第四章　第三节　导数与函数的极值、最值

PAGE温馨提示：此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。板块。第三节导数与函数的极值、最值【课标解读】【课程标准】1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.【核心素养】数学抽象、逻辑推理、数学运算.【命题说明】考向考法高考命题以考查函数的极值、最值的概念,求函数的极值、最值为重点内容,对参数分类讨论,是每年的必考内容,三种题型都可能出现,题目难度较大.预测2025年高考中利用导数求函数的极值和最值是必考的考点,极值问题会出现在选择题或填空题中,难度属于中档.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.函数的极值与导数条件f'(x0)=0在点x=x0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0在点x=x0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象极值f(x0)为极大值f(x0)为极小值极值点x0为极大值点x0为极小值点微点拨①函数的极大值和极小值都可能有多个,极大值和极小值的大小关系不确定.②对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.2.函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.微点拨函数的最值是对定义域而言的整体概念,而极值是局部概念,在指定区间上极值可能不止一个,也可能一个也没有,而最值最多有一个,并且有最值的未必有极值;有极值的未必有最值.常用结论1.对于可导函数f(x),“f'(x0)=0”是“f(x)在x=x0处取得极值”的必要不充分条件.2.如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上单调递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上单调递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.3.如果函数f(x)在(a,b)上只有一个极值,那么这个极值就是相应的最值.基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号13421.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)对于可导函数f(x),若f'(x0)=0,则x0为极值点.(×)(2)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.(√)(3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(×)(4)函数f(x)在区间[a,b]上一定存在最值.(√)提示:(1)反例f(x)=x3,f'(x)=3x2,f'(0)=0,但x=0不是f(x)=x3的极值点.×(3)反例f(x)=x2在区间(-1,2)上的最小值为0.×2.(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=alnx+bx取得最大值-2,则f'(2)=(A.-1 B.-12 C.12【解析】选B.因为函数fx的定义域为(0,+∞),所以依题可知,f1=-2,f'1=0,而f'x=ax-bx2,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f'x=-2x+2x2,因此函数fx在0,1上单调递增,在1,+3.(选择性必修二·P98T6·变形式)已知f(x)=x3-12x+1,x∈[-13,1],则f(x)的最大值为________,最小值为________【解析】f'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),因为x∈[-13,1],所以f'(x故f(x)在[-13,1]所以f(x)的最大值为f(-13)=13427,最小值为f答案:134274.(忽视极值的存在条件)若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,在x=1处取得极值10,则a=________,b=________.

【解析】f'(x)=3x2+2ax+b,依题意得f(1解得a=4,经验证,当a=-3,b=3时,f'(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,故f(x)在R上单调递增,所以a=-当a=4,b=-11时,符合题意.答案:4-11【核心考点·分类突破】考点一利用导数求函数的极值问题考情提示函数极值是导数在研究函数中的一个重要应用,在高考中也是重点考查的内容,主要考查导数与函数单调性、极值或方程、不等式的综合应用,既有选择题、填空题,也有解答题.角度1根据导函数图象判断极值[例1](多选题)(2023·石家庄模拟)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则()A.-3是函数y=f(x)的极值点B.-1是函数y=f(x)的极小值点C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增D.-2是函数y=f(x)的极大值点【解析】选AC.根据导函数的图象可知,当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当x∈(-3,1)时,f'(x)≥0,所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确.因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值点,所以B错误,C正确,D错误.角度2已知函数解析式求极值或极值点[例2](1)(2023·西安模拟)已知f(x)=3xex,则f(xA.在(-∞,+∞)上单调递增B.在(-∞,1)上单调递减C.有极大值3eD.有极小值3e【解析】选C.因为f(x)=3x所以f'(x)=3·ex当x>1时,f'(x)<0,f(x)在区间(1,+∞)上单调递减,故A错误;当x<1时,f'(x)>0,f(x)在区间(-∞,1)上单调递增,故B错误;当x=1时,f(x)=3xex取得极大值(2)已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).①当a=12时,求f(x②讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.【解析】①当a=12时,f(x)=lnx-12x,函数的定义域为(0,+∞)且f'(x)=1x令f'(x)=0,得x=2,于是当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如表.x(0,2)2(2,+∞)f'(x)+0-f(x)单调递增ln2-1单调递减故f(x)在定义域上的极大值为f(2)=ln2-1,无极小值.②由①知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x-a=1当a≤0时,f'(x)>0在(0,+∞)上恒成立,则函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;当a>0时,若x∈(0,1a),则f'(x若x∈(1a,+∞),则f'(x故函数在x=1a处有极大值综上可知,当a≤0时,函数f(x)无极值点,当a>0时,函数y=f(x)有一个极大值点,且为1a角度3已知极值(点)求参数(规范答题)[例3](1)已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极小值,则c的值为()A.2 B.4 C.6 D.2或6【解析】选A.由题意,f'(x)=(x-c)2+2x(x-c)=(x-c)·(3x-c),则f'(2)=(2-c)(6-c)=0,所以c=2或c=6.若c=2,则f'(x)=(x-2)(3x-2),当x∈(-∞,23)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(23,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,函数f(x)在x=2处有极小值,满足题意;若c=6,则f'(x)=(x-6)(3x-6),当x∈(-∞,2)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(2,6)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(6,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,函数f(x)在x综上,c=2.(2)(2023·南京模拟)已知函数f(x)=x(lnx-ax)在(0,+∞)上有两个极值,则实数a的取值范围为____________.

【解析】f'(x)=lnx+1-2ax,由题意知lnx+1-2ax=0在(0,+∞)上有两个不相等的实根,则2a=lnx设g(x)=lnx+1x,则g'(x当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减,所以g(x)的极大值为g(1)=1,又当x>1时,g(x)>0,当x→+∞时,g(x)→0,当x→0时,g(x)→-∞,所以0<2a<1,即0<a<12答案:(0,12(3)(12分)(2023·新高考Ⅱ卷)①证明:当0<x<1时,x-x2<sinx<x;②已知函数f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.审题导思破题点·柳暗花明①思路:通过构造函数并借助导数得到单调性,进而证明不等式②思路:通过第①问铺设好的不等式,利用导数讨论函数的单调性,进而得到极值规范答题微敲点·水到渠成【解析】①设h(x)=sinx-x,则h'(x)=cosx-1, ………………1分当0<x<1时,h'(x)<0,所以当0<x<1时,h(x)单调递减,h(x)<h(0)=0,即sinx<x(0<x<1). …………2分

源于教材sinx<x(0<x<1)可参考人教A版《选择性必修第二册》第86页例1(2)及97页练习第1题.设g(x)=sinx-x+x2,则g'(x)=cosx-1+2x,g″(x)=-sinx+2>0, ………3分因而当0<x<1时,g'(x)>g'(0)=0,g(x)>g(0)=0,则有sinx>x-x2(0<x<1).………4分综上,当0<x<1时,x-x2<sinx<x.……………5分②f(x)=cosax-ln(1-x2),由1-x2>0得函数的定义域是(-1,1).由f(x)=f(-x),得函数f(x)为偶函数,则f'(x)=-asinax+2x1-xf″(x)=-a2cosax+2+2xf″(0)=2-a2.若2-a2=0,此时x=0是f(x)的极小值点,不符合题意,则2-a2≠0,即a≠±2若f(x)在x=0处取得极大值,那么该函数在x=0处是上凸的,因而f″(0)=2-a2<0,敲黑板实际上,这里蕴含着“高观点”函数f(x)在x0处具有二阶导数,且f'(x0)=0,f″(x0)≠0,则f(x)在x0处取得极大值的充分条件为f″(x0)<0.则a<-2或a>2.当a>2时,取0<x<1a<1,则0<从而f'(x)=-asinax+2x1-x2<-a(ax-a2x2)+指点迷津利用①的结论进行放缩,转化成不含三角函数的形式,有助于判断零点.易知s(x)=-a2+a3x+21-x2在0,1a上单调递增,而s(0)=2-a因而关于x的方程f'(x)=0在0,1a上有唯一解当x∈(0,x0)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当x∈x0,1a时,f'(x)>0,由f(x)是偶函数且连续,得当x∈(-x0,0)时f(x)单调递增,所以f(x)在x=0处取极大值.…………9分拓展思维也可利用f'(x)为奇函数且连续,得x∈(-x0,0)时f'(x)>0,进而判断极值点.当a<-2时,取1a<x<0,则0<从而f'(x)=-asinax+2x1-x2<-a(ax)+易知u(x)=-a2+21-x而u(0)=-a2+2<0,由-a2+21-x2=0,得x=a2易错警示注意此时的前提条件a<0,所以x=-a2因而f(x)在(a2-2a则取区间1a由f(x)为偶函数,得f(x)在(0,-a2-2a)上单调递减,结合函数f(x)连续得f(x)在x综上所述,a<-2或a>2所以a的取值范围为-∞,-2∪2,+解题技法1.由图象判断函数y=f(x)的极值要抓住的两点(1)由y=f'(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点.(2)由导函数y=f'(x)的图象可以看出y=f'(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.2.运用导数求函数f(x)极值的一般步骤(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求导数f'(x);(3)解方程f'(x)=0,求出函数定义域内的所有根;(4)列表检验f'(x)在f'(x)=0的根x0左右两侧导数值的符号;(5)求出极值.3.已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式:根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.(2)验证:因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.对点训练1.设函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数y=(x-1)f'(x)的图象如图所示,则下列结论正确的是()A.函数f(x)有极大值f(-3)和f(3)B.函数f(x)有极小值f(-3)和f(3)C.函数f(x)有极小值f(3)和极大值f(-3)D.函数f(x)有极小值f(-3)和极大值f(3)【解析】选D.由题图知,当x∈(-∞,-3)时,y>0,x-1<0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-3,1)时,y<0,x-1<0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(1,3)时,y>0,x-1>0⇒f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(3,+∞)时,y<0,x-1>0⇒f'(x)<0,f(x)单调递减.所以函数有极小值f(-3)和极大值f(3).2.(2023·长沙模拟)若1是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则f(x)的极大值为__________.

【解析】因为f(x)=(x2+ax-1)ex可得f'(x)=ex-1[x2+(a+2)x因为1是函数f(x)的极值点,故可得f'(1)=0,即2a+2=0,解得a=-1.此时f'(x)=ex-1(x2+x-2)=ex-1(x+2)(x-1).由f'(x)>0可得x<-2或x>1;由f'(x)<0可得-2<x<1,故f(x)的极大值点为-2.则f(x)的极大值为f(-2)=(4+2-1)e-3=5e-3.答案:5e-3【加练备选】(2023·威海模拟)若函数f(x)=ex-ax2-2ax有两个极值点,则实数a的取值范围为()A.(-12,0) B.(-∞,-1C.(0,12) D.(1【解析】选D.由f(x)=ex-ax2-2ax,得f'(x)=ex-2ax-2a.因为函数f(x)=ex-ax2-2ax有两个极值点,所以f'(x)=ex-2ax-2a有两个变号零点,令f'(x)=0,得12a=设g(x)=x+1ex,y则g'(x)=-xex,令g'(x)=0,即-xe当x>0时,g'(x)<0;当x<0时,g'(x)>0,所以g(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.分别作出函数g(x)=x+1ex与y由图可知,0<12a<1,解得a>所以实数a的取值范围为(12,+∞)考点二利用导数求函数最值问题[例4](2022·全国乙卷)函数f(x)=cosx+(x+1)sinx+1在区间0,2π的最小值、最大值分别为(A.-π2,π2 B.-3πC.-π2,π2+2 D.-3π2【解析】选D.f'(x)=-sinx+sinx+(x+1)cosx=(x+1)cosx,所以在区间(0,π2)和(3π2,2π)上f'(即f(x)单调递增;在区间(π2,3π2)上f'(x)<0,即f(又f(0)=f(2π)=2,f(π2)=π2+2,f(3π2)=-(3π所以f(x)在区间0,2π上的最小值为-3π2,最大值为解题技法求函数f(x)在[a,b]上的最值的方法(1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增或单调递减,则f(a)与f(b)一个为最大值,一个为最小值.(2)若函数f(x)在区间[a,b]上有极值,则先求出函数在[a,b]上的极值,再与f(a),f(b)比较,最大的是最大值,最小的是最小值,可列表完成.(3)函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点,这个极值点就是最值点,此结论在导数的实际应用中经常用到.对点训练1.(2023·苏州模拟)若函数f(x)=13x3+x2-23在区间(a,a+5)内存在最小值,则实数a的取值范围是(A.[-5,0) B.(-5,0)C.[-3,0) D.(-3,0)【解析】选C.由题意,f'(x)=x2+2x=x(x+2),当x<-2或x>0时,f'(x)>0;当-2<x<0时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,-2),(0,+∞)上单调递增,在(-2,0)上单调递减,所以函数f(x)的极小值为f(0)=-23令13x3+x2-23=-23得x3+3x2=0,解得x作其图象如图,结合图象可知-解得a∈[-3,0).2.已知函数f(x)=ax+lnx,其中a为常数.(1)若a=-1时,求f(x)的最大值;【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+∞),当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f'(x)=-1+1x=1-xx,令f'(x)=0,得x=1.当0<x<1时,f'(x)>0;当x>1时,f'(x)<0,所以函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1)=-1.所以当a=-1时,函数f(2)若f(x)在区间(0,e]上的最大值为-3,求a的值.【解析】(2)f'(x)=a+1x,x∈(0,e]时,1x∈[1①若a≥-1e,则f'(x)≥0,从而f(x)在(0,e]上单调递增,所以f(x)max=f(e)=ae+1≥0,不合题意.②若a<-1e,令f'(x)>0得a+1x>0,结合x∈(0,e],解得0<x<-1a;令f'(x)<0得a+1x<0,结合x∈(0,e],解得-1a<x≤e,从而f(x)在(0,-1a)上单调递增,在(-1a,e]上单调递减,所以f(x)max令-1+ln(-1a)=-3,得ln(-1即a=-e2.因为-e2<-1e,所以a=-e2即为所求.故实数a的值为-e2考点三生活中的优化问题[例5](1)(2023·温州模拟)某冷饮店的日销售额y(单位:元)与当天的最高气温x(单位:℃,20≤x≤40)的关系式为y=1910x2-130x3,则该冷饮店的日销售额的最大值约为(A.907元 B.910元C.915元 D.920元【解析】选C.因为y=1910x2-130x3,20≤所以y'=195x-110x2=-110x(所以当20≤x≤38时,y'≥0,即函数在[20,38]上单调递增,当38≤x≤40时,y'≤0,即函数在[38,40]上单调递减,所以当x=38时,函数取值最大,所以ymax=1910×382-130×383(2)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度),设该蓄水池的底面半径为r米,高为h米,体积为V立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12000π元(π为圆周率).①将V表示成r的函数V(r),并求该函数的定义域;②讨论函数V(r)的单调性,并确定r和h为何值时,该蓄水池的体积最大.【解析】①因为蓄水池的侧面的总成本为100×2πrh=200πrh(元),底面的总成本为160πr2元,所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元.由题意得200πrh+160πr2=12000π,所以h=15r(300-4r2从而V(r)=πr2h=π5(300r-4r3)由h>0,且r>0,可得0<r<53.故函数V(r)的定义域为(0,53).②由①知V(r)=π5(300r-4r3故V'(r)=π5(300-12r2令V'(r)=0,解得r1=5,r2=-5(舍).当r∈(