预习09直线与圆圆与圆的位置关系（八大考点）（原卷版）

预习09直线与圆、圆与圆的位置关系一、直线与圆的位置关系位置关系相交相切相离公共点个数2个1个0个判定方法几何法：设圆心到直线的距离代数法：由消元得到一元二次方程，判别式为图形二、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系的判定方法有几何法和代数法两种，如下表：位置关系几何法代数法图示外离外切相交内切内含考点01 直线与圆的位置关系【方法点拨】判断直线与圆位置关系的三种方法：（1）几何法：由圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系判断；（2）代数法：根据直线与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．【例1】直线与圆的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．无法确定【例2】已知直线，圆，则“与有公共点”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式11】圆与直线的交点个数为（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．与k的取值有关【变式12】“”是直线和圆相交的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式13】在平面直角坐标系xOy中，直线与圆C：相交于点A，B，若，则（

）A．或 B．－1或－6 C．或 D．－2或－7考点02 直线与圆的相切问题【方法点拨】（1）求过圆上一点的圆的切线方程的方法：先求切点与圆心的连线所在直线的斜率，再由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可得切线方程．若或不存在，则切线的斜率不存在或为0，从而可直接得切线方程为或；（2）求过圆外一点的圆的切线方程一般采取几何法：设切线方程为，即，由圆心到直线的距离等于半径长，可求得，切线方程即可求出．【例3】圆在点处的切线方程为．【例4】设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A． B． C． D．【变式21】已知圆经过两点，，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)求过点且与圆相切的直线方程.【变式22】已知和点，则过点的的所有切线方程为.【变式23】过点向圆作两条切线，切点分别为，若，则（

）A．或 B．或 C．或 D．或考点03 圆的弦长问题【方法点拨】一般用几何法：由于半径、弦长距、弦长的一半构成直角三角形，所以利用求解【例5】直线被圆所截得的弦长为.【例6】过点的直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A． B． C．4 D．2【变式31】已知直线被圆心为的圆截得的弦长为，则该圆的方程为（

）A． B．C． D．【变式32】已知直线与圆相交于A，B两点，若，则（）A． B．1 C． D．﹣2【变式33】过坐标原点O作两条互相垂直的直线OA，OB，点A，B（异于点O）均在圆上，则面积的最大值为（

）A．26 B． C．13 D．考点04 直线与圆的实际应用【方法点拨】①认真审题，明确题意，从题目中抽象出儿何模型，明确已知量和未知量；②建立平面直角坐标系，求出相关各点的坐标，从而在实际问题中求出直线与圆的方程；③利用直线与圆的方程的有关知识求解问题；④将运算结果还原到实际问题中【例7】如图，圆弧形拱桥的跨度米，拱高|米，则拱桥的直径为（）A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米【例8】如图，第25届中国机器人及人工智能大赛总决赛中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含地界和内部），长为12米，在边上距离B点5米的E处放置一只机器犬，在距离B点2米的F处放置一个机器人，机器人行走的速度为v，机器犬行走的速度为，若机器犬和机器人在场地内沿着直线方向同时到达场地内某点P，则机器犬将被机器人捕获，点P叫成功点．(1)求在这个矩形场地内成功点P的轨迹方程；(2)若N为矩形场地边上的一点，若机器犬在线段上都能逃脱，问N点应在何处？【变式41】（多选）某市为了改善城市中心环境，计划将市区某工厂向城市外围迁移，需要拆除工厂内一个高塔，施工单位在某平台的北偏东方向处设立观测点，在平台的正西方向处设立观测点，已知经过三点的圆为圆，规定圆及其内部区域为安全预警区.以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现，在平台的正南方向的处，有一辆小汽车沿北偏西方向行驶，则（

）

A．观测点之间的距离是B．圆的方程为C．小汽车行驶路线所在直线的方程为D．小汽车会进入安全预警区【变式42】为了保证海上平台的生产安全，海事部门在某平台的正东方向设立了观测站，在平台的正北方向设立了观测站，它们到平台的距离分别为12海里和海里，记海平面上到观测站和平台的距离之比为2的点的轨迹为曲线，规定曲线及其内部区域为安全预警区．

(1)如图，以为坐标原点，，为，轴的正方向，建立平面直角坐标系，求曲线的方程；(2)海平面上有渔船从出发，沿方向直线行驶，为使渔船不进入预警区，求的取值范围．【变式43】如图，某海面有O，A，B三个小岛（小岛可视为质点，不计大小），A岛在O岛正东方向距O岛20千米处，B岛在O岛北偏东45°方向距O岛千米处．以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，10千米为一个单位长度，建立平面直角坐标系．圆C经过O，A，B三点．

(1)求圆C的方程；(2)若圆C区域内有未知暗礁，现有一渔船D在O岛的南偏东30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东30°方向行驶，若不改变方向，试问该渔船是否有触礁的危险？请说明理由．考点05 圆与圆位置关系的判断【方法点拨】判断圆与圆的位置关系的一般步骤：①将两圆的方程化为标准方程；②分别求出两圆的圆心坐标和半径；③求两圆的圆心距；④比较与的大小；⑤根据大小关系确定圆与圆的位置关系．【例9】如果两个圆没有公共点，那么它们一定外离；如果两个圆只有一个公共点，那么它们一定外切，这种说法是否正确？【例10】（多选）已知圆，圆，则下列结论正确的是（

）A．若和外离，则或B．若和外切，则C．当时，有且仅有一条直线与和均相切D．当时，和内含【变式51】已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（

）A．内含 B．相切 C．相交 D．外离【变式52】（多选）已知圆，若圆上仅存在一点使，则正实数的取值可以是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【变式53】已知圆．(1)求直线被圆截得弦长；(2)已知圆过点且与圆相切于原点，求圆的方程．考点06 两圆相切问题【方法点拨】将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值（内切时）或两圆半径之和（外切时）【例11】已知圆和圆，则两圆公切线的条数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【例12】曲线关于对称后的曲线为，则公切线为（

）A． B．C． D．【变式61】圆与圆的公切线长为.【变式62】平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程．【变式63】已知圆和，则圆与圆的所有公切线中斜率的最大值为.考点07 两圆公共弦长问题【方法点拨】方法一，联立两圆方程求出交点坐标，再用距离公式求解；方法二，先求出两圆公共弦所在的直线方程，再利用半径长、弦心距和弦长的一半构成的直角三角形求解．【例13】圆与圆的公共弦长为（

）A． B． C． D．【例14】已知是圆与圆的公共点，则的面积为（

）A．3 B． C． D．【变式71】圆和圆的公共弦所在的直线方程是（

）A． B．C． D．【变式72】古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代数学的重要成果．其中有这样一个结论：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆．已知点，动点满足，则点的轨迹与圆的公共弦长为（

）A． B． C． D．【变式73】圆与圆的公共弦长为，则过点且与圆相切的直线方程为．考点08 过两圆的交点的圆问题【方法点拨】已知圆与圆相交，则过两圆交点的圆的方程可设为注意：此方程不包括圆的方程【例15】已知圆，圆，则过圆与圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为.【例16】已知点M到点的距离与点M到点的距离之比为.(1)求M点的轨迹C的方程；(2)求过轨迹C和的交点，且与直线相切的圆的方程；【变式81】圆心在直线上，且经过圆与圆的交点的圆的方程为.【变式82】已知圆C：．(1)求过点且与圆C相切的直线方程；(2)求圆心在直线上，并且经过圆C与圆Q：的交点的圆的方程．【变式83】已知圆与圆的相交于两点.(1)求线段的长度；(2)若圆经过圆与圆的交点，且圆心在直线上，求圆的方程.一、单选题1．已知点，圆，若圆上存在点使得，则实数的最小值是（

）A．－1 B．1 C．0 D．22．已知直线被圆截得的弦长为整数，则满足条件的直线共有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条3．过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（

）A． B． C． D．4．已知圆和圆相交于两点，点是圆上任意一点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．5．已知动点到原点与到点的距离之比为，记的轨迹为，直线，则（

）A．是一个半径为的圆B．上的点到的距离的取值范围为C．被截得的弦长为D．上存在四个点到的距离为二、多选题6．已知直线与圆交于A，B两点，则的值可以为（

）A．3 B．4 C．5 D．67．已知直线与圆相交于两点，下列说法正确的是（

）A．若圆关于直线对称，则B．的最小值为C．当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点D．若（为坐标原点）四点共圆，则三、填空题8．已知圆，圆，若两圆相交，则正实数的取值范围是.9．已知圆以点为圆心，且与直线相切，则满足以上条件的圆的半径最大时，圆的标准方程为．四、解答题10．求满足下列条件的曲线方程：(1)求过点且与圆相切的直线方程；