2025年高考数学一轮复习 讲练测第04讲 基本不等式及其应用（十八大题型）（练习）（含解析）

第04讲基本不等式及其应用目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：基本不等式及其应用 2题型二：直接法求最值 4题型三：常规凑配法求最值 5题型四：化为单变量法 6题型五：双换元求最值 7题型六：“1”的代换求最值 8题型七：齐次化求最值 9题型八：利用基本不等式证明不等式 10题型九：利用基本不等式解决实际问题 12题型十：与a+b、平方和、ab有关问题的最值 15题型十一：三角换元法 18题型十二：多次运用基本不等式 21题型十三：待定系数法 22题型十四：多元均值不等式 23题型十五：万能K法 23题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题 25题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题 26题型十八：整体配凑法 2702重难创新练 28真题实战练 36题型一：基本不等式及其应用1．（2024·高三·安徽芜湖·期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点SKIPIF1<0在半圆SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在直径SKIPIF1<0上运动．作SKIPIF1<0交半圆SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0可以直接证明的不等式为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】连接SKIPIF1<0，由题知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以由SKIPIF1<0可以证明SKIPIF1<0故选：D2．下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（

）SKIPIF1<0已知SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；解答过程：SKIPIF1<0；SKIPIF1<0求函数SKIPIF1<0的最小值；解答过程：可化得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；解答过程：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时等号成立，把SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得最小值为4．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【解析】对SKIPIF1<0：基本不等式适用于两个正数，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均为负值，此时SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，故SKIPIF1<0的用法有误，故SKIPIF1<0错误；对SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，但SKIPIF1<0，则等号取不到，故SKIPIF1<0的用法有误；对SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，故SKIPIF1<0的用法有误；故使用正确的个数是0个，故选：SKIPIF1<0.3．下列不等式一定成立的是（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0SKIPIF1<0【答案】C【解析】A：当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，故不等式不一定成立，故A错误；B：当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，故不等式不一定成立，故B错误；C：SKIPIF1<0恒成立，故C正确；D：当SKIPIF1<0时，有SKIPIF1<0，故不等式不一定成立，故D错误；故选：C题型二：直接法求最值4．（2024·上海普陀·二模）若实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.5．（2024·高三·上海青浦·期中）若SKIPIF1<0且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.6．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故答案为：SKIPIF1<0题型三：常规凑配法求最值7．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是．【答案】3【解析】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即SKIPIF1<0时取等号，∴SKIPIF1<0时SKIPIF1<0取得最小值3.故答案为：3．8．若SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0的值域是.【答案】SKIPIF1<0【解析】∵SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号；故函数的值域为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.9．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有（

）A．最大值SKIPIF1<0 B．最小值SKIPIF1<0 C．最大值SKIPIF1<0 D．最小值SKIPIF1<0【答案】A【解析】因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取“=”，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0.故选：A题型四：化为单变量法10．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可消去SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故选：C．11．（2024·高三·河南漯河·期末）设正实数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】因为正实数SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即当SKIPIF1<0时，等号成立，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：D.12．已知正数x，y满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】12【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时，取等号，所以SKIPIF1<0的最小值为12.故答案为：12.13．已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.题型五：双换元求最值14．（2024·全国·模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】12【解析】令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，等号成立．故答案为：1215．（2024·高三·福建龙岩·期中）已知SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】8【解析】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.故答案为：8题型六：“1”的代换求最值16．（2024·高三·江苏南京·开学考试）函数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的图象恒过定点A，若点A在直线SKIPIF1<0上，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】5【解析】对于函数SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为5.故答案为：5.17．（2024·四川南充·二模）已知x，y是实数，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为【答案】1【解析】因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，取到等号，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为1.故答案为：118．（2024·陕西西安·模拟预测）若直线SKIPIF1<0过函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）的定点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】6【解析】SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0函数SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的图象恒过定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0定点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号.即当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最小值为SKIPIF1<0.故答案为：6.19．（2024·上海徐汇·二模）若正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】由已知SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，故所求最小值是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．题型七：齐次化求最值20．（2024·高三·浙江·开学考试）已知正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<021．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0的最小值SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故选：D.题型八：利用基本不等式证明不等式22．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正数，函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值；(2)若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不全相等，求证：SKIPIF1<0.【解析】（1）由题意得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，函数SKIPIF1<0取得最小值4.（2）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为正数，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴要证SKIPIF1<0，即证SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不全相等，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.23．不等式选讲已知SKIPIF1<0均为正实数，函数SKIPIF1<0的最小值为4．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)求证：SKIPIF1<0．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，SKIPIF1<0，要证SKIPIF1<0，只要证SKIPIF1<0，由柯西不等式得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，SKIPIF1<0．（2）由基本不等式得SKIPIF1<0，以上三式当且仅当SKIPIF1<0时同时取等号，将以上三式相加得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．24．（2024·四川资阳·模拟预测）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的最小值；(2)证明：SKIPIF1<0．【解析】（1）（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值是2．（2）证明：因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0．当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立．题型九：利用基本不等式解决实际问题25．（2024·黑龙江·二模）“不以规矩，不能成方圆”出自《孟子·离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则这块四边形木板周长的最大值为（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为四边形木板的一个内角SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，如图，设SKIPIF1<0，由题设可得圆的直径为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为三角形内角，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，同理SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0等号成立，故四边形周长的最大值为SKIPIF1<0，故选：A.26．（2024·广东韶关·二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W（单位：平方米）的计算公式是SKIPIF1<0，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（

）A．10000 B．10480 C．10816 D．10818【答案】C【解析】设矩形场地的长为SKIPIF1<0米，则宽为SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立.所以平整这块场地所需的最少费用为SKIPIF1<0元.故选：C27．（2024·高三·山东济宁·开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买SKIPIF1<0黄金，售货员现将SKIPIF1<0的砝码放在天平的左盘中，取出SKIPIF1<0黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平左右盘清空后，再将SKIPIF1<0的砝码放在天平右盘中，再取出SKIPIF1<0黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．以上都有可能【答案】A【解析】设天平左臂长为SKIPIF1<0，右臂长为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A28．（2024·高三·北京朝阳·期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响，用SKIPIF1<0表示产量，SKIPIF1<0表示劳动投入，SKIPIF1<0表示资本投入，SKIPIF1<0表示技术水平，则它们的关系可以表示为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0不变，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均变为原来的SKIPIF1<0倍时，下面结论中正确的是（

）A．存在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0不变B．存在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0变为原来的SKIPIF1<0倍C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最多可变为原来的SKIPIF1<0倍D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0最多可变为原来的SKIPIF1<0倍【答案】D【解析】设当SKIPIF1<0不变，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0均变为原来的SKIPIF1<0倍时，SKIPIF1<0，对于A，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A错误；对于B，若SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B错误；对于C，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即若SKIPIF1<0，故C错误；对于D，若SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故D正确.故选：D.29．某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男､女社员人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（

）A．10 B．15 C．30 D．45【答案】B【解析】设安排男社员SKIPIF1<0名，女社员SKIPIF1<0名，根据题意，可得SKIPIF1<0，平均损耗蔬菜量之和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，则分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损耗蔬菜量（千克）之和的最小值为15.故选：B.题型十：与a+b、平方和、ab有关问题的最值30．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若实数a，b满足SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】因为SKIPIF1<0,当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，A正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，B错误；因为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，C错误；由SKIPIF1<0整理，得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，所以SKIPIF1<0，D正确．故选：AD．31．（多选题）已知位于第一象限的点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BD【解析】由题意可得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对A：由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故A错误；对B：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，即SKIPIF1<0，故B正确；对C：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，故C错误；对D：由SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故D正确.故选：BD.32．（多选题）设正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【解析】对于A项，由SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，将其代入SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故A项正确；对于B项，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，故得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故B项错误；对于C项，由SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由上分析知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0，即C项错误；对于D项，由SKIPIF1<0，由上分析知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故D项正确.故选：AD.33．（多选题）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（）A．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】AD【解析】A选项：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立，A选项正确；B选项：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立，B选项错误；C选项：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，C选项错误；D选项：SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时等号成立，D选项正确；故选：AD．题型十一：三角换元法34．（多选题）由知实数a，b满足SKIPIF1<0，则（

）A．ab的最大值为SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【答案】AC【解析】对于A中，由不等式SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，所以A正确；对于B中，设SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，所以B不正确；对于C中，设SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，所以C正确；对于D中，由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0为单调递增函数，所以SKIPIF1<0无最大值，所以D不正确.故选：AC.35．（多选题）（2024·全国·模拟预测）实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0【答案】ACD【解析】对于A选项，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取“=”，故A正确；对于B选项，令SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为1，所以SKIPIF1<0的最大值SKIPIF1<0，故B错误；对于C选项，由B中的分析知，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正确；对于D选项，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD.36．（多选题）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BCD【解析】因为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0R），由SKIPIF1<0可变形为，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故A错误，B正确；由SKIPIF1<0可变形为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，故C正确；因为SKIPIF1<0变形可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时满足等式，故D正确．故选：BCD．题型十二：多次运用基本不等式37．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.38．（2024·黑龙江·二模）已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0取得最大值时，SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】D【解析】SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0取等号，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：D39．若实数a，b满足ab＞0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C【解析】实数a，b满足ab＞0，则SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时等号成立．故选：C．40．已知SKIPIF1<0则SKIPIF1<0的最小值为（）A．2 B．SKIPIF1<0 C．4 D．5【答案】C【解析】SKIPIF1<0题型十三：待定系数法41．（云南师范大学附属中学2023-2024学年高三4月月考数学试题）已知实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不全为0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由题意实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不全为0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.故选：D.42．（2024·山西运城·二模）若a，b，c均为正实数，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】因为a，b均为正实数，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故选：A．题型十四：多元均值不等式43．已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为.【答案】SKIPIF1<0【解析】依题意，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.故答案为：SKIPIF1<044．函数SKIPIF1<0的最小值是（

）A．SKIPIF1<0 B．3 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，由对勾函数性质可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0.故选：D.题型十五：万能K法45．已知实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】原方程可化为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<046．（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知实数SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，方程SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，则满足SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选：B.47．（2024·高三·重庆·期中）已知x，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.题型十六：与基本不等式有关的恒(能)成立问题48．（2024·辽宁大连·一模）对于任意的正数m，n，不等式SKIPIF1<0成立，则λ的最大值为【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0都为正数，则不等式SKIPIF1<0成立，即为SKIPIF1<0成立，又由SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.49．（2024·高三·山东滨州·期末）若不等式SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】不等式SKIPIF1<0对任意SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成立，而SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，因此SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.故选：B50．若两个正实数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0且不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】由题设SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，又SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0.故选：A题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题51．已知SKIPIF1<0，向量SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为.【答案】SKIPIF1<0/0.125【解析】由题意知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取