北师大版2019选择性必修第一册专题1.1直线的倾斜角与斜率(6类必考点)(原卷版+解析)

专题1.1直线的倾斜角与斜率TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：直线的倾斜角】 1【考点2：直线斜率与倾斜角的关系】 1【考点3：过两点的斜率公式】 3【考点4：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】 3【考点5：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】 4【考点6：直线的方向向量】 5【考点1：直线的倾斜角】【知识点：直线的倾斜角】当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.1．（2021秋•石景山区期末）直线x+y＝0的倾斜角为（）A．45° B．60° C．90° D．135°2．（2021秋•浙江期末）已知点A（1，﹣1），B（1，2），则直线AB的倾斜角为（）A．0 B．π4 C．π3 3．（2021秋•东城区期末）下列直线中，倾斜角为锐角的是（）A．x﹣y+1＝0 B．y＝﹣2x+1 C．y＝1 D．x＝24．（2021秋•抚州期末）若直线l的倾斜角是钝角，则l的方程可能是（）A．x+2y＝0 B．x﹣2y＝0 C．2x﹣y＝0 D．x+2＝0【考点2：直线斜率与倾斜角的关系】【知识点：直线斜率与倾斜角的关系】若直线l的倾斜角α≠eq\f(π,2)，则斜率k＝tanα.1．（2021秋•南江县校级月考）直线y＝﹣x+1的倾斜角为（）A．﹣1 B．π4 C．3π4 2．（2022春•自贡期末）直线2x﹣y+1＝0的倾斜角为θ，则2siA．32 B．43 C．103．（2022春•长寿区期末）直线6x+A．30° B．60° C．120° D．150°4．（2022春•开福区校级期末）直线xsinα﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围为（）A．[0，π4] C．[0，π4]∪[5．（2022春•海淀区校级月考）设直线l的斜率为k，且−3＜k≤1，则直线l的倾斜角A．[0，π4]∪(2πC．[π4，6．（2022春•舒城县校级月考）直线x•sin2021°+y•cos2021°﹣1＝0的倾斜角是（）A．41° B．49° C．131° D．139°（多选）7．（2021秋•虎林市校级期末）下列说法正确的是（）A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角8．（2022春•浦东新区校级期末）设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k2＝﹣1，则|α﹣β|＝．9．（2021秋•朝阳区校级月考）直线l1，l2，l3在平面直角坐标系中的位置如图所示，记直线lm的倾斜角和斜率分别为αm和km，其中m＝1，2，3，则α1，α2，α3中最大的是；k1，k2，k3中最大的是．10．（2021秋•朝阳区校级月考）直线l经过点（﹣1，0），倾斜角为150°，若将直线l绕点（﹣1，0）逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为，斜率为．【考点3：过两点的斜率公式】【知识点：过两点的斜率公式】P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).1．（2022春•澄城县期末）经过A(2，3)，A．30° B．60° C．120° D．150°2．（2021秋•朝阳区校级期中）直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为（）A．0 B．1 C．12 3．（2022春•百色期末）直线l1经过A（0，0），B（3，1）两点，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为（）A．33 B．233 C．14．（2022春•袁州区校级期中）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．（1）A（0，﹣1），B（2，0）；（2）P（5，﹣4），Q（2，3）；（3）M（3，﹣4），N（3，﹣2）．【考点4：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】【知识点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.（多选）1．（2021秋•莲都区校级月考）已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α22．已知直线l1的斜率为2，直线l2经过点A（﹣1，﹣2），B（x，6），且l1∥l2，则log19A．3 B．12 C．2 D．3．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是（）①l1的斜率为2，l2过点A（1，2），B（4，8）；②l1经过点P（3，3），Q（﹣5，3），l2平行于x轴，但不经过P点；③l1经过点M（﹣1，0），N（﹣5，﹣2），l2经过点R（﹣4，3），S（0，5）．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【考点5：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】【知识点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.1．（2021秋•开平区校级月考）已知△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（6，6），C（0，6），则边AB上的高所在直线的斜率．2．（2022•广东模拟）若直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且与经过点（﹣2，1），斜率为−23的直线垂直，则实数a的值为3．（2021秋•汉沽区期中）已知直线L1的倾斜角α1＝30°，直线L1⊥L2，则L2的斜率为．4．根据条件求下列倾斜角、斜率（1）直线l的倾斜角的正弦值是12，则直线l的斜率是（2）直线xtanπ7+y＝0的倾斜角是（3）已知直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l2与l1垂直，试求l1，l2的斜率．【考点6：直线的方向向量】【知识点：直线的方向向量】我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为(-,-).

当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即=(1,k),其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=.1．（2022春•浙江月考）直线l：2x﹣y+1＝0的方向向量可以是（）A．（1，2） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣1，2）2．（2021秋•郴州期末）已知直线l：y＝kx的方向向量为（1，3），则直线l的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°3．（2021秋•西城区期末）已知直线l的一个方向向量为a→=（1，﹣1），则直线A．45° B．90° C．120° D．135°4．（2021秋•南关区校级期末）过A（4，y），B（2，﹣3）两点的直线的一个方向向量为n→=(−1，−1)，则A．−32 B．32 5．（2021秋•南开区期末）直线的4x﹣2y﹣1＝0的方向向量为（）A．（2，1） B．（1，2） C．（1，﹣2） D．（2，﹣1）6．（2021秋•苏州期中）若（1，k）是直线x−3y+2=0的一个方向向量，则A．−3 B．−33 C．37．（2021秋•大东区校级月考）若直线l的一个方向向量a→=（sinπ7，cosπ7），则直线l的倾斜角8．（2022•沈北新区校级开学）已知A（3，3），B（﹣4，2），C（0，﹣2）．（1）求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量；（2）若点D在线段BC（包括端点）上移动，求直线AD的斜率的变化范围．专题1.1直线的倾斜角与斜率TOC\o"1-3"\t"正文,1"\h【考点1：直线的倾斜角】 1【考点2：直线斜率与倾斜角的关系】 2【考点3：过两点的斜率公式】 6【考点4：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】 7【考点5：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】 8【考点6：直线的方向向量】 10【考点1：直线的倾斜角】【知识点：直线的倾斜角】当直线l与x轴相交时,我们以x轴为基准,x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此,直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.1．（2021秋•石景山区期末）直线x+y＝0的倾斜角为（）A．45° B．60° C．90° D．135°【分析】先求出直线的斜率，再求直线的倾斜角．【解答】解：∵直线x+y＝0的斜率为﹣1，设直线x+y＝0的倾斜角为α，又0≤α＜180°，∴α＝135°．故选：D．2．（2021秋•浙江期末）已知点A（1，﹣1），B（1，2），则直线AB的倾斜角为（）A．0 B．π4 C．π3 【分析】由已知条件可得，直线AB垂直于x轴，即直线AB的倾斜角为π2【解答】解：∵点A（1，﹣1），B（1，2），∴直线AB垂直于x轴，即直线AB的倾斜角为π2故选：D．3．（2021秋•东城区期末）下列直线中，倾斜角为锐角的是（）A．x﹣y+1＝0 B．y＝﹣2x+1 C．y＝1 D．x＝2【分析】根据斜率的正负判断其倾斜角的范围即可．【解答】解：对于A：k＝1，是锐角，对于B：k＝﹣2，是钝角，对于C：k＝0，是0°角，对于D：k不存在，是直角，故选：A．4．（2021秋•抚州期末）若直线l的倾斜角是钝角，则l的方程可能是（）A．x+2y＝0 B．x﹣2y＝0 C．2x﹣y＝0 D．x+2＝0【分析】根据已知条件，结合直线的斜率与倾斜角的关系，即可求解．【解答】解：对于A，直线x+2y＝0，斜率k=−12＜对于B，直线x﹣2y＝0，斜率k=12＞对于C，直线2x﹣y＝0，斜率k＝2＞0，即直线l的倾斜角为锐角，对于D，直线x+2＝0，斜率不存在，直线l的倾斜角为π2故选：A．【考点2：直线斜率与倾斜角的关系】【知识点：直线斜率与倾斜角的关系】若直线l的倾斜角α≠eq\f(π,2)，则斜率k＝tanα.1．（2021秋•南江县校级月考）直线y＝﹣x+1的倾斜角为（）A．﹣1 B．π4 C．3π4 【分析】由题意，利用直线的斜截式方程，求出直线的斜率，可得它的倾斜角．【解答】解：由于直线y＝﹣x+1的斜率为﹣1＝tanα，故直线的倾斜角α=3π故选：C．2．（2022春•自贡期末）直线2x﹣y+1＝0的倾斜角为θ，则2siA．32 B．43 C．10【分析】首先得到直线的斜率，从而得到tanθ＝2，再利用同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得．【解答】解：因为直线2x﹣y+1＝0的斜率k＝2，倾斜角为θ，所以k＝tanθ＝2，所以2si故选：C．3．（2022春•长寿区期末）直线6x+A．30° B．60° C．120° D．150°【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系求出直线的夹角．【解答】解：直线6x+2y−1=0故tanθ=−3由于θ∈[0，180°）．故θ＝120°．故选：C．4．（2022春•开福区校级期末）直线xsinα﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围为（）A．[0，π4] C．[0，π4]∪[【分析】利用倾斜角与斜率的关系、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：由直线l：xsina﹣y+1＝0（a∈R），化为y＝xsina+1，∵﹣1≤sina≤1．tanφ＝sina，0≤φ＜π，∴0≤φ≤π4或3π4≤故选：D．5．（2022春•海淀区校级月考）设直线l的斜率为k，且−3＜k≤1，则直线l的倾斜角A．[0，π4]∪(2πC．[π4，【分析】利用k＝tanα，α∈[0，π），及其已知条件，即可得出α的范围．【解答】解：∵直线l的斜率为k，k∈（−3，1]，k＝tanα，α∈[0，π即−3＜∴α∈[0，π4]∪（2π3，故选：A．6．（2022春•舒城县校级月考）直线x•sin2021°+y•cos2021°﹣1＝0的倾斜角是（）A．41° B．49° C．131° D．139°【分析】将直线方程转化为斜截式，得到直线的斜率，从而求出直线的倾斜角．【解答】解：∵x•sin2021°+y•cos2021°﹣1＝0，∴y＝﹣tan2021°x+1∴k＝﹣tan2021°＝tan139°，∴直线的倾斜角是139°，故选：D．（多选）7．（2021秋•虎林市校级期末）下列说法正确的是（）A．若α是直线l的倾斜角，则0°≤α＜180° B．若k是直线的斜率，则k∈R C．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．任意一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角【分析】由直线的倾斜角的范围和斜率公式，结合正切函数的值域，可得结论．【解答】解：由倾斜角的范围[0°，180°）可得A正确；由正切函数的值域可得斜率为一切实数，故B正确；任意一条直线都有倾斜角，而斜率不一定存在，比如倾斜角为直角，则该直线的斜率不存在，故C正确；D错误．故选：ABC．8．（2022春•浦东新区校级期末）设直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k2＝﹣1，则|α﹣β|＝π2【分析】由题意，利用直线的倾斜角和斜率，两条直线互相垂直的性质，得出结论．【解答】解：∵直线l1、l2的斜率分别为k1、k2，倾斜角分别为α、β，若k1k2＝﹣1，则直线l1与l2的相互垂直，它们的倾斜角相差π2故|α﹣β|=π故答案为：π29．（2021秋•朝阳区校级月考）直线l1，l2，l3在平面直角坐标系中的位置如图所示，记直线lm的倾斜角和斜率分别为αm和km，其中m＝1，2，3，则α1，α2，α3中最大的是α2；k1，k2，k3中最大的是k1．【分析】由直线的倾斜角和斜率的知识即可解决．【解答】解：由图观察可知l2，的倾斜角最大，l2，l3的倾斜角为钝角，斜率为负，l1倾斜角为锐角，斜率为正，所以k1最大．故答案为：α2，k1．10．（2021秋•朝阳区校级月考）直线l经过点（﹣1，0），倾斜角为150°，若将直线l绕点（﹣1，0）逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为30°，斜率为33【分析】结合图象可求得旋转后的倾斜角，由斜率与倾斜角的关系即可求得旋转后的斜率．【解答】解：如图所示，因为直线l的倾斜角为150°，所以绕点（﹣1，0）逆时针旋转60°后，得到直线l′的倾斜角α＝（150°+60°）﹣180°＝30°，斜率k＝tanα＝tan30°=3故答案为：30°；33【考点3：过两点的斜率公式】【知识点：过两点的斜率公式】P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).1．（2022春•澄城县期末）经过A(2，3)，A．30° B．60° C．120° D．150°【分析】由已知先求出直线的斜率，然后结合倾斜角与斜率关系求解即可．【解答】解：因为经过A，B两点直线的斜率k=3所以直线的倾斜角为π3故选：B．2．（2021秋•朝阳区校级期中）直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值为（）A．0 B．1 C．12 【分析】利用斜率计算公式及其意义即可得出．【解答】解：直线l过点A（1，2），且不过第四象限，则直线l的斜率的最大值=2−0故选：D．3．（2022春•百色期末）直线l1经过A（0，0），B（3，1）两点，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的斜率为（）A．33 B．233 C．1【分析】由题意求得直线l1的斜率，可得直线l1的倾斜角，从而求得l2的倾斜角，可得l2的斜率．【解答】解：∵直线l1经过A（0，0），B（3，1）两点，∴直线l1的斜率为1−03∴直线l1的倾斜角为π6∵直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则l2的倾斜角为π3，l2的斜率为3故选：D．4．（2022春•袁州区校级期中）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角还是钝角．（1）A（0，﹣1），B（2，0）；（2）P（5，﹣4），Q（2，3）；（3）M（3，﹣4），N（3，﹣2）．【分析】（1）求出直线的斜率大于0，判断即可；（2）求出直线的斜率小于0，判断即可；（3）求出直线无斜率，判断即可．【解答】解：（1）∵A（0，﹣1），B（2，0），∴KAB=−1−0故倾斜角是锐角；（2）∵P（5，﹣4），Q（2，3），∴KPQ=−4−3故倾斜角是钝角；（3）∵M（3，﹣4），N（3，﹣2），∴M，N的横坐标相等，∴直线MN的倾斜角是直角．【考点4：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】【知识点：两条直线平行与倾斜角、斜率的关系】两条直线平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.（多选）1．（2021秋•莲都区校级月考）已知直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若l1∥l2，则斜率k1＝k2 B．若斜率k1＝k2，则l1∥l2 C．若倾斜角α1＝α2，则l1∥l2 D．若l1∥l2，则倾斜角α1＝α2【分析】直接利用直线的倾斜角和斜率的关系，直线的斜率和直线的平行问题的应用求出结果．【解答】解：根据直线的位置关系，当直线的斜率存在，并且相等，则直线平行；当直线的倾斜角相等，则直线平行，当直线平行，则倾斜角必相等．故选：BCD．2．已知直线l1的斜率为2，直线l2经过点A（﹣1，﹣2），B（x，6），且l1∥l2，则log19A．3 B．12 C．2 D．【分析】由已知结合直线平行的斜率关系可求出x，然后结合对数的运算性质可求．【解答】解：因为直线l1的斜率为2，直线l2经过点A（﹣1，﹣2），B（x，6），且l1∥l2，所以6+2x+1故x＝3，则log19x＝log1故选：D．3．满足下列条件的直线l1与l2，其中l1∥l2的是（）①l1的斜率为2，l2过点A（1，2），B（4，8）；②l1经过点P（3，3），Q（﹣5，3），l2平行于x轴，但不经过P点；③l1经过点M（﹣1，0），N（﹣5，﹣2），l2经过点R（﹣4，3），S（0，5）．A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【分析】先考查着两条直线的斜率是否相等，再看它们能否重合，从而得出结论．【解答】解：①∵l1的斜率为2，l2过点A（1，2），B（4，8），故l2过的斜率为8−24−1=2，故l1与l2的平行或重合，故排除②∵l1经过点P（3，3），Q（﹣5，3），∴l1的斜率为3−3−5−3由于l2平行于x轴，但不经过P点，故l1∥l2成立．③∵l1经过点M（﹣1，0），N（﹣5，﹣2），∴l1的斜率为−2−0−5−(−1)∵l2经过点R（﹣4，3），S（0，5），∴l2的斜率为5−30−(−4)而直线MR的斜率为3−0−4−(−1)=−1，故l1∥l故选：B．【考点5：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】【知识点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系】两条直线垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l2.1．（2021秋•开平区校级月考）已知△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣2，﹣4），B（6，6），C（0，6），则边AB上的高所在直线的斜率−45【分析】先利用A，B两点的坐标求得直线AB的斜率，再由两条直线垂直，斜率之积为﹣1，得解．【解答】解：因为A（﹣2，﹣4），B（6，6），所以直线AB的斜率为k=6−(−4)所以边AB上的高所在直线的斜率为−4故答案为：−42．（2022•广东模拟）若直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且与经过点（﹣2，1），斜率为−23的直线垂直，则实数a的值为−【分析】求出直线l的斜率，利用两条直线垂直斜率乘积为﹣1的关系，求出a的值即可．【解答】解：直线l的斜率k=2−a−2−a+2=−∴−1a•（−23故答案为：−3．（2021秋•汉沽区期中）已知直线L1的倾斜角α1＝30°，直线L1⊥L2，则L2的斜率为−3【分析】先根据直线L1的倾斜角α1＝30°，直线L1⊥L2，求出L2的倾斜角，再根据倾斜角与斜率的关系求出L2的斜率．【解答】解：∵直线L1的倾斜角α1＝30°，直线L1⊥L2，∴L2的倾斜角为120°，∴L2的斜率为tan120°=−3故答案为−34．根据条件求下列倾斜角、斜率（1）直线l的倾斜角的正弦值是12，则直线l的斜率是33或−（2）直线xtanπ7+y＝0的倾斜角是6π（3）已知直线l1的倾斜角α1＝30°，直线l2与l1垂直，试求l1，l2的斜率．【分析】根据直线斜率和倾斜角之间的关系分别进行求解即可．【解答】解：（1）∵直线l的倾斜角的正弦值是12∴sinα=12，则α=π即tanα=33或则直线l的斜率是33或−（2）由直线xtanπ7+y＝0得y＝﹣tanπ7x＝tan（π−π7）即直线的斜率k＝tan6π7，则倾斜角为6π（3）已知直线l1的倾斜角α1＝30°，则直线l1对应的斜率k＝tan30°=3∵直线l2与l1垂直，∴直线l2的斜率k2=−1故答案为：33或−33【考点6：直线的方向向量】【知识点：直线的方向向量】我们知道,直线P1P2上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量.直线P1P2的方向向量的坐标为(-,-).

当直线P1P2与x轴不垂直时,.此时向量也是直线P1P2的方向向量,且它的坐标为,即=(1,k),其中k是直线P1P2的斜率.因此,若直线l的斜率为k,它的一个方向向量的坐标为(x,y),则k=.1．（2022春•浙江月考）直线l：2x﹣y+1＝0的方向向量可以是（）A．（1，2） B．（2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣1，2）【分析】求出直线的斜率，然后推出与已知直线垂直的直线的斜率，然后写出一个直线的法向量即可．【解答】解：在直线l：2x﹣y+1＝0上任意取2个点A（0，1），B（1，3），直线l：2x﹣y+1＝0的一个方向向量为AB→故选：A．2．（2021秋•郴州期末）已知直线l：y＝kx的方向向量为（1，3），则直线l的倾斜角为（）A．30° B．60° C．120° D．150°【分析】根据直线l：y＝kx的方向向量得出斜率，从而求出倾斜角．【