沪教版2020必修三数学同步讲义-第12讲 频率与概率（巩固基础+能力提升练习）

第12讲频率与概率

（巩固基础+能力提升练习）

【巩固基础】

一、单选题

1.（2021•吉林长春市•高三其他模拟（文））某同学做立定投篮训练，共3组，每组投篮

次数和命中的次数如图中记录板所示.

根据图中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么误差较小的可能性的估计是

A.0.68B.0.625C.0.587D.0.615

【答案】D

【分析】根据频率与概率的关系即可得出选项.

【详解】由题可知，试验次数越多，频率越接近概率，

对可能的估计误差越小，

故选：D.

2.（2021•湖南长沙市•长郡中学期末）下列说法正确的是（）

A.投掷一枚硬币1000次，一定有500次“正面朝上”

B.若甲组数据的方差是0.03,乙组数据的方差是0」，则甲组数据比乙组数据稳定

C.为了解我国中学生的视力情况，应采取全面调查的方式

D.一组数据1、2、5、5、5、3、3的中位数和众数都是5

【答案】B

【分析】根据统计量，对各项分析判断即可得解.

【详解】对于A,因为每次抛掷硬币都是随机事件，所以不一定有500次“正面朝上”，故

A错误；

对于B,因为方差越小越稳定，故B正确；

对于C,为了解我国中学生的视力情况，应采取抽样调查的方式，故C错误；

对于D,数据1、2、5、5、5、3、3按从小到大排列后为1、2、3、3、5、5、5,

则其中位数为3,故D错误，

故选：B.

3.(2021•全国课时练习)利用抛硬币产生随机数1和2,出现正面表示产生的随机数为

L出现反面表示产生的随机数为2.小王抛两次，则出现的随机数之和为3的概率为

()

11八11

A.—B.—C.-D.一

2345

【答案】A

【分析】首先列出所以可能的基本事件，再利用古典概型概率公式计算可得；

【详解】解：抛掷硬币两次，产生的随机数的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)共

四种，其中随机数之和为3的情况有(1,2),(2,1)两种，故所求概率为2=工.

42

故选：A

4.(2021•全国课时练习)有下列说法正确的是()

①频数和频率都能反映一个对象在试验总次数中出现的频繁程度；

②在同一次试验中，每个试验结果出现的频数之和等于试验的样本总数；

③在同一次试验中，每个试验结果出现的频率之和不一定等于1；

④概率就是频率.

A.①③B.①②④C.①②D.③④

【答案】C

【分析】根据统频数和频率的关系，以及频率和概率的关系，进行判断即可得解.

【详解】由频率、频数、概率的定义易知①②正确.

故选：C.

5.(2021•全国课时练习)10个小球分别编号为1,2,3,4,其中1号球4个，2号球2

个，3号球3个，4号球1个，数字0.4是指1号球占总体的()

A.频数B.频率C.频率/组距D.累积频率

【答案】B

【分析】根据频率的概念即可得出结果.

【详解】解析：因为1号球的频数为4,

4

则1号球占总体的频率为历=0.4.

故选：B

6.（2021•全国高一课时练习）任取一个由50名同学组成的班级（称为一个标准班），至少

有两位同学的生日在同一天（记为事件A）的概率是0.97.据此我们知道（）

A.取定一个标准班，事件A发生的可能性是97%

B.取定一个标准班，事件A发生的概率大概是0.97

C.任意取定10000个标准班，其中大约9700个班发生事件A

D.随着抽取的标准班数现不断增大，事件A发生的频率逐渐稳定在0.97,在它附近摆动

【答案】D

【分析】利用概率的概念即可得出选项.

【详解】解析：对于给定的一个标准班来说，事件A发生的可能性不是0就是1,故A与

B均不对；

对于任意取定10000个标准班，在极端情况下，事件A有可能都不发生，故C也不对，

只有D正确.

故选：D

7.（2021•全国课时练习）假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随

机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率：先由计算器产生0到

9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中靶心，5,6,7,8,9,0表示未命中

靶心；再以每两个随机数为一组，代表两次的结果，经随机模拟产生了20组随机数：93

28124585696834312573930275564887301135据此

估计，该运动员两次掷镖恰有一次正中靶心的概率为（）

A.0.50B.0.45C.0.40D.0.35

【答案】A

【分析】根据随机数以及古典概型的概率计算公式即可求解.

【详解】解析：两次掷镖恰有一次正中靶心表示随机数中有且只有一个数为1,2,3,4中

的之一.

它们分别是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35共10个,

因此所求的概率为一=0.50.

20

故选：A.

8.（2021-天津滨海新区•期末）在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币

做了100次试验，发现正面朝上出现了40次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为

（）

A.0.4,0.4B.0.5,0.5C.0.4,0.5D.0.5,0.4

【答案】C

【分析】根据频率和概率的定义即可得到答案，注意频率是随机的、变化的，而概率是稳

定的.

40

【详解】100次试验中有40次正面朝上，所以正面朝上的频率为——=0.4,

100

因为硬币质地均匀，所以正面朝上和反面朝上的概率都是0.5.

故选：C.

9.（2021•全国单元测试）数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有

人送来米2020石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内

夹谷约为（）

A.222石B.224石

C.230石D.232石

【答案】B

【分析】由题意求出夹谷占有的概率，从而可求出这批米内的夹谷数

【详解】由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为

—=工，所以2020石米中夹谷约为2020X--224（石）.

27099

故选：B

二、填空题

10.（2021•北京朝阳区•期末）某班有42名学生，其中选考物理的学生有21人，选考地

理的学生有14人，选考物理或地理的学生有28人，从该班任选一名学生，则该生既选考

物理又选考地理的概率为.

【答案】7

6

【分析】先计算出该班有既选考物理又选考地理的人数，再除以班级总人数即可求解

【详解】设选考物理的学生为集合A,选考地理的同学为集合3,

由题意可得：Card（AuB）=Card（A）+Card（B）-Card（AnB）,

即28=21+14-Chrd（AcB）,解得：Card（AcB）=7,

所以该班有7人既选考物理又选考地理，

71

所以从该班任选一名学生，则该生既选考物理又选考地理的概率为一=—,

426

故答案为：—.

6

11.（2021•全国课时练习）在一次数学考试中，某班学生的及格率是80%,这里所说的

“80%”是指.（填“频率”或“概率”）

【答案】频率

【分析】根据频率与概率的概念即可得出答案.

【详解】解析：在一次数学考试中，某班学生的及格率是80%,

这里所说的“80%”是指“频率”.

只有经过很多次考试得到的及格率都是80%,才能说是概率.

故答案为：频率.

12.（2021•全国课时练习）某种心脏病手术，成功率为0.6,现准备进行3例此种手术，

利用计算机取整数值随机数模拟，用0,1,2,3代表手术不成功，用4,5,6,7,8,9

代表手术成功，产生20组随机数：966,907,191,924,270,832,912,468,578,

582,134,370,113,573,998,397,027,488,703,725,则恰好成功1例的概率为

【答案】0.4

【分析】根据随机数，列举出设恰好成功1例的事件为/所包含的基本事件，再由古典概

型的概率计算公式即可求解.

【详解】解析：设恰好成功1例的事件为44所包含的基本事件为

191,270,832,912,134,370,027,703共8个.

Q

则恰好成功1例的概率为P{A）=—=0.4.

故答案为：0.4

三、解答题

13.（2021•安徽六安市•六安一中高三其他模拟（文））某5G手机配件生产厂为了了解

该厂生产同一型号配件的甲、乙两车间的生产质量.质检部门随机从甲、乙两车间各抽检了

100件配件，其检测结果：

等级一等品二等品次品

甲车间配件频数553312

乙车间配件频数65278

其中一、二等品为正品.

(1)分别估计甲、乙车间生产出配件的正品的概率；

(2)该厂规定一等品每件的出厂价是二等品每件的出厂价的2倍.已知每件配件的生产成

本为5元，根据环保要求，每件次品需要处理费用为3元，厂家要求生产的每件配件的平

均利润不低于2L7元，求二等品每件的出厂的最低价.

【答案】(1)甲车间生产出配件的正品的概率的估计值为0.88,乙车间生产出配件的正品

的概率估计值为0.92；(2)18元.

【分析】(1)根据数表，利用频率的定义求解；

(2)设二等品每件的出厂价为。元，得到一等品每件的出厂价为2a元，根据每件配件的

平均利润不低于21.7元，由贵[120(2a-5)+60(a-5)-20x8]>21.7求解.

【详解】(1)由数表可知，甲车间生产出配件的正品的频率为生过=0.88,

100

故甲车间生产出配件的正品的概率的估计值为0.88.

乙车间生产出配件的正品的频率为包3=0.92,

100

故乙车间生产出配件的正品的概率估计值为0.92.

(2)设二等品每件的出厂价为。元，则一等品每件的出厂价为2a元.

由题意可知，[120(2a-5)+60(a-5)-20x8]>21,7,

3

整理得，一a—5.3221.7,所以a»18.

2

故二等品每件的出厂的最低价为18元.

【能力提升】

一、单选题

1.(2021•江苏南京市•南京一中)一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为

a,b,c,当且仅当3<c时称为“凹数”(如213,312等)，若。力,。6{1,2,3,4},

且”,仇。互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为

1517

A.-B.—C.—D.—

624324

【答案】C

试题分析：由于4CG{1,2,3,4},目4"。互不相同，故可得4x3x2=24个三位数.若

b=l,则“凹数”有：.213,214,312,314,412,413共6个；若万=2,则“凹数”

Q1

有：.324,423共2个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有0=五=§.

考点：古典概型.

2.(2021•全国课时练习)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随

机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为

1332

A.—B.-C.—D.一

105105

【答案】D

【详解】从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1

张，

基本事件总数n=5X5=25,

抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：

(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),(5,

4),

共有m=10个基本事件，

，抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p=—=-.

255

故答案为D.

3.(2021•全国专题练习)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的

成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如

30=7+23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是

【答案】C

分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根据古典

概型概率公式求概率.

详解：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个，随机选取两

个不同的数，共有GZ=45种方法，因为7+23=11+19=13+17=30,所以随机选取两个不

31

同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为一=一,选C.

4515

点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的

问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图

法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象

的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.

4.(2021•浙江单元测试)某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负

责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师分别将各自活动通知的

信息独立，随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发

活动通知的信息的概率为

212164

A.-B.—C.—D.一

525255

【答案】c

【分析】甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的对立事件是甲同学既没收到李

老师的信息也没收到张老师的信息，李老师的信息与张老师的信息是相互独立的，由此可

计算概率.

【详解】设甲同学收到李老师的信息为事件A,收到张老师的信息为事件B,A、B相互独

42

立，P(A)=P(3)=—=—,

105

则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为

一一3316

l-P(AB)=l-(l-P(A))(l-P(B))=l--x-=—.

故选C.

【点睛】本题考查相互独立事件的概率，考查对立事件的概率.在求两个事件中至少有一

个发生的概率时一般先求其对立事件的概率，即两个事件都不发生的概率.这样可减少计

算，保证正确.

5.（2021•全国课时练习）古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属

性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金”，从五种不同属性的物质中随机抽取两

种，则抽取的两种物质不相克的概率为

3213

A.—B.—C.—D.一

10525

【答案】C

【分析】从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有10种，而相克的有5种情况，得到抽

取的两种物质相克的概率是人，进而得到抽取两种物质不相克的概率，即可得到答案.

2

【详解】从五种物质中随机抽取两种，所有抽法共有C=10种，而相克的有5种情况，

则抽取的两种物质相克的概率是9=工，故抽取两种物质不相克的概率是1-1=工，

10222

故选C.

【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算公式的应用，以及相互对立事件的应

用，其中解答正确理解题意，合理利用对立事件的概率求解是解答的关键，着重考查了运

算与求解能力，属于基础题.

6.（2021•全国单元测试）下列说法正确的是

A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女

B.一次摸奖活动中，中奖概率为0.2,则摸5张票，一定有一张中奖

C.10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大

D.10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1

【答案】D

【分析】由概率的意义可判断AB错误，由随机抽样的概念得到D正确.

【详解】一对夫妇生两小孩可能是（男，男），（男，女），（女，男），（女，女），所以A不

正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时，可能都中奖，也可能中

一张、两张、三张、四张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去

摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到的奖票的概率都是0.1,所以C不

正确；D正确.

故答案为D.

【点睛】本题考查了概率的意义以及随机抽样法的概念，性质，属于基础题.

7.（2021•湖北黄冈市•黄冈中学高三三模）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，

将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱.为调

查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计10001生活垃圾.经

分拣以后数据统计如下表（单位：t）:根据样本估计本市生活垃圾投放情况，下列说法错

误的是（）

厨余垃圾”箱可回收物”箱其他垃圾”箱

厨余垃圾400100100

可回收物3024030

其他垃圾202060

A.厨余垃圾投放正确的概率为工

3

3

B.居民生活垃圾投放错误的概率为一

10

C.该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱

D.厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量的方差为20000

【答案】D

【分析】由表格可求得：厨余垃圾投放正确的概率，可回收物投放正确的概率，其他垃圾

投放正确的概率，再结合选项进行分析即可.

400；可回收物投放正

【详解】由表格可得：厨余垃圾投放正确的概率=2

400+100+1003

2404603

确的概率=F~==；其他垃圾投放正确的概率=

240+30+30520+20+605

2

对A,厨余垃圾投放正确的概率为一,故A正确；

3

对B,生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,故生活垃圾投放错误的概率为

3003u-

----二—,故B正确;

100010

对C,该市三类垃圾箱中投放正确的概率最高的是“可回收物”箱，故C正确.

对D,厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的的投放量的平均数

_600+300+1001000

X=----------------------------,可得方差

33

?=|x[(600—卷5+(300-^^)2+(100-卷%]=38(^00中20000，故D错

误;

故选：D.

【点睛】本题考查概率与统计的计算，考查推理能力与数据处理能力，属于中档题.

8.（2021•全国课时练习）下列命题正确的是

A.用事件A发生的频率力（A）估计概率P（A）,重复试验次数九越大，估计的就越精确.

B.若事件A与事件3相互独立，则事件A与事件后相互独立.

C.事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小.

D.抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性就比反面大.

【答案】B

【分析】根据概率的定义，事件的独立性概念判断各选项.

【详解】在相同的条件下做大量重复试验，一个事件A出现的次数和总的试验次数”之比，

称为事件A在这九次试验中出现的频率.当试验次数”很大时,频率将稳定在一个常数附近.

n越大,频率偏离这个常数较大的可能性越小.这个常数称为这个事件的概率，并不是说“

越大，估计的精度越精确，A错；

事件A与事件3相互独立，即A是否发生与3是否发生无关，，事件A是否发生与事件

方是否发生也无关，它们相互独立，B正确；

抛一枚骰子，出现的点数不大于5记为事件A,出现的点为不小于2记为事件3,则事件

42_

A与事件3同时发生是指点数为2,3,4,5,概率为一=—,而事件A与3中恰有一个

63

212

发生是指点为1或6,概率为二=:＜二.C错；

633

抛掷一枚均匀的硬币，如前两次都是反面，那么第三次出现正面的可能性与出现反面的可

能性还是一样.D错.

故选：B.

【点睛】本题考查概率的定义，考查事件的独立性.掌握概念的定义是解题关键.

9.（2021•浙江单元测试）进入8月份后，我市持续高温，气象局一般会提前发布高温橙

色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3

3

天中，每一天最高气温在37摄氏度以上的概率是《.用计算机生成了20组随机数，结果

如下，若用0,1,2,3,4,5表示高温橙色预警，用6,7,8,9表示非高温橙色预警，

则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）

116785812730134452125689024169

334217109361908284044147318027

【答案】B

【分析】从20个随机数中观察随机数的三个数中恰有2个在0,1,2,3,4,5中的个

数，然后可得概率.

【详解】观察20个随机数，其中有116,812,730,217,109,361,284,147,318,

027共10个表示3天中恰有2天发布高温橙色预警信号，

因此所求概率为尸=2=!.

202

故选：B.

【点睛】本题考查随机数表，解题关键是正确理解题意，从随机数中求得表示3天中恰有

2天发布高温橙色预警信号的个数，从而得出概率.

二、填空题

10.（2021•全国课时练习）玲玲和倩倩是一对好朋友，她俩都想去观看某明星的演唱会，

可手里只有一张票，怎么办呢？玲玲对倩倩说：“我向空中抛2枚同样的一元硬币，如果落

地后一正一反，就我去；如果落地后两面一样，就你去！”你认为这个游戏公平吗？答：

【答案】公平

【分析】根据古典概型的概率的计算公式可得相应的概率，进而得到结果.

【详解】两枚硬币落地共有四种结果：正，正；正，反；反，正；反，反.由此可见，她

们两人得到门票的概率都是相等的各为±,所以公平.

故答案为公平.

【点睛】本题考查了古典概型的事件的概率的求法，一般是先找到基本事件总数，再找到

满足题意的事件个数，进而大数除以小数，可得概率值.

11.（2021•全国课时练习）今年由于猪肉涨价太多，更多市民选择购买鸡肉、鸭肉、鱼肉

等其它肉类.某天在市场中随机抽出100名市民调查，其中不买猪肉的人有30位，买了肉

的人有90位，买猪肉且买其它肉的人共30位，则这一天该市只买猪肉的人数与全市人数

的比值的估计值为.

【答案】0.4

【分析】将买猪肉的人组成的集合设为4买其它肉的人组成的集合设为8

由韦恩图易得只买猪肉的人数，与100作比，即得结果.

【详解】由题意，将买猪肉的人组成的集合设为4买其它肉的人组成的集合设为8,

则韦恩图如下：AcB中有30人，Cu(AUB)中有10人，又不买猪肉的人有30位,

.•.BcCuA中有20人，.•.只买猪肉的人数为：100—10—20—30=40,

40

•••这一天该市只买猪肉的人数与全市人数的比值的估计值为——=0.4,

100

故答案为；0.4

【点睛】本题考查了用样本估计总体，用频率估计概率的方法，考查了韦恩图的应用，属

于中档题.

12.(2021•浙江单元测试)天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为

40%.现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生

0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下

雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下20

组随机数：

488932812458989431257390024556

734113537569683907966191925271

据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为.

【答案】0.3

【分析】在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的可以通过列举得到共6组随机数，根

据概率公式，得到结果.

【详解】由题意知模拟三天的下雨情况，经随机模拟产生了20组随机数，

在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：932、812、024、734、191、271,共6组

随机数，

二所求概率为尸=占=0.3.

20

故答案为：0.3

【点睛】本题主要考查了模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列

举法在本题的应用，属于中档题.

13.(2021,浙江单元测试)辛普森悖论(Simpson'sParadox)有人译为辛普森诡论,在统

计学中亦有人称为“逆论”，甚至有人视之为“魔术”.辛普森悖论为英国统计学家笈〃辛

普森(E.H.Simpson)于1951年提出的，辛普森悖论的内容大意是“在某个条件下的两组数

据，分别讨论时都会满足某种性质，可是一旦合并考虑，却可能导致相反的结论.”下面这

个案例可以让我们感受到这个悖论：关于某高校法学院和商学院新学期已完成的招生情

况，现有如下数据：

某高校申请人数性别录取率

男50%

法学院200人

女70%

男60%

商学院300人

女90%

对于此次招生，给出下列四个结论：

①法学院的录取率小于商学院的录取率；

②这两个学院所有男生的录取率小于这两个学院所有女生的录取率；

③这两个学院所有男生的录取率不一定小于这两个学院所有女生的录取率；

④法学院的录取率不一定小于这两个学院所有学生的录取率.

其中，所有正确结论的序号是.

【答案】②④

【分析】根据题意，结合古典概型的概率计算公式，逐项进行判定，即可求解.

【详解】设申请法学院的男生人数为X,女生人数为》，则x+y=200,

法学院的录取率为+=0.5x+0.7xQ0°-x)=07_O.001X,

200200

设申请商学院的男生人数为加，女生人数为九，则加+〃=300,

士汉―•士上°.6〃z+0-9”0.6/72+0.9x(300-nt),

商学院的录取率为-----------=---------------------=0.9o-0M.00Im，

200200

由(0.9-0.001«7)—(0.7—0.00lx)=0.2—0.001(〃/一1)=0.001(200—机+x),

该值的正负不确定，所以①错误，④正确;

0SY+06M?

这两个学院所有男生的录取率为

x+m

0.7y+0.9〃

这两个学院所有女生的录取率为--------

y+n

_0.5x+0.6"z0.7y+0.9〃0.2xy+QAxn+0.Imy+0.3nm

因为------------------------=-----------------------------<0,

x+my+n(x+m)(y+n)

所以②正确；③错误.

故答案为：②④.

【点睛】本题主要考查了古典概型的概率公式的应用，其中解答中正确理解题意，结合古

典概型的概率计算公式求得相应的概率是解答的关键，着重考查数学阅读能力，属于基础

题.

三、解答题

14.(2021•天水市第一中学高三月考(文))新冠疫情防控期间，为保证抗疫物资的质

量，我国加大了质量检测的力度.某市今年新增了两家专门生产测温枪的工厂.质检部门现

从这两家工厂各随机抽取了100把测温枪，检测其某项质量指标，得到甲、乙两厂所生产

的测温枪的该项质量指标值的频数分布表，如下表所示：

质量指标值[70,80)[80,90)[90,100)[100,110)[110,120]

甲厂测温枪的频数82436248

乙厂测温枪的频数62638228

已知每把测温枪的等级与该项质量指标值间的关系如下表所示:

质量指标值[70,90)[90,100)[100,120]

等级二级一级特级

(1)试利用样本估算总体的思想分别估计甲、乙两厂生产出来的一把测温枪为特级测温枪

的概率；

（2）若生产一把二级测温枪、一级测温枪、特级测温枪分别可获得纯利润10元、20元、

30元，且不考虑其他因素，试从平均数的角度分析哪家工厂生产测温枪的利润更高.

【答案】（1）0.32,0.3；（2）甲厂生产的测温枪的利润更高.

【分析】（1）分别计算频率，用频率估计概率；

（2）分别计算甲与乙的平均数，再进行比较.

【详解】（1）由表格可得，甲厂生产出来的一把测温枪为特级测温枪的频数为32.

32

故频率为——=0.32,

100

乙厂生产出来的一把测温枪为特级测温枪的频数为30,

故频率为3卫0=0.3.

100

由此估计：甲厂生产出来的一把测温枪为特级测温枪的概率为0.32,乙厂生产出来的一把

测温枪为特级测温枪的概率为0.30.

（2）甲厂生产一把测温枪的平均利润为9=击乂[（8+24）*10+36><20+32><30]=20

（元），

乙厂生产一把测温枪的平均利润为%=j^x[（6+26）xl0+38x20+30x30]=19.8

（元），

所以%>%，

所以甲厂生产的测温枪的利润更高.

15.（2021•山西高一期末）某药厂测试一种新药的疗效，随机选择1200名志愿者服用此

药，结果如下：

治疗效果病情好转疗效不明显病情恶化

人数800200200

（1）若另一个人服用此药，请估计该病人病情恶化的概率；

（2）现拟采用分层抽样的方法从服用此药的1200名志愿者中抽取6人组成样本，并从这

抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会，求抽取的3人病情都未恶化的概率.

【答案】（1）—；（2）—.

62

【分析】（1）由表中的数据直接求服用药出现病情恶化的频率，然后用频率来估计概率；

（2）先利用分层抽样求出得部分抽取的人数，然后利用列举法求概率即可

【详解】（1）由统计表可知在1200名志愿者中，服用药出现病情恶化的频率为

—=，所以估计另一个人服用此药病情恶化的概率为!.

120066

（2）采用分层抽样的方法，从病情好转的志愿者中抽4