2025年高考数学一轮复习讲义 考点归纳与方法总结 第07练 函数的单调性与最值（精练：基础+重难点）（含解析）

2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）第07练函数的单调性与最值（精练）1.借助函数图像，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值.2.理解函数单调性与最值的作用和实际意义.一、单选题1．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.2．（2023·全国·高考真题）已知函数．记，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可.【详解】令，则开口向下，对称轴为，因为，而，所以，即由二次函数性质知，因为，而，即，所以，综上，，又为增函数，故，即.故选：A.3．（2023·全国·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以的取值范围是.故选：D【A级

基础巩固练】一、单选题1．（2024·广西·二模）下列函数中，在上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意，依次分析选项中函数的定义域及单调性，综合即可得答案.【详解】对于A，，其定义域为，不符合题意；对于B，，在上为减函数，不符合题意；对于C，，在上单调递减，不符合题意；对于D，，在上单调递增，符合题意；故选：D.2．（23-24高二下·北京·阶段练习）已知函数，则下列选项正确的是（

）.A． B．C． D．【答案】D【分析】利用导数判断的单调性，结合单调性比较大小.【详解】因为在上恒成立，可知在上单调递增，又，所以.故选：D.3．（23-24高二下·四川·期中）函数的单调递减区间为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据复合函数的单调性判断即可.【详解】由，则，解得或，所以函数的定义域为，令，则是增函数，又在上单调递减，所以的单调递减区间是.故选：A.4．（2024高二下·陕西西安·学业考试）已知，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用指数函数和对数函数的单调性确定幂值和对数值的范围即得.【详解】因，即，又，即，而，即，故.故选：A.5．（23-24高一上·甘肃白银·期中）函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数的单调性，可得关于x的不等式，即可求得答案.【详解】由题意知函数是定义在上的增函数，则由，得，解得，即，故选：D6．（23-24高二下·北京·阶段练习）下列函数中，满足“任意，且，都有的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可知：在内单调递减，结合选项分析判断.【详解】由题意可知：在内单调递减，对于选项A：因为在内单调递减，可知在内单调递减，故A正确；对于选项BCD：此时在内单调递增，故BCD错误；故选：A.7．（23-24高三上·云南大理·期中）若对，使得（且）恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分与两种情况，对不等式变形后，结合函数单调性求出最值，从而得到实数的取值范围.【详解】若（且）对任意的都成立．①当时，，由变形得到，故，因为指数函数在上单调递增，故要使得对任意成立，只需，即得；②当时，变形为，即得，因为指数函数在上单调递减，要使得对任意成立，只需，即，即得，因此，结合题意可知要使得对，使得（且）恒成立，取与的交集，可知，故选：A．8．（2023·全国·模拟预测）已知点在直线上，若，则下列选项正确的是（

）A．有最大值，最小值4 B．有最大值，没有最小值C．没有最大值，但有最小值4 D．没有最大值也没有最小值【答案】C【分析】利用指数运算将化简变形为可以利用基本不等式的形式，然后利用基本不等式并结合“”进行求解得到最小值，根据指数函数单调性得到没有最大值.【详解】若点在直线上，则，即，所以，当且仅当即时等号成立，此时取得最小值4，又因为在上单调递增，所以时，此时因为，所以，而，所以，即没有最大值，故选：C.9．（23-24高三上·江苏南通·期中）已知函数在内单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据给定条件，可得，恒成立，结合给定单调性列式求解即得.【详解】依题意，，恒成立，即，恒成立，则，函数有意义，则，解得或，显然函数在上单调递增，因此函数在上单调递增，从而函数在上单调递增，所以实数的取值范围是.故选：D二、多选题10．（23-24高一上·浙江·期末）下列函数的值域为且在定义域上单调递增的函数是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】结合基本初等函数的单调性及值域检验个选项即可判断.【详解】根据幂函数的性质及函数图象的平移变换可知：在上单调递增且值域为，故A符合题意；根据指数函数的图象和性质可得：的值域为，故B不符合题意；根据对数函数的图象和性质可得：在上单调递增，值域为，故C符合题意；根据反比例函数的图象和性质可知：在和上单调递增，但在定义域上不单调，故D不符合题意.故选：AC11．（23-24高一下·甘肃定西·开学考试）设函数（，且），若，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】利用求得的解析式，从而得到的奇偶性与单调性，从而得解.【详解】因为，，所以，解得（负值舍去），则，易得是偶函数，且在单调递减，在单调递增，故，，，故AD正确，BC错误.故选：AD.12．（23-24高一上·安徽·期末）已知，为实数，且，则下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用函数单调性和反例可得答案.【详解】对于A，，而，故A不正确；对于B，因为为减函数，，所以，故B正确；对于C，因为为增函数，，所以，故C正确；对于D，，而，故D不正确.故选：BC.13．（23-24高三上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）若函数的最小值为，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】求出函数的对称轴，分、、三种情况，分别求出函数的最小值，即可求出参数的值.【详解】函数开口向上，对称轴为，若，即时，解得或（舍去），若，即时，函数在上单调递减，所以，解得，若，即时，函数在上单调递增，所以，解得（舍去），综上可得或.故选：BD三、填空题14．（23-24高三上·湖北·阶段练习）已知,则函数的最大值与最小值的和为．【答案】16【分析】根据对勾函数的性质求解即可.【详解】解：由对勾函数的性质可知在上单调递减，在上单调递增，所以，又因为，，所以，所以.故答案为：15．（2024高一·全国·专题练习）函数的单调区间为【答案】增区间为和，无单调递减区间，【分析】分离常数，即可求解.【详解】，所以的单调递增区间为和故答案为：单调递增区间为和，无单调递减区间，16．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知函数，则当时；的最大值为．【答案】9【分析】将函数分离常数可得，再由反比例函数性质可得当时，取最大值9.【详解】易知，所以，由反比例函数性质可知当时，取最大值，；故答案为：917．（23-24高一上·广东河源·阶段练习）已知函数在区间上具有单调性，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】分类讨论求得的单调区间，由已知可得或，求解即可.【详解】当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，由函数在区间上具有单调性，可得或，解得或，所以实数a的取值范围是.故答案为：.18．（23-24高二下·上海金山·期中）已知函数，则不等式的解集为.【答案】【分析】结合分段函数性质可得该函数为增函数，利用增函数的性质即可得解.【详解】当时，为增函数，且，当时，为增函数，且，则在上为增函数，则不等式等价为，即，解得：，即不等式的解集为.故答案为：.19．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据复合函数单调性求出在上单调递减，再由在上单调递减，得到，进而求得a的取值范围.【详解】令，则.因为在上单调递减，在上单调递增，在R上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减.因为在上单调递减，所以有，解得.故答案为：20．（2024·陕西安康·模拟预测）已知命题，若为假命题，则的取值范围是【答案】【分析】根据全称命题的真假可知为真命题，由此构造函数，结合单调性求得最值，即可求得答案.【详解】由题意知命题为假命题，则为真命题，设，则，由于在R上单调递增，故在上单调递减，则，故，故答案为：21．（23-24高三上·天津南开·阶段练习）已知，，，则的取值范围为.【答案】【详解】换元令，，整理得，结合二次函数分析求解.【分析】令，，则，，可得，即，解得，则，因为开口向下，对称轴为，可知在上单调递增，且，可知，则，所以的取值范围为.故答案为：.四、解答题22．（2024高一·全国·专题练习）已知二次函数的图象过点，且不等式的解集为.(1)求的解析式；(2)设，若在上是单调函数，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）设，代入点的坐标求出的值，即可求出函数解析式；（2）首先表示出，从而确定其对称轴，依题意得到或，解得即可.【详解】（1）因为不等式的解集为，所以和为关于的方程的两根，且二次函数的开口向上，则可设，，即，由的图象过点，可得，解得，所以，即.（2）因为，对称轴，因为在上是单调函数，所以或，解得或，即实数的取值范围.23．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知偶函数的定义域为，.(1)求实数的值；(2)判断的单调性，并给出证明.【答案】(1)(2)在R上单调递增，证明见解析【分析】（1）根据函数为偶函数，得到，结合定义域关于原点对称，得到方程，求出实数的值；（2）利用定义法求解函数的单调性步骤：取值，作差，判号，下结论.【详解】（1）偶函数的定义域为，有，解得，且，即，故，解得；（2）单调递增，证明如下：由（1）知，，定义域为R，设，则，易得，，，则，即，所以在R上单调递增.24．（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知函数.(1)当时，求的最大值和最小值；(2)若，使成立，求实数的取值范围.【答案】(1)最大值为170，最小值为(2)【分析】（1）换元后得到，，求出最值；（2）转化为，只需，根据对勾函数的单调性得到函数最值，得到，求出答案.【详解】（1）令，故，当时，取得最小值，最小值为，又，，故的最大值为170，最小值为；（2），即，令，故在上有解，，只需，其中在上单调递减，在上单调递增，又当时，，当时，，故，解得，故实数的取值范围为.【B级

能力提升练】一、单选题1．（2024·安徽安庆·三模）已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据图象经过点得到解析式，再由单调性和奇偶性化简不等式即可求解.【详解】由题意知，解得，所以，其在上单调递增，又因为，所以函数为奇函数，，所以不等式可化为，于是，即，解得或.故选：C．2．（2024·贵州黔东南·二模）已知正实数，满足，则的最大值为（

）A．0 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据等式关系构造函数，由其单调性可得，于是结合基本不等式可得的最大值.【详解】由题，构造函数，则，显然在上单调递增，所以，即，所以，当且仅当，时等号成立.所以的最大值为0.故选：A.【点睛】关键点点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知函数，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】判断的奇偶性和单调性，再根据函数性质求解不等式即可.【详解】，定义域为，又，故为偶函数；又当时，均为单调增函数，故为上的单调增函数；又，故当时，，则此时为上的单调增函数，故时，为单调减函数；，即，则，即，，也即，解得.故选：A.4．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，若，使得成立，则实数m的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先求出分段函数的最小值；再求解不等式的解集即可.【详解】因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，函数取得最小值.又因为函数在区间上单调递增，所以当时，.综上可得函数的最小值为.因为，使得成立，所以，解得：或.故选：C.5．（2024·全国·模拟预测）命题，命题：函数在上单调，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由命题求出的取值范围，再判断充分性和必要性即可.【详解】设，则可化为．充分性：当时，函数在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增，因此充分性成立．必要性：当时，在上单调递减，在上单调递减，且，所以在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减，且在上恒成立，所以，则，此时函数在上单调递减．综上可知，当函数在上单调时，或，因此必要性不成立．所以是的充分不必要条件．故选：A．【点睛】易错点点睛：本题以含有参数的对数型函数的单调性为背景，考查充分条件与必要条件的判断，体会函数思想、分类讨论思想的应用．先考虑充分性，再考虑命题为真命题时，参数的取值范围，对参数进行分类讨论，同时不要忘记考虑真数大于0这一情况，这是本题的易错点.二、多选题6．（2023·云南昆明·模拟预测）设偶函数在上单调递增，则下列结论中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用函数的单调性、奇偶性分析运算即可得解.【详解】因为函数为偶函数，所以；又因为偶函数在上单调递增，则，所以，，且由函数为偶函数知在上单调递减，故对于选项A和B，∵，在上单调递减，∴，故A错误，B正确；对于选项C和D，∵，，函数为偶函数，在上单调递减，∴，故C正确，D错误.故选：BC.7．（23-24高三上·贵州·开学考试）已知函数，，若对任意．及对任意，都有，则实数a的值可以是（

）A． B． C．2 D．3【答案】CD【分析】因为对任意及对任意，都有，所以，根据以及解析式的结构分别求出最小值和最大值即可.【详解】当对任意时，，当且仅当，即时，等号成立，所以在上；又，当，即时，在上，由，解得，所以；当，即时，在上，由，解得，所以；综上可知，实数a的取值范围是；故选：CD．8．（23-24高三下·湖北·开学考试）设函数且在区间上单调递减，则的取值可以为（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】利用导数可求得的单调性，由此可得的大致图象；分别在和的情况下，根据复合函数单调性可确定的单调性，结合的图象可构造不等式组求得的范围.【详解】令，，，当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减；令，解得：或，的大致图象如下图所示，

当时，若在上单调递减，则在上单调递减，，解得：；当时，若在上单调递减，则在上单调递增，或，解得：；综上所述：实数的取值范围为，可能的取值为和.故选：AC.三、填空题9．（2022高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为．【答案】【分析】求出函数的定义域，确定由复合而成，判断这两个函数的单调性，根据复合函数的单调性，即可求得答案.【详解】由题意知函数，令，则，则即由复合而成，由于在上单调递减，故要求函数的单调递减区间，即求的单调递增区间，而的对称轴为，则的单调递增区间为，则函数的单调递减区间为，故答案为：10．（2024高三·上海·专题练习）已知函数，则不等式的解集是【答案】【分析】首先根据函数的图象判断函数的单调性，根据单调性求解不等式.【详解】作出函数的图像如图所示，由图可知，函数在R上单调递增，

因为，所以等价于，即，解得，所以不等式的解集是．故答案为：11．（2024·全国·模拟预测）设，则函数的最大值为．【答案】【分析】平方后，设，得到，，根据函数单调性得到最值，得到答案.【详解】设，，两边平方得．设，两边平方得，则，由于，，则，，又由于在区间上单调递增，所以当时,的最大值为，则在区间上的最大值为．故答案为：12．（23-24高三上·北京东城·期末）设函数①若，则的最小值为.②若有最小值，则实数的取值范围是.【答案】【分析】对①，分别计算出每段的范围或最小值即可得；对②，由指数函数在开区间内没有最小值，可得存在最小值则最小值一定在段，结合二次函数的性质即可得.【详解】①当时，，则当时，，当时，，故的最小值为；②由，则当时，，由有最小值，故当时，的最小值小于等于，则当且时，有，符合要求；当时，，故不符合要求，故舍去.综上所述，.故答案为：；.四、解答题13．（23-24高三上·上海虹口·期中）已知且，函数，．对任意，恒成立，且．(1)求实数b，c的值．(2)若在上是严格增函数，求实数a的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由可知的对称轴为，结合列式求解即可；（2）根据对数的定义可知在上恒成立，可得，且，再结合复合函数单调性分析求解.【详解】（1）因为，可知的对称轴为，且，则，解得.（2）由（1）可知：，则，由题意可知：在上恒成立，即在上恒成立，可得，且，可知开口向上，对称轴为，即在上是严格增函数，若在上是严格增函数，则所以实数a的取值范围.14．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，记是在区间上的最大值．(1)当且时，求的值；(2)若，证明．【答案】(1)或；(2)证明见解析.【分析】（1）由在上的最大值在的端点处或对称轴处取得，分类讨论求出的值并检验即可；（2），由，求出的取值范围即可证明结论.【详解】（1）时，，易知，在上的最大值在的端点处或对称轴处取得．而，所以或若，解得或，此时，或，当，在上单调递增，最大值为；当时，在上单调递增，最大值为；若，解得，当时，，在上单调递增，最大值为；当时，，在上单调递增，最大值为，综上，或．（2）由，得，即，所以，且，所以，而，所以，即.15．（23-24高三上·上海松江·期中）设函数且.(1)若，判断的奇偶性和单调性；(2)若，求使不等式恒成立时实数的取值范围；(3)若，且在上的最小值是，求实数的值.【答案】(1)奇函数，单调递增；(2)(3)【分析】（1）利用函数奇偶性和单调性的结论即可判断；（2）由解得，由（1）知为减函数且为奇函数，利用奇偶性和单调性可知原不等式等价于，利用二次函数恒成立即可求解；（3）由可得，，令，则根据其单调性可得，，对称轴为，分别讨论和时，的最小值即可求解．【详解】（1）的定义域为，关于原点对称；又因为，所以是上的奇函数；，因为，所以，又因为均为在上的增函数，则也为在上的增函数.（2），即，所以，因为，所以，由（1）知在上单调递增的奇函数，原不等式等价于，所以，即恒成立，所以，解得：，所以实数的取值范围是：.（3），即，解得：或（舍）所以，令，则在单调递增，所以，，对称轴为，当时，，解得：或（舍）当时，，解得：不符合题意，综上所述：．【C级

拓广探索练】一、单选题1．（2024·安徽淮北·二模）当实数变化时，函数最大值的最小值为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先对内函数对应的方程的根的情况分类讨论，得出时，结果为16，对于时，求出两根，根据图象，就内函数的零点与区间端点的位置进行分类考虑，利用函数单调性分析即得.【详解】若，即时，，其对称轴为，，此时，因，故的最小值为16；若，由可得，（Ⅰ）如图1，当时，即时，在上递减，在上递增，在上递减，在上递增，又，①当时，，故，而在上单调递减，则此时，；②当时，，故，而在上单调递增，则此时，.（Ⅱ）如图2，当，即时，在上单调递增，在上单调递减，则此时，而在上单调递减，则.综上，函数最大值的最小值为8.故选：D.【点睛】方法点睛：本题主考查绝对值函数在给定区间上的最值问题，属于难题.解决绝对值函数的方法，主要是根据其内部函数的特点，结合图象，就参数分类讨论去掉绝对值，再利用函数的单调性，即可求其最值.2．（2024·云南·二模）已知函数的定义域为，且若，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】当时，判断函数单调性，由单调性可知；当时，根据单调性的性质和复合函数单调性可知单调递增，可得，然后将原不等式转化为即可得解.【详解】当时，，由复合函数的单调性可知在上单调递减，所以；当时，，因为在上