函数模型的应用实例二

函数模子的应用实例〔二〕〔一〕涵养目的1．常识与技艺操纵应用指数型，拟合型函数模子解答实际应用咨询题的题型特征，晋升教师处置庞杂的实际应用咨询题的才干.2．进程与办法HYPERLINK阅历实际应用咨询题的求解进程，休会指数函数模子、拟合函数模子的题型特征，学会应用函数常识处置实际咨询题.3．感情、破场与代价不雅不雅理解数学常识起源于生涯，又效能于实际，从而培育教师的数学应用意识，进步教师进修数学的兴味.〔二〕涵养重点与难点重点：指数函数模子、拟合函数模子的应用难点：依照题设情境，树破函数模子.〔三〕涵养办法师生协作探求解题办法，总结解题法那么.教师启示引诱，教师动手实验相联合.从而办法应用指数函数模子，似合函数模子处置实际咨询题的技艺.〔四〕涵养进程涵养环节涵养内容师生互动方案用意温习引入例1某桶装水运营部天天的房租、职员人为等硬朗本钞票为200元，每桶水的进价是5元.贩卖单价与日均贩卖量的关联如表所示：贩卖单价/元6789日均贩卖量/桶480440400360贩卖单价/元101112日均贩卖量/桶320280240请据以上数据作出剖析，那个运营部怎样样订价才干取得最大年夜利润？师生协作回忆一元一次函数，一元二次函数.分段函数建模实际咨询题的求解思绪“审、建、解、检〞HYPERLINK"://zxxk"生：实验解答例1HYPERLINK"://zxxk"解：依照表，贩卖单价每添加1元，日均贩卖量就添加40桶.设在进价根底上添加x元后，日均贩卖利润为y元，而在此情况下的日均贩卖量就为HYPERLINK"://zxxk"480–40(x–1)=520–40x(桶)HYPERLINK"://zxxk"因为x＞0且520–40x＞0，即0＜x＜13，因此可得HYPERLINK"://zxxk"y=(520–40x)x–200HYPERLINK"://zxxk"=–40x2+520x–200，0＜x＜13HYPERLINK"://zxxk"易知，当x=6.5时，y有最大年夜值.HYPERLINK"://zxxk"因此，只要将贩卖单价定为11.5元，就可取得最大年夜的利润.HYPERLINK"://zxxk"师：协助讲义剖析解答进程，回忆反思上节课的进修结果以旧引新激起兴味，再现应用技艺.应用举例4．指数型函数模子的应用HYPERLINK"://zxxk"例1生齿咨询题是当当代界各国广泛存眷的咨询题.看法生齿数目的变更法那么，能够为无效操纵生齿添加供给依照.早在1798年，英国经济学家马尔萨斯(T.R.Malthus,1766—1834)就提出了天然外形下的生齿添加模子：y=y0ert，HYPERLINK"://zxxk"此中t表示经过的时刻，y0表示t=0时的生齿数，r表示生齿的年均匀添加率.HYPERLINK"://zxxk"下表是1950~1959年我国的生齿数据材料：年份19501951195219531954人数/万人5519656300574825879660266年份19551956195719581959人数/万人6145662828645636599467207〔1〕假定以各年生齿添加率的均匀值作为我国这一时代的生齿添加率〔准确到0.0001〕，用马尔萨斯生齿添加模子树破我国在这一时代的详细生齿添加模子，并测验所得模子与实际生齿数据是否契合；HYPERLINK"://zxxk"〔2〕假定按表的添加趋向，大年夜概在哪一年我国的生齿到达13亿？HYPERLINK"://zxxk"例2某地域差别身高的未成年男性的体重均匀值如表身高/cm60708090100110体重/kg6.137.909.9012.1515.0217.50身高/cm120130140150160170体重/kg20.9226.8631.1138.8547.2555.05〔1〕依照表供给的数据，是否树破恰当的函数模子，使它能比拟近似地反应那个地域未成年男性体重ykg与身高xcm的函数关联？试写出那个函数模子的剖析式.HYPERLINK"://zxxk"〔2〕假定体重跨越一样身高男性体重均匀值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么那个地域一名身高为175cm，体重为78kg的在校男生的体重是否畸形？HYPERLINK"://zxxk"例2解答：HYPERLINK"://zxxk"〔1〕以身高为横坐标，体重为纵坐标，画出散点图.依照点的散布特征，可思索以y=a·bx作为描绘那个地域未成年男性的体重与身高关联的函数模子.HYPERLINK"://zxxk"HYPERLINK"://zxxk"假定取此中的两组数据(70，7.90)，(160，47.25)，代入y=a·bx得：，用计划器算得a≈2，b≈1.02.HYPERLINK"://zxxk"如此，咱们就失落失落落一个函数模子：y=2×1.02x.HYPERLINK"://zxxk"将曾经清晰数据代入上述函数剖析式，或作出上述函数的图象，能够察觉，那个函数模子与曾经清晰数据的拟合水平较好，这阐明它能较好地反应那个地域未成年男性体重与身高的关联.HYPERLINK"://zxxk"〔2〕将x=175代入y=2×1.02x得y=2×1.02175，HYPERLINK"://zxxk"由计划器算得y≈63.98.HYPERLINK"://zxxk"因为78÷63.98≈1.22＞1.2，HYPERLINK"://zxxk"因此，那个男生偏胖.HYPERLINK"://zxxk"归结总结：HYPERLINK"://zxxk"经过树破函数模子，处置实际实际咨询题的全然进程：HYPERLINK"://zxxk"师：形如y=bacx函数为指数型函数，破费生涯中以此函数构建模子的实例特不多〔如例1〕HYPERLINK"://zxxk"生：在教师的指点下审题、建模、求解、测验、实验实现此例HYPERLINK"://zxxk"师生协作总结解答思绪及题型特征HYPERLINK"://zxxk"师生：独特实现例1解答：HYPERLINK"://zxxk"〔1〕设1951~1959年的生齿添加率分不为r1，r2，…，r9.由55196(1+r1)=56300，可得1951年的生齿添加率HYPERLINK"://zxxk"r1≈0.0200.HYPERLINK"://zxxk"同理可得，HYPERLINK"://zxxk"r2≈0.0210，r3≈0.0229，r4≈0.0250，r5≈0.0197，r6≈0.0223，r7≈0.0276，HYPERLINK"://zxxk"r8≈0.0222，r9≈0.0184.HYPERLINK"://zxxk"因此，1951~1959年时代，我国生齿的年均添加率为HYPERLINK"://zxxk"r(r1+r2+…+r9)÷9≈0.0221.HYPERLINK"://zxxk"令y0=55196，那么我国在1950~1959年时代的生齿添加模子为y=55196e0.0221t，t∈N.HYPERLINK"://zxxk"依照表中的数据作出散点图并作出函数HYPERLINK"://zxxk"y=55196e0.0221t(t∈N)的图象HYPERLINK"://zxxk"HYPERLINK"://zxxk"由图能够看出，所得模子与1950~1959年的实际生齿数据全然契合.HYPERLINK"://zxxk"〔2〕将y=130000代入HYPERLINK"://zxxk"y=55196e0.0221t，HYPERLINK"://zxxk"由计划器可得t≈38.76.HYPERLINK"://zxxk"因此，假定按表的添加趋向，那么大年夜概在1950年后的第39年〔即1989年〕我国的生齿就已到达13亿.由此能够看到，假定不履行方案生养，而是让生齿天然添加，他日我国将面对难以接受的生齿压力.HYPERLINK"://zxxk"经过实例求解，提炼办法整合思绪晋升才干.波动训练训练1曾经清晰1650年天下生齿为5亿，事后生齿的年添加率为0.3%；1970年天下生齿为36亿，事后生齿的年添加率为2.1%.〔1〕用马尔萨斯生齿模子计划，什么时分天下生齿是1650年的2倍？什么时分天下生齿是1970年的2倍？〔2〕实际上，1850年往常天下生齿就跨越了10亿；而2003年天下生齿还不到达72亿.你对异样的模子得出的两个结果有何看法？解答：〔1〕曾经清晰生齿模子为y=y0en，此中y0表示t=0时的生齿数，r表示生齿的年添加率.假定按1650年天下生齿5亿，年添加率为0.3%估量，有y=5e0.003t.当y=10时，解得t≈231.因此，1881年天下生齿约为1650年的2倍.同理可知，2003年天下生齿数约为1970年的2倍.〔2〕由此看出，此模子不太适合估量跨度时刻特不大年夜的生齿添加情况.固化才干强化技艺应用举例4．拟合函数模子例3某皮鞋厂从往年1月份开场投产，同时前4个月的产量分不为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双.因为产物质量好，样式新鲜，前多少多个月的贩卖情况优秀.为了倾销员在倾销产物时，接受定单不至于过多或过少，需求估量当前多少多个月的产量.厂里剖析，产量的添加是因为工人破费纯熟跟理顺了破费流程.厂里也临时不预备添加装备跟工人.假定你是厂长，就月份x，产量y给出四种函数模子：y=ax+b，y=ax2+bx+c，,y=abx+c，你将应用哪一种模子去预算当前多少多个月的产量？归结总结：因此y=–0.8×0.54+1.4=1.35此题是对数据进展函数模仿，抉择最契合的模仿函数.普通思绪要画出散点图，而后作出模仿函数的图象，抉择适合的多少多种函数模范后，再加以验证.函数模子的树破是最大年夜的难点，不的运算量较大年夜，必需借助计划机进展数据处置，函数模子的牢靠性与合感性既需求数据测验，又必需与详细实际联合起来.生：动手实际解题此例教师四个代表分不板书四种函数模子.师：点评教师解答，总结，答复以下咨询题剖析：此题是经过数据验证，断定系数，而后剖析断定函数的变更情况，终极寻出与实际最濒临的函数模子.由题知A(1，1)，B(2，1.2)，C

(3，1.3)，D(4，1.37).〔1〕设模仿函数为y=ax+b，将B、C两点的坐标代入函数式，有因此得y=0.1x+1.〔2〕设y=ax2+bx+c，将A，B，C三点代入，有因此y=–0.05x2+0.35x+0.7.〔3〕设，将A，B两点的坐标代入，有因此〔4〕设y=abx+c，将A，B，C三点的坐标代入，得用已学函数模子综合求解咨询题，晋升综合应用模子的才干.波动训练训练2某地域往年1月，2月，3月患某种沾染病的人数分不为52，61，68.为了猜测当前各月的抱病人数，甲抉择了模子y=ax2+bx+c，乙抉择了模子y=pqx+r，此中y为抱病人数，x为月份数，a,b,c,p,q,r全然上常数.结果4月，5月，6月份的抱病人分不为74,78，83，你认为谁抉择的模子较好？教师口述解题思绪教师借助电脑解答咨询题〔1〕列表〔2〕画散点图.〔3〕断定函数模子.甲：y1=–x2+12x+41，乙：y2=–52.07×0.778x+92.5〔4〕做出函数图象进展比拟.计划x=6时，y1=77，y2=80.9.可见，乙抉择的模子较好.固化解题技艺归结总结1．数学模子所谓数学模子是指对客不雅不雅实际的特征或数目关联进展笼统归结综合，用办法化的数学言语表述的一种数学构造.数学模子剔除了事物中所有与研讨目的无实质联络的种种属性，在地道外形下研讨数目关联跟空间办法，函数确实是最要紧的数学模子，用函数处置方程咨询题，使求解变得随意进展，这是数学模子间的互相转换在发扬沾染.而用函数处置实际咨询题，那么表白了数学模子是联络数学与梦想天下的桥梁.2．对于数学建模中的假定就普通的数学建模来说，是离不开假定的，假定在咨询题的原始外形下不作任何假定，将所有的变更要素全体思索到别处去，对于稍庞杂一点的咨询题就无奈动手了.假定的沾染要紧表如今以下多少多个方面：〔1〕进一步清晰模子中需求思索的要素跟它们在咨询题中