第六章　第五节　第2课时　余弦定理、正弦定理应用举例

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第2课时余弦定理、正弦定理应用举例【课标解读】【课程标准】能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题.【核心素养】数学抽象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法正、余弦定理的应用主要解决与距离、高度、角度等有关的实际问题,主要以选择、填空题的形式考查.预测预计2025年高考以利用正弦定理、余弦定理测量距离、高度、角度等实际问题为主,可能与三角恒等变换、三角函数的性质结合考查,题型主要为选择题或填空题.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下方的角叫俯角(如图①).2.方位角从正北方向线顺时针旋转到目标方向线的水平角.如点B的方位角为α(如图②).微点拨仰角与俯角是相对水平线而言的,而方位角是相对正北方向而言的.3.方向角相对某一正方向的水平角,即从指定方向线到目标方向线的水平角(指定方向线一般是指正北或正南方向,方向角小于90°).如北偏东α,南偏西α.特别地,若目标方向线与指北或指南方向线成45°角,则称为东北方向、西南方向等.(1)北偏东α,即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③);(2)北偏西α,即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向;(3)南偏西等其他方向角类似.4.坡角与坡度(1)坡角:坡面与水平面所成的二面角(如图④,角θ为坡角).(2)坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度),坡度又称为坡比.基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号13241.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)东南方向与南偏东45°方向相同.()(2)俯角是铅垂线与视线所成的角,其范围为0,π2.提示:(2)俯角是视线与水平线所构成的角.(3)从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β的关系为α+β=180°.()提示:(3)α=β.(4)方位角大小的范围是[0,2π),方向角大小的范围一般是0,π2.答案:(1)√(2)×(3)×(4)√2.(弄错方向角的含义)如图所示,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站的南偏西40°方向上,灯塔B在观察站的南偏东60°方向上,则灯塔A在灯塔B的()A.北偏东10°方向上B.北偏西10°方向上C.南偏东80°方向上D.南偏西80°方向上【解析】选D.由条件及题图可知,△ABC为等腰三角形,所以∠BAC=∠ABC=40°,又∠BCD=60°,所以∠CBD=30°,所以∠DBA=10°,因此灯塔A在灯塔B的南偏西80°方向上.3.(必修第二册P49例9·变条件)如图所示,为测量河对岸一点C与岸边一点A之间的距离,已经测得岸边的A,B两点间的距离为m,∠CAB=α,∠CBA=β,则C,A间的距离为()A.msinβsinαC.msinβsin(【解析】选C.因为ABsin∠ACB=所以AC=AB·sin∠ABC4.(2021·全国甲卷)2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86(单位:m),三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.如图是三角高程测量法的一个示意图,现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100;由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为(3≈1.732)()A.346 B.373 C.446 D.473【解析】选B.作CM⊥BB',BN⊥AA',CQ⊥AA',其中M,N,Q为相应的垂足(图略),由题意得,BM=100,∠BCM=15°,∠ABN=45°,即CM=100tan15°=B'C',所以BN=B'A'=100tan15°·sin45°sin75°AQ=AA'-CC'=AN+QN=AN+(BB'-CC')=273+100=373.【核心考点·分类突破】考点一测量距离问题[例1](1)(2023·龙岩模拟)如图所示,为了测量A,B两处岛屿的距离,小明在D处观测,A,B分别在D处的北偏西15°,北偏东45°方向,再往正东方向行驶20海里至C处,观测B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为()A.206海里 B.106海里C.20(1+3)海里 D.10(1+3)海里【解析】选B.在三角形ACD中,∠ADC=90°+15°=105°,∠ACD=90°-60°=30°,∠CAD=180°-105°-30°=45°,由正弦定理得CDsin45°=ACsin105°,AC=CD×sin105°在三角形BCD中,∠BDC=45°,∠BCD=90°,所以∠CBD=45°,所以BC=CD=20,由余弦定理得AB=AC2+B(2)萧县的萧窑、淮南的寿州窑和芜湖的繁昌窑是安徽三大名窑.如图为萧窑出土的一块三角形瓷器片,其一角已破损.为了复原该三角形瓷器片,现测得如下数据:AB=34.64cm,AD=10cm,BE=14cm,A=B=π6,则D,Ecm.(参考数据:3≈1.732)

【解析】如图,延长AD,BE交于点C,因为A=B=π6,所以C=2π故ACsinB=BCsin所以AC=BC=34.64×1232由题意得CD=20-10=10,CE=20-14=6,C=2π3故DE=CD2+CE2答案:14解题技法距离问题的类型及解法(1)类型:①两点间既不可达也不可视,②两点间可视但不可达,③两点都不可达.(2)解法:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.对点训练1.(2023·青岛模拟)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象,被喻为“地球给人类保留宇宙秘密的最后遗产”,若要测量如图所示某蓝洞洞口边缘A,B两点间的距离,现在珊瑚群岛上取两点C,D,测得CD=8海里,∠ADB=135°,∠BDC=∠DCA=15°,∠ACB=120°,则A,B两点的距离为海里.

【解析】在三角形ACD中,∠DCA=15°,∠ADC=135°+15°=150°,∠CAD=180°-150°-15°=15°,所以AD=CD=8,所以AC=64+64-2×8×8×cos150°在三角形BCD中,∠BDC=15°,∠BCD=15°+120°=135°,∠CBD=180°-15°-135°=30°,由正弦定理得8sin30°=BCsin15°,=16×(22×32-22×12)=16×6-2在三角形ABC中,∠ACB=120°,所以AB=AC2=256+64=85(海里).答案:852.(2023·吉安模拟)如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米.(1)求线段MN的长度;【解析】(1)在△AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos∠MAN,即MN2=22+22-2×2×2×(-12)=12,可得MN=23所以线段MN的长度为23千米.(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.【解析】(2)设∠PMN=α∈(0,2π3),因为∠MPN=π所以∠PNM=2π3-α在△PMN中,由正弦定理得MNsin∠MPN=PMsin∠因为MNsin∠MPN=所以PM=4sin∠PNM=4sin(2π3-αPN=4sin∠PMN=4sinα,因此PM+PN=4sin(2π3-α)+4sinα=4(32cosα+12sin=6sinα+23cosα=43sin(α+π6因为0<α<2π3,所以π6<α+π6所以当α+π6=π2,即α=π3时,PM+PN取到最大值4考点二测量高度问题[例2](1)如图,某同学为测量鹳雀楼的高度MN,在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB,高约为37m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和45°,在A处测得鹳雀楼顶部M的仰角为15°,则鹳雀楼的高度约为()A.91m B.74m C.64m D.52m【解析】选B.在Rt△ABC中,AC=2AB=74,在△MCA中,∠MCA=105°,∠MAC=45°,则∠AMC=180°-∠MCA-∠MAC=30°,由正弦定理得MCsin∠MAC=即MCsin45°=74sin在Rt△MNC中,MN=742×22=74(m)(2)一辆汽车在一条水平的高速公路上直线行驶,在A,B,C三处测得道路一侧山顶P的仰角分别为30°,45°,60°,其中AB=a,BC=b(0<a<3b),则此山的高度为()A.122ab(C.125ab(【解析】选D.如图,设点P在地面上的投影为点O,则∠PAO=30°,∠PBO=45°,∠PCO=60°,设山高PO=h,则AO=3h,BO=h,CO=3ℎ在△AOC中,cos∠ABO=-cos∠CBO,由余弦定理可得:a2+ℎ整理得h2=3ab(a+b解题技法测量高度问题的求解策略(1)理解仰角、俯角、方向(位)角是关键.(2)在实际问题中,若遇到空间与平面(地面)同时研究的问题,最好画两个图形,一个空间图形,一个平面图形.(3)注意山或塔垂直于地面或海平面,把空间问题转化为平面问题.对点训练1.(2023·广州模拟)赤岗塔是广州市级文物保护单位,是广州市明代建筑中较具特色的古塔之一,与琶洲塔、莲花塔并称为广州明代三塔.如图,在A点测得塔底位于A点北偏东60°方向上的点D处,塔顶C的仰角为30°,在A的正东方向且距D点61m的B点测得塔底位于B点北偏西45°方向上(A,B,D在同一水平面),则塔的高度CD约为(参考数据:6≈2.45)()A.40m B.45m C.50m D.55m【解析】选C.由题意,BD=61,∠DAB=30°,∠DBA=45°,所以ADsin45°=61sin又∠DAC=30°,则tan∠DAC=CDAD=1所以CD=13AD=13×6122.(2023·江门模拟)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100米,∠BAC=60°,BC的距离比AC短40米.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.(1)求A,C两地间的距离;【解析】(1)由题意,设AC=x,则BC=x-40.在△ABC中,由余弦定理,得BC2=BA2+AC2-2BA·ACcos∠BAC,即(x-40)2=10000+x2-100x,解得x=420,所以A,C两地间的距离为420米.(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.【解析】(2)在Rt△ACH中,AC=420,∠CAH=30°,所以CH=AC·tan∠CAH=1403,即该仪器的垂直弹射高度CH为1403米.考点三测量角度问题[例3](2023·郑州模拟)在海岸A处,发现北偏西75°的方向,与A距离2海里的B处有一艘走私船,在A处北偏东45°方向,与A距离(3-1)海里的C处的缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船.此时,走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏西30°方向逃窜,问:(1)刚发现走私船时,缉私船距离走私船多远?在走私船的什么方向?【解析】(1)由题意,可得AB=2,AC=3-1,∠BAC=120°,则BC=AB2+AC在△ABC中,由正弦定理得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC,即解得sin∠ACB=22,因为0°<∠ACB所以∠ACB=45°,所以BC为水平线,所以刚发现走私船时,缉私船距离走私船6海里,在走私船的正东方向.(2)缉私船沿什么方向能最快追上走私船?【解析】(2)设经过t小时后,缉私船追上走私船,在△BCD中,可得BD=10t,CD=103t,∠DBC=120°,由正弦定理得sin∠BCD=BDsin∠CBDCD=10因为∠BCD为锐角,所以∠BCD=30°,所以缉私船沿北偏西60°的方向能最快追上走私船.解题技法测量角度问题的求解策略测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上,画出表示实际问题的图形,并在图形中标出有关的角和距离,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后将解得的结果转化为实际问题的解.提醒:确定方向角时,必须先弄清楚是哪一个点的方向角.对点训练(2023·赣州模拟)如图,某运动员从A市出发沿海岸一条笔直的公路以每小时15km的速度向东进行长跑训练,长跑开始时,在A市南偏东方向距A市75km的B处有一艘小艇,小艇与海岸距离为45km,若小艇与该运动员同时出发,要追上这位运动员.(1)小艇至少以多大的速度行驶才能追上这位运动员?【解析】(1)如图,设小艇以每小时vkm的速度从B处出发,沿BD方向行驶,t小时后与该运动员在D处相遇,在△ABD中,AB=75,AD=15t,BC=45,故sin∠BAD=4575=35,cos∠BAD=由余弦定理得B