∴BC平面BHDBCBD.......5分由棱台的定义可知，//EFDB．......6分（2）133S1334RtBCH中，,SS.,2S1又Ssin303HC1........7分2由（）知平面ABC，所以可以为为z分31则(0,B(,,0),D(0,0,23),C(0,2,0),F,23),.........9分2232331(,,0),23),(0,,23),22设平面ABDn(x,y,z)2332n0y0x,取n(6,2分,2n0y23z0答案第页，共页设CF与平面ABD的夹角为,n3363则sin,n解析：1）由题意知：分72n7ꢀ=1时：ꢁꢂ=2ꢁ+2①11ꢀ=2时：1ꢂ2=2(ꢁ+ꢁꢂ)+2②11联立，解得1=2,ꢂ=3...........................................................................2分所以数列ꢁ的通项公式ꢁ=2×ꢀ−1............................................................4分ꢀꢀ（基本量一个一分、结果22）由（）知ꢁꢀ=2×ꢀ−1，所以=ꢀ+(ꢀ+2−1)ꢃꢁ=2×ꢀ.ꢀ+1−ꢁꢀꢀ−1所以ꢀ==.................................................................................6分设数列ꢃ中存在3ꢃ，ꢃꢃm，，p成等差数列）成等比数列.ꢀꢄꢅꢆ2ꢃ⋅ꢃ，ꢅꢄꢆ224×3ꢅ−14×3ꢄ−14×3ꢆ−1ꢅ−1ꢅ+142×3ꢄ+ꢆ−2=⋅=.................................................7分(ꢄ+1)(ꢆ+1)又因为，kp成等差数列,=ꢄ+ꢆ............................................................................................8分所以+1)2=(ꢄ+1)(ꢆ+1)......................................................................9分化简得2+2ꢅ=+ꢄ+ꢆ所以2=ꢄꢆ..........................................................................................10分又=ꢄ+ꢆ，所以ꢅ=ꢄ=与已知矛盾................