第七章　第四节　求通项公式

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第四节求通项公式【核心考点·分类突破】模型一形如an+1=pan+q[例1](1)数列{an}满足an=4an-1+3(n≥2)且a1=0,则a2025等于()A.22024-1 B.42024-1C.22024+1 D.42024+1【解析】选B.因为an=4an-1+3(n≥2),所以an+1=4(an-1+1)(n≥2),所以{an+1}是以1为首项,4为公比的等比数列,则an+1=4n-1.所以an=4n-1-1,所以a2025=42024-1.(2)已知数列{an}的首项a1=1,且1an+1=3an+2,则【解析】因为1an+1=3an+2,等式两边同时加1整理得又因为a1=1,所以1a所以{1an所以1an+1=2·3n-1,所以an=答案:1解题技法形如an+1=pan+q(p≠0,1,q≠0)第①步:假设将递推公式改写为an+1+t=p(an+t)的形式;第②步:由待定系数法,解得t=qp第③步:写出数列{an+qp第④步:写出数列{an}的通项公式.对点训练已知在数列{an}中,a1=1,且an+1+2an+3=0,n∈N*,数列{an}的前n项和为Sn,则S6=.

【解析】因为an+1=-2an-3,所以an+1+1=-2(an+1),因为a1+1=2≠0,所以数列{an+1}是以2为首项,-2为公比的等比数列,所以an+1=2×(-2)n-1,即an=2×(-2)n-1-1,Sn=23[1-(-2)n]-n所以S6=23×(1-26)-6=-48答案:-48模型二形如an+1=pan+qn+c[例2]已知数列{an}满足an+1=2an-n+1(n∈N*),a1=3,则an=.

【解析】因为an+1=2an-n+1,设an+1+x(n+1)+y=2(an+xn+y),化简后an+1=2an+xn+y-x,对比原式解方程组得x=-1,y=0,即an+1-(n+1)=2(an-n),所以an即数列{an-n}是以a1-1=2为首项,2为公比的等比数列,则an-n=2·2n-1=2n,所以an=2n+n.答案:2n+n解题技法形如an+1=pan+qn+c(p≠0,1,q≠0)第①步:假设将递推公式改写为an+1+x(n+1)+y=p(an+xn+y)的形式;第②步:由待定系数法,求出x,y的值;第③步:写出数列{an+xn+y}的通项公式;第④步:写出数列{an}的通项公式.对点训练已知a1=1,当n≥2时,an=12an-1+2n-1,则an=【解析】设an+pn+q=12[an-1+p(n-1)+q即an=12an-1-12pn-12p-与原式比较,对应项系数相等得,-12首项a1-4+6=3,所以{an-4n+6}是3为首项,12所以an-4n+6=3·(12)n-1所以an=3·(12)n-1+4n-6答案:3·(12)n-1+4n模型三形如an+1=pan+qn[例3]在数列{an}中,a1=-1,an+1=2an+4·3n-1,则an=.

【解析】方法一:原递推式可化为an+1+λ·3n=2(an+λ·3n-1).①比较系数得λ=-4,①式即是an+1-4·3n=2(an-4·3n-1).则数列{an-4·3n-1}是首项为a1-4×31-1=-5,公比为2的等比数列,所以an-4·3n-1=-5·2n-1,即an=4·3n-1-5·2n-1.方法二:将an+1=2an+4·3n-1的两边同除以3n+1,得an+13n+1=2设bn=an3n,则bn+1=23b设bn+1+k=23(bn+k),比较系数得k=-43,则bn所以{bn-43}是以-53为首项,23为公比的等比数列.所以bn-43=(-53)·(则bn=43-53·(23)所以an=3n·bn=4·3n-1-5·2n-1.答案:4·3n-1-5·2n-1解题技法形如an+1=pan+qn(p≠0,1,q≠0,1)第①步:在递推公式两边同除以qn+1,得an+1qn+1=p第②步:求数列{anqn(i)当p=q时,原式可以变形为an+1qn+1=anq(ii)当p≠q时,原式可以变形为an+1qn+1+λ=pq·(anqn+第③步:写出数列{an}的通项公式.对点训练已知数列{an}中,a1=56,an+1=13an+(12)n+1,则an【解析】方法一:构造数列an+1+λ(12)n+1=13[an+λ(12)化简成原式结构,得an+1=13an-13λ(12)由对应项系数相等得λ=-3,设bn=an-3(12)n,b1=a1-3(12)1=-所以数列{bn}是以-23为首项,13为公比的等比数列,则bn=-23(所以an=32n-方法二:将an+1=13an+(12)n+1两边同乘2n得2n+1·an+1=23(2n·an)+1令bn=2n·an,则bn+1=23bn得bn+1-3=23(bn-3),所以数列{bn-3}是首项为b1-3=2×56-3=-43,公比为23的等比数列,所以bn-3=-43·(即bn=3-2·(23)n所以an=bn2n=3方法三:将an+1=13an+(12)n+1两边分别除以(13)得3n+1an+1=3nan+(32)n+1令bn=3n·an,则bn+1=bn+(32)n+1所以bn-bn-1=(32)n,bn-1-bn-2=(32)n-1,…,b2-b1=(32将以上各式叠加,得bn-b1=(32)2+…+(32)n-1+(32又b1=3a1=3×56=52=1+所以bn=1+32+(32)2+…+(32)n-1+(32)n=1·[1-所以an=bn3n=3答案:32n模型四形如an+1=pan+qan-1[例4](1)已知数列{an}满足:a1=a2=2,an=3an-1+4an-2(n≥3),则a9+a10等于()A.47 B.48 C.49 D.410【解析】选C.由题意得a1+a2=4,由an=3an-1+4an-2(n≥3),得an+an-1=4(an-1+an-2),即an+a所以数列{an+an+1}是首项为4,公比为4的等比数列,所以a9+a10=49.(2)已知在数列{an}中,a1=5,a2=2,an=2an-1+3an-2(n≥3),则an=.

【解析】因为an=2an-1+3an-2(n≥3),所以an+an-1=3(an-1+an-2),又a1+a2=7,所以{an+an-1}是首项为7,公比为3的等比数列,则an+an-1=7×3n-2①,n≥2,又an-3an-1=-(an-1-3an-2)(n≥3),a2-3a1=-13,所以{an-3an-1}是首项为-13,公比为-1的等比数列,则an-3an-1=(-13)·(-1)n-2②,n≥2,①×3+②得,4an=7×3n-1+13·(-1)n-1,所以an=74×3n-1+134(-1)n-1,n当n=1时,a1=5也满足上式.则an=74×3n-1+134(-1)n答案:74×3n-1+134(-1)解题技法形如an+1=pan+qan-1(其中p,q为常数,且pq≠0,n≥2)第①步:假设将递推公式改写成an+1+san=t(an+san-1);第②步:利用待定系数法,求出s,t的值;第③步:求数列{an+1+san}的通项公式;第④步:根据数列{an+1+san}的通项公式,求出数列{an}的通项公式.对点训练数列{an}中,a1=1,a2=53,an+2=53an+1-23an,求数列{a【解析】由an+2=53an+1-23a得an+2-an+1=23(an+1-an故{an+1-an}是以a2-a1=23为首项,23为公比的等比数列,即an+1-an=(23利用叠加法将an+1-an=(23)n,…,a2-a1=2上式全部相加,利用等比数列求和得an+1-a1=2-2(23)n,所以an=3-2(23)n模型五形如an+1=pa[例5]已知在数列{an}中,a1=2,an+1=anan+3,则a【解析】因为1an+1所以1an+1+12=3(1an+1所以{1an+1所以1an+12=3所以1an=3n-1-12,所以an答案:2解题技法形如an+1=panqan+r第①步:将递推公式两边取倒数得1an+1=rp·第②步:利用模型一中的构造法,求出数列{1an第③步:求出数列{an}的通项公式.对点训练(多选题)数列{an}满足an+1=an1+2an(n∈N*),aA.2a10