2021新高考二轮复习·数学第二编 三 规范答题系列二

规范答题系列二

三角函数与解三角形类解答题

例（2020-新高考卷I）（10分）在①=^3,②csinA=3,③。=小b这

三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求。的值；

若问题中的三角形不存在，说明理由.

问题：是否存在△ABC,它的内角A,B,。的对边分别为凡b,c,且sinA

=小sinB,C=^,?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解题思路解法一：先用正弦定理化“角”为“边”，推出。与〃的关系.进

而结合余弦定理用同一字母表示a,b,c•.若选①可直接列方程求利若选②可先用

余弦定理求cos4,再求sin4,由csinA=3求出c.若选③，则发现c二小人与所

推出的人，。关系矛盾，此时三角形不存在.

解法二：先利用sin3=sin（A+O和已知条件推出只有4的关系式，求出A.

进而求出B,C若选①，可推出出b,c之间的比例关系，结合=方可求c.若

选②，可直接列方程求c.若选③，则发现c二3人与所推出的乩c关系矛盾，此

时三角形不存在.

解解法一：由sinA=d§sin8可得号二小，（3分）

不妨设。二小，n,b=,

贝ljc1=a1+b1-2abcosC=3nf+irr-2Xy[3mXmX当'=m2,即c=m.（6分）

选择条件①：

据此可得ac=y[3mXm=小m2=y[3,

.,.m=1,此时c=加=1.（10分）

选择条件②：

o»2+c2-a2m2+m2--3m21

据此可得cosA=2bc=2旅2=-21

则sinA=I_（_?=坐,

止匕时csinA==3,

则c二机二2V5.（10分）

选择条件③：

由题意可得£=5=1,c=b,

与条件。=小人矛盾，则问题中的三角形不存在.（1。分）

解法二：VsinA=y[3s\nB,B=TI-（A+C）,

sinA=^/3sin（A+C）,（2分）

又c%

sinA=小sin（A+=3sinA.乎+小cosA•（4分）

.'.sinA=-y[3cosA,/.tanA=-^3,（6分）

「.4=差.'.B=C=^.（7分）

选择条件①：

V23

-

由正弦定理，得£=黑二1=小

-

2

「.

.,.a=yl3ctA/5c2=小，」.c=1.（10分）

选择条件②：

由csinA=3,=3,c=2小.（10分）

选择条件③：

由8=C可得匕=c,与条件。=小6矛盾，则问题中的三角形不存在.（1（）分）

踩点得分

（解法一）

1.边角互化：用正弦定理化“角”为“边”，给3分.

2.推三边关系：用余弦定理和所得条件用加表示出b,c,给3分.

3.选条件求。：选不同的条件，得到不同的判断，若三角形存在，求出g

给4分.

（解法二）

1.消角：根据A十4十。-兀，用诱导公式消去角&给2分.

2.变形：用两角和的正弦公式变形，给2分.

3.求值：用同角三角函数关系求tanA,给2分.

4.求角：求角A,8,C,给1分.

5.选条件求。：选不同的条件，得到不同的判断，若三角形存在求出c,给

3分.

答题启示

1.发现差异：观察角、函数运算的差异，即进行所谓的“差异分析”.

2.寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系.

3.合理转化：选择恰当的公式促使差异的转化.

4.恰当选择条件：根据已知条件推出有关信息、，要注意选择容易利用的条件,

从而节约时间.

［跟踪训练1

(202()•山东省德州市一模)(10分)在条件①2cosA•(bcosC+ccos3)=②c

sin--=«sinC,③（sin8-sin=sidA—sinBsinC中任选一个，补充至ij下面

问题中，并给出问题的解答.

已知△ABC的内角4,B,。的对边分别是出b,c,且。=币,b-c=2,

.求8C边上的高.

注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

解若选①，因为2cosA（Z?cosC+ccos3）二〃，

由正弦定理,得2cosA（sinBcosC+sinCcosB）=sinA,（2分）

即2cosAsin（B+Q=sinA,cosA=z.（4分）

7T

因为0<4<兀，所以A=].（5分）

由余弦定理，得/二/+62-2儿cosA,

Z?2+C2-/?C=7,

所以,）化简，得。2+2°-3=0,（7分）

所以c=-3（舍去）或c=l,（8分）

从而8=3.

设8C边上的高是儿所以茨sinA=；",

所以〃二与华。。分）

若选②，由题设及正弦定理，得

B+C

sinCsin--=sinAsinC.

B+C

因为sinC=#O,所以sin—/—=sinA.（2分）

,B+CA

由A+B+C=兀，可得sin—2一二cos2，

故cos2=2sin^cos].（4分）

AA1jr

因为cos^WO,故sin5=5，因此A=§.（5分）

下同选①.（10分）

若选③，由已知，Wsin25+sin2C-sin2A=sinBsin