备战2025年高考数学一轮复习(世纪金榜高中全程复习方略数学人教A版基础版)课时作业五十九　抛物线

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。五十九抛物线(时间:45分钟分值:90分)【基础落实练】1.(5分)(2024·济南模拟)已知点(1,4)在抛物线y=ax2上,则抛物线的焦点坐标为()A.(1,0) B.(0,1) C.(0,116) D.(1【解析】选C.因为点(1,4)在抛物线y=ax2上,所以4=a×12,则a=4,所以抛物线的标准方程是x2=14y则抛物线的焦点坐标为F(0,116)2.(5分)(2024·南昌模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,抛物线C上一点P到点F的距离为3,则点P到原点的距离为()A.2 B.3 C.22 D.23【解析】选D.抛物线C:y2=4x的准线为x=-1,由题意,设P(x0,y0),因为|PF|=3=x0-(-1),所以x0=2,P(2,±22),则点P到原点的距离为4+8=23.3.(5分)(2024·长春模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的顶点为O,经过点A(x0,2),且F为抛物线C的焦点,若|AF|=3|OF|,则p=()A.12 B.1 C.2 D.【解析】选C.因为点A(x0,2)在抛物线上,|AF|=3|OF|,所以x0+p2=3所以x0=p,所以A(p,2),所以4=2p2,解得p=2.【加练备选】抛物线C:x2=8y的焦点为F,过F且倾斜角为π4的直线l与抛物线C交于A,B两点,点D为抛物线C上的动点,且点D在l的右下方,则△DAB面积的最大值为(A.162 B.122 C.82 D.62【解析】选A.由C:x2=8y知F(0,2),则直线l的方程为y=x+2,设D(x,x2则D到直线l的距离为d=|x又点D在l的右下方,所以d=|x-x联立方程x2=8yy=x设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=8,x1·x2=-16,所以|AB|=1+12·(x1+x2)2-4x1x2=16,所以S=22(-x2+8x+16),故当x=4时,S△DAB有最大值1624.(5分)(2024·东城模拟)过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,若F是线段AB的中点,则|AB|=()A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选D.由题可知:线段AB为抛物线的通径,所以|AB|=4.5.(5分)(多选题)(2024·漳州模拟)上甘岭战役是抗美援朝中中国人民志愿军进行的最著名的山地防御战役.在这场战役中,我军使用了反斜面阵地防御战术.反斜面是山地攻防战斗中背向敌方、面向我方的一侧山坡.反斜面阵地的构建,是为了规避敌方重火力输出.某反斜面阵地如图所示,山脚A,B两点和敌方阵地D点在同一条直线上,某炮弹的弹道DCE是抛物线Γ的一部分,其中E在直线AB上,抛物线的顶点C到直线AB的距离为100米,DE长为400米,CD=CE,∠CAB=30°,建立适当的坐标系使得抛物线Γ的方程为x2=-2py(p>0),则()A.p=200B.Γ的准线方程为y=100C.Γ的焦点坐标为(0,-50)D.弹道CE上的点到直线AC的距离的最大值为50【解析】选ABD.如图所示,建立以C为坐标原点,x轴平行于AB,y轴垂直于AB的平面直角坐标系.此时C(0,0),E(-200,-100),D(200,-100),抛物线Γ的方程为x2=-2py(p>0),即2002=-2p×(-100),解得p=200,故A正确;抛物线Γ的方程为x2=-400y,准线方程为y=100,焦点坐标为(0,-100),故B正确,C错误;因为∠CAB=30°,C(0,0),故kAC=tan30°=33所以直线AC的方程为y=33x即x-3y=0,不妨设CE上一点为Q(x0,y0),x0∈[-200,0],当Q点处的切线与直线AC平行时,Q到直线AC的距离最大.由y=-1400x2可得y'=-1200故-1200x0=3解得Q(-2003,-100此时Q点到直线AC的距离为|-200336.(5分)(多选题)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)焦点F的直线与C交于A,B两点,其中A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则()A.直线AB的斜率为26B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF|D.∠OAM+∠OBM<180°【解析】选ACD.根据题意如图,对于A,易得Fp2,0,由|AF|=|AM|可得点A在FM的垂直平分线上,则点A横坐标为p2+p2=3p4,代入抛物线可得y2=2p·3p4=32对于B,由斜率为26可得直线AB的方程为x=126y+联立抛物线方程得y2-16py-p2设B(x1,y1),则62p+y1=66则y1=-6p3,代入抛物线得-6p32=2p·x1,解得x1则|OB|=p32+-6p3对于C,由抛物线定义知:|AB|=3p4+p3+p=25p12对于D,OA·OB=3p4,6p2·p3,-6p3=3p4·p3+6p2·-6p3=-3p24<0,则∠AOB为钝角,又MA·MB=又∠AOB+∠AMB+∠OAM+∠OBM=360°,则∠OAM+∠OBM<180°,D正确.7.(5分)(2024·南昌模拟)在水平地面竖直定向爆破时,在爆破点炸开的每块碎片的运动轨迹均可近似看作是抛物线的一部分.这些碎片能达到的区域的边界和该区域轴截面的交线是抛物线的一部分(如图中虚线所示),称该条抛物线为安全抛物线.若某次定向爆破中碎片达到的最大高度为40米,碎片距离爆炸中心的最远水平距离为80米,则这次爆破中,安全抛物线的焦点到其准线的距离为________米.

【解析】以抛物线最高点为坐标原点,平行于地面的直线为x轴,建立平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0),由题意得A(80,-40),将其代入抛物线方程得6400=80p,解得p=80,故安全抛物线的焦点到其准线的距离为80米.答案:808.(5分)直线y=3(x-1)与抛物线y2=4x相交于A,B两点,且A在第一象限,F是抛物线的焦点,则|AF||【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线和抛物线的方程得y=消去y可得,3x2-10x+3=0,解得x1=3,x2=13由于直线过抛物线的焦点F,且A在第一象限,p=2,所以|AF||BF答案:39.(10分)(2024·遂宁模拟)直线y=kx-2交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点,线段AB中点的横坐标为2,抛物线的焦点到y轴的距离为2.(1)求抛物线方程;【解析】(1)抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(p2,0)因为抛物线的焦点到y轴的距离为2,则p2=2,可得p=4,所以,抛物线的方程为y2=8(2)设抛物线与x轴交于点D,求△ABD的面积.【解析】(2)若k=0,则直线AB与抛物线y2=8x只有一个交点,不符合题意,则k≠0,设点A(x1,y1),B(x2,y2),联立y=k2x2-(4k+8)x+4=0,Δ=(4k+8)2-16k2=64k+64>0,解得k>-1,因为线段AB中点的横坐标为2,所以4k+8k2=4,整理可得k又因为k>-1,解得k=2,易知抛物线y2=8x交x轴于点D(0,0),则有4x2-16x+4=0,可得x2-4x+1=0,由根与系数的关系可得x1+x2=4,x1x2=1,由弦长公式可得|AB|=1+22·|x1-x2|=5·(x1+x2原点D到直线AB:2x-y-2=0的距离为d=222+所以,S△ABD=12|AB|·d=12×215×25【加练备选】(2024·包头模拟)抛物线y2=2px(p>0)的准线被圆x2+y2-2y-3=0截得的弦长为23.(1)求p的值;【解析】(1)圆x2+y2-2y-3=0,即x2+(y-1)2=4,圆心C(0,1),半径为2,则C到准线距离为d=22-(3)2=1,所以准线方程为所以抛物线标准方程为y2=4x.(2)过点M(4,0)的直线交抛物线于点A,B,证明:以AB为直径的圆过原点O.【解析】(2)设直线AB方程为x=my+4,A(y124,y1),B(y2联立方程x=my+4y2=4x,消去则Δ=16m2+64>0,可得y1·y2=-16,又因为OA=(y124,y1),OB=(y2则OA·OB=(y1y2)216+可得OA⊥OB,即以线段AB为直径的圆过原点O.【能力提升练】10.(5分)(多选题)(2024·深圳模拟)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,M(x0,y0)是抛物线C上一个动点,点A(0,2),则下列说法正确的是()A.若|MF|=5,则y0=4B.过点A与抛物线C有一个公共点的直线有3条C.连接M,F并延长与抛物线交于点N,若M,N的中点Q(1,1),则|MN|=4D.点M到直线x-y+3=0的最短距离为22【解析】选BC.由抛物线C:y2=4x的方程可得焦点F(1,0),准线方程x=-1,A中,由抛物线的性质|MF|=x0+1=5,则x0=4,代入抛物线的方程可得y0=±4,所以A不正确;B中,将A点的坐标代入:22>4×0,可得A点在抛物线的外面,所以过A有两条直线与抛物线相切,还有一条平行于x轴的直线与抛物线有一个公共点,所以有3条直线与抛物线有一个公共点,B正确;C中,|MN|=x0+xN+p=2xQ+2=4,所以C正确;D中,点M到直线x-y+3=0的距离d=|x0-y0+3|2=|y02411.(5分)(多选题)(2023·新高考Ⅱ卷)设O为坐标原点,直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,且与C交于M,N两点,l为C的准线,则()A.p=2B.|MN|=8C.以MN为直径的圆与l相切D.△OMN为等腰三角形【解析】选AC.A选项:直线y=-3(x-1)过点(1,0),所以抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),所以p2=1,p=2,2p=4,则A选项正确,且抛物线C的方程为y2=4B选项:设M(x1,y1),N(x2,y2),由y=-3(x-1)y2=4x解得x1=3,x2=13,所以|MN|=x1+x2+p=3+13+2=16C选项:设MN的中点为A,M,N,A到直线l的距离分别为d1,d2,d,因为d=12(d1+d2)=12(|MF|+|NF|)=12即A到直线l的距离等于MN的一半,所以以MN为直径的圆与直线l相切,C选项正确.D选项:直线y=-3(x-1),即3x+y-3=0,O到直线3x+y-3=0的距离为d=32所以△OMN的面积为12×163×32由上述分析可知y1=-3(3-1)=-23,y2=-3(13-1)=2所以|OM|=32+(-23)2=21所以△OMN不是等腰三角形,D选项错误.12.(5分)(多选题)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O为坐标原点,点A(1,1)在抛物线C:x2=2py(p>0)上,过点B(0,-1)的直线交C于P,Q两点,则()A.C的准线为y=-1B.直线AB与C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2D.|BP|·|BQ|>|BA|2【解析】选BCD.将点A代入抛物线方程得1=2p,所以抛物线方程为x2=y,故准线方程为y=-14kAB=1-(-所以直线AB的方程为y=2x-1,联立y=2x-1x2=y设过点B的直线为l,若直线l与y轴重合,则直线l与抛物线C只有一个交点,所以,直线l的斜率存在,设其方程为y=kx-1,P(x1,y1),Q(x2,y2),联立y=kx-1x2所以Δ=所以k>2或k<-2,y1y2=(x1x2)2=1,又|OP|=x12+y12=y1所以|OP|·|OQ|=y1y2(1+y1)(1+因为|BP|=1+k2|x1|,|BQ|=1+k2所以|BP|·|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k2>5,而|BA|2=5,故D正确.13.(5分)经过抛物线x2=4y的焦点的直线与抛物线相交于A,B两点,若|AB|=4,则△OAB(O为坐标原点)的面积为________.

【解析】由题意知,抛物线x2=4y的焦点F(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB:y=kx+1,联立方程y=消去x可得y2-(2+4k2)y+1=0,Δ=(2+4k2)2-4=16k4+16k2≥0,由根与系数的关系得y1+y2=2+4k2,y1y2=1,因为|AB|=|AF|+|FB|=y1+y2+2=2+4k2+2=4,所以k2=0,即k=0,所以直线AB:y=1,所以点O到直线AB的距离为|OF|=1,所以S△OAB=12|OF|·|AB|=12答案:2【加练备选】(2024·运城模拟)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F到其准线的距离为2,圆M:(x-1)2+y2=1,过F的直线l与抛物线C和圆M从上到下依次交于A,P,Q,B四点,则9|AP|+4|BQ|的最小值为______.

【解析】因为抛物线的焦点到准线的距离为2,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x,如图,|PF|=|QF|=1,因为9|AP|+4|BQ|=9(|AF|-|PF|)+4(|BF|-|QF|)=9|AF|+4|BF|-13,设A(x1,y1),B(x2,y2),所以|AF|=x1+p2=x1+1,|BF|=x2+p2=x所以9|AP|+4|BQ|=9x1+4x2,因为直线l与x轴平行时显然不符合题意,故可设l:x=my+1,因为直线所过定点F(1,0)在抛物线内部,则直线l必然与抛物线有两交点,同样与圆也有两交点,联立y2=4xx=my+1,x所以x1x2=1,所以9|AP|+4|BQ|=9x1+4x2≥236x1x2=12,当且仅当9x1=4x2,即x1=23,x2=32答案:1214.(10分)(2023·南京模拟)已知O为坐标原点,抛物线E:x2=2py(p>0),过点C(0,2)作直线l交抛物线E于点A,B(其中点A在第一象限),OA·OB=-4且AC=λCB(λ>0).(1)求抛物线E的方程;【解析】(1)直线l的斜率显然存在,设直线l的方程为y=kx+2,设直线l与抛物线的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)(x1>0),A,B在抛物线上,则y1=x122p,y由y=kx+2,x2=2py,消所以x又OA·OB=-4,则x1x2+y1y2=-4,所以x1x2+x122所以-4p+4=-4,p=2,所以抛物线E的方程为x2=4y;(2)当λ=2时,过点A,B的圆与抛物线E在点A处有共同的切线,求该圆的方程.【解析】(2)由y消y并整理得x2-4kx-8=0,所以x当λ=2时,由AC=2CB知x1=-2x2,又x1>0,所以x1=4,x2=-2,k=12所以线段AB的中点坐标为(1,52),A的坐标为(4,4),线段ABy-52=-2(x-1),即y=-2x+9y=14x2求导得y'=12x,抛物线E在点A处的切线斜率为2,过点A且与切线垂直的直线方程为y-4=-12(x-4),即y=-由y=-2x+92及y=-12x+6得圆心坐标为(-1,圆的半径为(-1-4所以所求圆的方程为(x+1)2+(y-132)2=12515.(10分)(2024