24版高中同步新教材选择性必修第一册苏教版数学备课4.4　数学归纳法

选择性必修第一册

苏教版高中数学一般地,证明一个与正整数n有关的数学命题,可按如下两个步骤进行:(1)证明当n=n0(n0∈N*)时命题成立;(2)假设当n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.根据(1)(2)就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.上述证明方法叫作数学归纳法.4.4数学归纳法❋

|数学归纳法知识点必备知识清单破知识辨析1.用数学归纳法证明问题时,第一步一定是验证当n=1时结论成立吗?2.证明与正整数n有关的命题时,只需当n取前几个值时命题正确就可以吗?3.在利用数学归纳法证明问题时,如果推理过程正确,就可以不用归纳假设吗?4.用数学归纳法证明等式时,由n=k到n=k+1,等式的左边一定只增加了一项吗?一语破的1.不一定.如证明凸n边形的内角和为(n-2)·180°,第一步要验证当n=3时结论成立.2.不可以.由前几个值命题正确,推不出与正整数n有关的命题正确,是不完全归纳法.3.不可以.不用归纳假设,后续的证明就没有了基础,数学归纳法的步骤缺一不可.4.不一定.如用数学归纳法证明“1+a+a2+…+a2n+1=

(a≠1)”时,由n=k到n=k+1,等式的左边增加了两项.用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立,得n=k+1时成立,主要方法有比较法、

放缩法等.用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要

求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.对第二类往往要先对n取前k个值

的情况分别验证比较,以免出现判断失误的情况,最后猜出从某个k值开始都成立的结论,常

用数学归纳法证明.1|用数学归纳法证明不等式定点关键能力定点破典例用数学归纳法证明:

+

+…+

>1-

+

-

+…+

-

(n∈N*).证明

(1)当n=1时,左边=1,右边=1-

=

,左边>右边,所以不等式成立.(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式成立,即

+

+…+

>1-

+

-

+…+

-

,则当n=k+1时,

+

+…+

+

>1-

+

-

+…+

-

+

>1-

+

-

+…+

-

+

=1-

+

-

+…+

-

+

-

,即当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2)知,不等式对任何n∈N*都成立.“归纳—猜想—证明”的解题步骤

2|用“归纳—猜想—证明”解决与递推公式有关的数列问题

定点典例已知数列{an}中,

=-

,其中n≥2,且n∈N*.从条件①:a1=

与条件②:a1a2=-

,且a1>0中任意选择一个,完成下面的问题.(1)求a2,a3,a4,并猜想{an}的通项公式;(2)证明(1)中的猜想.解析

(1)选条件①.由题意可得a2=a1·

=-

,同理可得a3=

,a4=-

,猜想an=

(n∈N*).选条件②.由题意可得

=-

=-

,∵a1>0,a1a2=-

,∴a1=

,a2=-

,∴a3=a2·

=

,同理可得a4=-

,猜想an=

(n∈N*).(2)证明:显然当n=1时,猜想成立,假设当n=k时,猜想成立,即ak=

(k∈N*),当n=k+1时,由

=-

,可得ak+1=-

·ak=-

·

=

=

(k∈N*),即当n=k+1时,猜想也成立.综上所述,an=

(n∈N*).数列在实际问题中有广泛的应用,在此类问题中,建立数列模型是关键,在建立数列模

型的过程中发展数学建模的核心素养,然后利用数列的通项公式、前n项和公式、递推公

式等知识求解,在解模过程中发展逻辑推理的核心素养.

|通过数列在实际问题中的应用发展逻辑推理和数学建模的核心素养素养学科素养情景破素养解读例题从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.

根据规划,2021年投入资金1000万元,以后每年投入比上年减少10%.预测显示,2021年当地

旅游业收入为300万元,以后每年收入比上年增加20万元.根据预测,解答以下问题:(1)从2021年至2030年,该地十年的旅游业收入共计多少万元?(2)从哪一年起该地的旅游业总收入将首次超过总投入?(参考数据:0.96≈0.531,0.97≈0.478,0.98≈0.430,0.918≈0.15009,0.919≈0.13509)典例呈现信息提取

①由投入资金的相关信息可建立等比数列模型;②由旅游业收入的相关信息可

建立等差数列模型.解题思路

(1)以2021年为第1年,设第n年旅游业收入为an万元,则数列{an}是以300为首项,20为公差的等差数列,设其前n项和为An,故an=300+20(n-1)=20n+280,An=300n+

×20=10n2+290n,所以A10=10×102+290×10=3900.因此从2021年至2030年,该地十年的旅游业收入共计3900万元.(2)以2021年为第1年,设第n年投入资金为bn万元,则数列{bn}是以1000为首项,0.9为公比的

等比数列,设其前n项和为Bn,故bn=1000·0.9n-1,Bn=

=10000(1-0.9n),设cn=An-Bn,则cn+1-cn=an+1-bn+1=300+20n-1000·0.9n,令f(n)=300+20n-1000·0.9n(n∈N*),则f(n)为增函数,且f(7)<0,f(8)>0,故c1>c2>…>c8,c8<c9<c10<