北师大版选择性必修第一册第二章22 双曲线的简单几何性质学案

2.2双曲线的简单几何性质

核心知识目标核心素养目标

了解双曲线的简单几何通过探索双曲线的几何性质，提高数学抽象、直观想象

性质.等核心素养.

----------------q知抠探您一素藕培意___________________

。探究点一范围、对称性和顶点

［问题1］你能类比研究椭圆范围、对称性和顶点的方法得出双曲线的范围、对

称性和顶点吗？

提示:如果双曲线方程为(a>0,b>0),则言+忘可得x2^a2,即x^-a,x2

a,yER,即双曲线在直线x二-a,x二a及其外侧；如果双曲线方程为

^7-77=1(a>0,b>0),则yW-a或者y》a,x《R,即双曲线在直线y=-a,y=a及其外

侧.

根据方程可得双曲线关于X轴、y轴、坐标原点对称.

22

双曲线合31(a>0,b>0)与x轴的交点为A.(-a,0),A2(a,0),与y轴没有交点;双

22

曲线合一台1S>0,b>0)与y轴的交点为At(0,-a),A2(0,a),与x轴没有交点•

知识点1:范围、对称性和顶点

22

双曲线£31(a>0,b>0):|x|2a,y£R;关于x轴、y轴对称,关于坐标原点对称,

坐标原点叫作双曲线的中心;顶点为&(-a,0),A2(a,0),线段A也叫作双曲线的实

轴,实轴长为2a;把y轴上的两个点B,(0,-b),B2(0,b)之间的线段BB叫作双曲线

的虚轴,虚轴长为2b.

双曲线(a>0,b>0):|yI2a,x£R;关于x轴、y轴对称,关于坐标原点对称,

坐标原点叫作双曲线的中心;顶点为&(0,-a),A2(0,a),线段A也叫作双曲线的实

轴，实轴长为2a;把x轴上的两个点B^-b,0),B2(b,0)之间的线段B区叫作双曲线

的虚轴，虚轴长为2b.

［思考1］根据上述知识，你对双曲线中a,b,c的几何意义有什么认识？

提示:a为实半轴长、b为虚半轴长、c为半焦距，实轴的端点与虚轴端点的距离

等于半焦距.

［例1-1］(2020•赤峰二中高二月考)设经过点M(3,1)的等轴双曲线的焦点为

F„F2,此双曲线上一点N满足丽，可,，则△NFE的面积为()

(A)4(B)8(C)12(D)16

解析:设等轴双曲线的方程为x2-y2=入(入#0),将点M(3,1)代入可得入二8,所以

22

双曲线的标准方程为

88

所以|INF1HNF2I|二4四,IF1F2I=8.又危，两，所以|NFi|2+|NF2|2二|nF2『,

所以(|帽|-|帆|)2二|丽|2+|阳|2-2|照|­

INBHIF^I^INFJ|NF2|,

即32=64-2|NFj•|帕|,所以|阳|•|阳|二16,所以△NFF2的面积为

S用NF」•|NF2|=8.

故选B.

［例・2］(2020•上海建平中学高一月考)设连接双曲线W-*l(a>0,b>0)与

a，bz

g-^=l(a>0,b>0)的四个顶点所成的四边形的面积为Sb连接四个焦点所成的四

边形的面积为s,则金的最大值是________.?

2S2

解析:设双曲线唾-署二1的右顶点为A,其坐标是(a,0),右焦点为C,坐标为

a2匕2

22

(Va+bf0).

设双曲线1-镇1的上顶点为B：坐标是(0,b),上焦点为D,坐标为(0,仿E?).

b2a2

0为坐标原点，根据对称性得S尸4s△。后2ab,

02/20

S2=4s△OCD=2(a^+b"),

所以F亏记"W黑-当且仅当a二b时取等号.

S?2(。~十。~)2ab2

答案4

■方法总结

(1)实轴长度和虚轴长度相等的双曲线称为等轴双曲线，所有的等轴双曲线的方

程可以统一为x2-y2=X(XWO),求等轴双曲线只需根据已知确定X的值即可；

(2)双曲线上的点P与其焦点F.,Fz构成三角形时,仿照椭圆中导出椭圆焦点三角

形面积公式的方法可得双曲线的焦点三角形的面积为(其中b为双曲线

tan一

虚半轴的长度)，本例如果使用这个公式,则△NFF?的面积为］*=8;

(3)与双曲线有关的面积问题,要充分考虑曲线的对称性简化运算1

变式训练1-1:(2020•河南高二月考)已知双曲线E:1-^=l(b>0)的左、右焦点

分别为Fl,F2,过点F2作直线交双曲线E于点A,C,连接A0(0为坐标原点)并延长

交双曲线E于点B.若F；C=3欣，且NBF2c=60°,则四边形AF%的面积

为.?

解析:因为A,B关于原点对称,FbF2关于原点对称，由双曲线的对称性可知，四边

形AF1BF2是平行四边形.

设IAF21由F；C=3A/,得|CF21=3m.

又a=3,由双曲线的定义得|AFJ初+6,

|CFi=3m+6.

因为NBF2c=60°,所以N*AC=600.

在AMAC中，由余弦定理得|FC|2二|AF-2+|AC|2-2|AF』­|AC|cos60°,

即(3m+6)2=(m+6)2+(4m)2~2(m+6)X4mx1,

化简得m3-12m=0,解得m=12.

所以S四边形""*的福二2X：|AFJ•|AF2|-sin

60°-2x1x18X12X^-10873.

答案：1088

变式训练1-2:(2020•四川成都外国语学校高二期中)与双曲线1-：二1有相同

42

焦点的等轴双曲线的标准方程为.?

解析:设与双曲线1-:二1有相同焦点的等轴双曲线的标准方程为次-九=1,

则a+a=4+2?a=3,所以所求双曲线的标准方程为?=L

答案:咨1

。探究点二离心率

［问题2］你能根据研究椭圆的经验,研究刻画双曲线开口大小的几何量吗？

提示:在双曲线m-21(a>0,b>0)中，|y|上行混，对于相同的x值，2越大，|y|

越大,双曲线的开口就越大是刻画双曲线开口大小的量.由于b=VFG,可得

a

^=JQ2-I,也可以使用?刻画双曲线的开口大小.

知识点2:离心率

规定:焦距与实轴运的比值£为双曲线的离心率,常用表示,显然e=->l.

----------aea~

［思考2］e的大小与双曲线开口大小的关系如何？

提示:e越大双曲线开口就越大.

［例2-1］(2020•石家庄第二十七中学高二月考)已知FbF2分别是双曲线

C:^-^=l(a,b>0)的左、右焦点，点P在C上,若PF.IF.F2,M|PF.|=|FF21,则C

的离心率是()

(A)V2-1(B)也

(OV2+1(D)V5-1

04/20

解析:因为用为双曲线(a,b>。)的左焦点，且PF-FR,则点P在双曲线

的左支上，如图.

因为IPF/二|FRI=2c,由勾股定理可得|PF?|二］|P&12+|F/2I2=2V2C.

由双曲线的定义可得2a二|PF2HPFJ=2V2c-2c,

所以双曲线C的离心率为e=^=-^-=V2+l.

a2V2-2

故选C.

［例2-2］(多选题)(2020•河北廊坊高二期中)已知点3,F2分别为双曲线

22

巳-巳=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过点F2的直线交双曲线于A,B两点(点A在点B

a2b2

的上方)，且AF」AB,|AFJ：|AB|二3：4,则该双曲线的离心率可能为()

(A)?(B)2(C)V5(D)713

解析：由题意可设IAFJ=3m(m>0),则|AB|=4m,|BF.|=5m,

当A,B均在双曲线的右支上时，由双曲线的定义可知，|AF2|=3m-2a,所以

IBF21=m+2a,

所以|BFi|-|BF2|=5m-(m+2a)=2a,所以m=a,所以|AF1|二3a,IAF2I=a.

在RtAAF^^,由勾股定理可得4c2=9a2+a2=10a2,所以e二孚.

当点A在双曲线的左支上时，由双曲线的定义可知，|BF2|=5m-2a,所以

IAF2|=9m-2a,

所以|AF21-1AF/二9m-2a-3ni=2a,所以m=|a,所以|AF」=2a,|AF21=4a.

在RtZkAFE中，由勾股定理可得4c2=4a2+16a2=20a2,所以e=V5.

当A,B分别在双曲线的右支、左支上时，

由3m-|AF2|=4m+|AF2|-5m,

得IAF21=3m-2a=2m,即m=2a,

贝ijFIF2|=V13m=2V13a,所以e=V13.

故选ACD.

7方法总结

求双曲线的离心率即求出聃天小，解题时要根据双曲线的定义、方程、对称性

等灵活分析.

变式训练2-1:（2020•广东中山华侨中学高二月考）已知椭圆C：3+1二l的离心

1612

率与双曲线C:^-g=l（b>0）的离心率互为倒数关系，则b二.?

解析：由椭圆方程知e4即双曲线的离心率为2,所以?二4,解得b=-2/（舍去）

24

或b=2V3.

答案：2百

变式训练2-2:

（2021•陕西西安长安一中高二期末）如图，中心均为坐标原点。的双曲线与椭圆

在x轴上有共同的焦点FbF2,点M,N是双曲线的左、右顶点，点A,B是椭圆的左、

右顶点.若FbM,0,N,F2将线段AB六等分,则双曲线与椭圆的离心率的乘积

为.?

解析:令0N|=t,则|0F21=2t,IOB|=3t,所以椭圆的离心率已二萼W，

06/20

双曲线的离心率ez=%2.

所以双曲线与椭圆的离心率的乘积为eie2=|.

答案？

《探究点三渐近线

22

［问题3］在双曲线2-9=1(a>0,b>0)中，当曲线上的点在第一象限时,可得

a2b2

V上用随着x的逐渐增大，你能说明双曲线的变化趋势吗?你能根据双曲线

a

的对称性,得出双曲线的整体变化趋势吗？

提示：由于a为常数，随着x的逐渐增大,彼街也逐渐增大,且衍淳</二x,

即y<-x.当x无限增大时、y的值无限接近1的值,反映在几何图形上,就是在第

aa

一象限时双曲线上的点在直线y=-x的下方无限逼近于直线y=-x.根据中心对称

aa

性,在第三象限,双曲线上的点在直线y=-x的上方无限逼近于直线y*x;根据轴

aa

对称性,在第二象限,双曲线上的点在直线y二上x的下方无限逼近于直线y二上x,

aa

在第四象限,双曲线上的点在直线灯上x的上方无限逼近于直线y=--x.

aa

知识点3:渐近线

直线y=±-x称为双曲线二白1(a>0,b>0)的渐近线;直线y二±白称为双曲线

l(a>0,b>0)的渐近线.

a2b2

［思考3］双曲线的渐近线方程是否有更加便于记忆的形式？

提示:［一*1(a>。，b>0)的渐近线可写为±±白0的形式,也可以把方程。*1中

a2b2aba2b2

的1换为0,即捻4=0(开方即为y=±^x);对双曲线(a>0,b>0)类似.

［例3］(2020•四川雅安中学高二期中)已知双曲线E的对称轴为坐标轴,过点

P(2,1),且与x2-6y2-l有相同的渐近线,则该双曲线的方程为()

(A)x2-6y2=2(B)6y2-x2=2

“2

(C)y-y2=l(D)x2-y2=3

解析:法一双曲线x2-6y2=l的渐近线方程为y二土兽x,点P(2,1)在该直线y=^x

66

上方,故所求的双曲线的焦点在y轴上,设其方程为弓=1(a>0,b>0),则其渐近

a2b2

线方程为y二士队根据已知得-11且解得a24b2=2,所以所求双曲线的

bazbzb63

22

方程为一一2二1,B|J6y2-x2=2.故选B.

W2

法二双曲线E与x2-6y2=l有相同的渐近线,则可设双曲线E的方程为x2-6y2=

入(入W0).

将点P(2,1)代入可得22-6=入，即入=-2,所以双曲线E的方程为x2-6y2=-2,即

6y2寸二2.故选B.

♦方法总结

具有某种共同性质的所有曲线的集合，称为一个曲线系.我们研究双曲线乌-1二

m2nz

人(n>0,n>0,入WO),当人>0时方程可化为^该双曲线的渐近线方

(VXm)(Vin)

程为y二土争X,即y=±-x.同理可得入<0时,渐近线方程也是y二土二X.而双曲线

yJAmmm

2222

三号z二1(m>0,n>0)的渐近线也是y=±-x,这说明双曲线夫z号二人(m>0,n>0,入#

TH2nmm

0)与双曲线三-*l(m>0,n>0)具有相同的渐近线y二土巴X；反之，以y二土巴x为渐

Mmm

近线的双曲线,如果焦点在x轴上,设方程为马-\二1(心0,b>0),则其渐近线方程

a1b2

为y=±-x,可得勺』,即巴上.因为a,b,m,n都是正数,设上述比值为VX则

aammn

a=VXm,b=VIn,双曲线方程为三-♦二人(m>0,n>0,入WO);如果焦点在y轴上,设

m2nz

双曲线方程为*(a>0,b>0),渐近线方程为尸士需则廿二,即也名设该比值

a'bomnm

2222

为t,则a=nt,b=mt,双曲线方程为为一三日，即三一9二一自设-1,=X<0,则双曲

线方程也为三-冷人(m>0,n>0,XWO).

2222

所以我们得出：与9卫/1(m>0,n>0)共渐近线的所有双曲线方程具有形式三-左

九nnz

人(n>0,n>0,入W0),该方程称为同渐近线双曲线系方程.

08/20

求与已知双曲线共渐近线的双曲线方程时可使用同渐近线双曲线系方程.

变式训练3-1:(2021•吉林一中高二月考)直线l:x-2y-5=0过双曲线

(a>0,b>0)的一个焦点且与其一条渐近线平行,则双曲线的方程为()

(A)次-匕1(B)匕匕1

205520

22

(C)--y2=l(D)x2-^=l

44

解析：由条件可知,双曲线的焦点在x轴上,直线1:x-2y-5=0.当y=0时,x=5,即双

'c=5,

曲线的焦点坐标是⑸0),直线的斜率k=i所以所以|：=巳

2a2az

<a2+b2=c2,

解得a2=20,b2=5.

所以双曲线的方程是亲9L故选A.

变式训练3-2:(2021•河南许昌高二月考)己知双曲线盘/二l(a>0,b>0)的一条

渐近线方程为2x-y=0,则该双曲线的离心率为()

(A)y(B)V3(02(D)V5

解析:因为双曲线的一条渐近线方程为2x-y=0,所以空2,所以双曲线的离心率

a

e=/手小+飘=遍•故选以

变式训练3-3:(2021•复旦附中高二期末)已知双曲线C：1-91(a>0)的左、右

a29

焦点分别为Fi,F2,过件的直线1交双曲线C的左支于A,B两点,且|AB|=6,%X

ABF2的周长为28,则双曲线C的渐近线方程为()

(A)3x±4y=0(B)4x±3y=0

(C)3x±8y=0(D)8x±3y=0

解析:由双曲线的定义，可得IAF21-1AFj=2a,

iBFzI-lBFj=2a,

所以IAF21所以|AFd,|BF21=2a+|BFJ,

fi|AF1|+|BF1|=|AB|,

则AABL的周长为|AF2|+|BF2|+|AB|=2|AB|+4a=12+4a=28,解得a=4.

22

又由双曲线C:a-$1(a>0),可得b=3,

所以双曲线C的渐近线方程为y二士9，

即3x±4y=0.故选A.

•拓展探索素养培优

椭圆与双曲线的两个共同性质

性质一曲线上的点到两特定点的斜率之积为常数

2222

［问题1-1］给定椭圆Gj+%l(a>b>0)和双曲线C2』-$l(a>0,b>0),以及曲

azb2azb2

线上任意一点Q,Q关于曲线中心的对称点为Q,P为曲线上异于Q,Q的任意一点,

当直线PQ,PQ的斜率都存在时,你能发现直线PQ,PQ的斜率之积是否存在某种规

律？

提示：设Q(xo,y0),则Q(-xo,-y0),P(x,y).

若点Q,Q,P在C上,则条喀部，,

即端6鬲),y2系(3x)

此时直线PQ,PQ的斜率之积为》•竺也二锣二彩匕雀•警二-与

z

x-x^x+x0X£-XQH-xgX^-XQa

若点Q,Q,P在C2±,则胃-善1,小《1，

a2b2a2b2

即%二%(%o-a2),yJ%(x2-a2).

此时直线PQ,PQ的斜率之积为》•竺也二锣二土字但史当•答马

zlzz

x-x0x+x0x-x^x-x^aa

这说明直线PQ,PQ的斜率之积为定值.在椭圆中定值的范围为(-1,0),在双曲线

中定值的范围为(0,+8).

特别地，当Q(a,0),Q(-a,0)时上述结论也成立.

10/20

结论1-1:椭圆、双曲线上任意一点与该曲线上关于中心对称的两点的连线的斜

率之积为定值.特别是椭圆G:斗*1（a>b>0）上任意一点与长轴端点的连线的

a2b2

斜率之积为定值-与双曲线C2：?*l（a>0,b>0）上任意一点与实轴端点连线的

a2a2b2

斜率之积为定值与

a2

［问题1-2］考虑结论1-1的反面,即平面上与两个关于原点中心对称的定点连线

的斜率之积为定值的动点的轨迹是否是椭圆或双曲线？

提示:在平面直角坐标系中，设定点为A（-%O）,A（a,0）,定值为人・满足条件的点

P的坐标为（x,y）,则上•上=A,即入2-y2=入a2.

x+ax-ax

若入=0,则y=0,此时点的轨迹为直线AA（除去点A,A）.

22

若入H0,则方程入x2-y2=Xa?可化为今后？L

a2Aa2

若入>0,则点的轨迹为以A,A为顶点的双曲线（除去点A,A）,若入4,则轨迹方程

a2

22

即为三-$1匕>0,b>0）;

a2b2

22

若入<0,则方程可化为台+方1,则点的轨迹为以A,A为顶点、焦点在x轴上

a2-Aaz

的椭圆（除去点A,A）,若入二玛则轨迹方程为当等1（a>b〉0）;

若入二T,则轨迹为圆（除去点A,A）,轨迹方程为x2+y2=a2;

若X<-1,则轨迹为焦点在y轴上的椭圆（除去点A,A）,此时短轴端点为A,A.

结论『2:平面内与两个关于原点中心对称的定点连线的斜率之积为常数（不等

于0,-1）的动点的轨迹为椭圆（常数为负值）或双曲线（常数为正值）.

结论「3:椭圆、双曲线可以看作是平面内过定点A（-a,0）,B（a,0）的两直线，当

两直线的斜率之积为定值土当时,两直线交点的轨迹，但是轨迹上缺少点

a2

A（-a,0）,B（a,0）.（这说明用该方法定义椭圆、双曲线是不理想的）.

［例1-1］（2021•陕西西安长安一中高二期末）已知双曲线

C：4-l（a>0,b>0）,A,B是双曲线C上关于原点对称的两点,P是双曲线C上异

a2b2

于A,B的一点,若直线PA与直线PB的斜率都存在且两直线的斜率之积为定值2,

则双曲线的离心率是()

(A)V2(B)V3(02(D)V5

解析:根据结论IT可知,黑2,所以若+(£)2=V3.故选B.

[例1-2](2021•湖南师大附中高二月考)己知点A(l,0),B(-l,0),动点M满足:

直线AM与直线BM的斜率之积为定值m(m/0).

⑴若点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去点A,B),则m的取值范围

是；?

(2)若点M的轨迹是焦距为4的双曲线(除去点A,B),则.?

解析：(1)设M(x,y),根据条件可知点M的轨迹方程为七•七二叫

x+lX-1

所以y2=mx2-m(x^±l),所以x2--1(x#:±l),即/=1(xW±l).

m-m

又因为点M的轨迹是焦点在y轴上的椭圆(除去点A,B),所以-m>l,所以m<-l,即

m的取值范围为(-8,-1).

(2)由(1)知点M的轨迹方程为X?-匕=16#±1).

m

当点M的轨迹是焦距为4的双曲线(除去点A,B)时,可知1+m=所以m=3.

答案：(1)(-8,-1)(2)3

7方法总结

在傩选择题、填空题时可以直接使用我们得到的结论,也可以根据我们研究上述

结论的思想方法解决.需要注意的是求出的轨迹需要除去两个定点.

[应用1-1](多选题)(2021•广州高二月考)已知A,B两点的坐标分别是

(-1,0),(1,0),直线AP,BP相交于点P,且两直线的斜率之积为m(m#0),则下列

结论正确的是()

12/20

(A)当m=-l时，点P的轨迹为圆

(B)当-l<m<0时，点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆(除去与x轴的交点)

(0当0V水1时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线

(D)当m>l时，点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线(除去与x轴的交点)

解析:设点P的坐标为(x,y),直线AP,BP的斜率为1<,产七(:(工-1),kBP={(xWl).

x+lx-1

由已知得上•—=m(x^±l),

x+lx-1

化简得点p的轨迹方程为

c曾2

x(xW±1,mWO),

-m

分析A,当m=-l时,方程为xW=Kx^±l),轨迹为圆，但除去两定点，故A不正

确；

分析B,当时,方程为X2A1(X^±1),表示焦点在x轴上的椭圆，除去与

-m

x轴的交点，故B正确；

分析C,当OW<1时,方程为X?+L1(x#±i),表示焦点在X轴上的双曲线，但除

-m

去两定点，故C不正确；

分析D,当m>l时,方程为(xW±l),表示焦点在x轴上的双曲线，除去与

x轴的交点，故D正确.故选BD.

[应用1-2](多选题)(2020•广东深圳高二期中)动点M(x,y)分别到两定点

(-5,0),(5,0)连线的斜率的乘积为-登,设M(x,y)的轨迹为曲线C,FbF2分别为曲

线C的左、右焦点，则下列命题中正确的有()

(A)曲线C的焦点坐标为B(-3,0),Fz⑶0)

(B)若NFMF2=30。，贝孝

(0的内切圆的面积的最大值为:

(D)设A(|,2),则|MA|+1MF』的最小值为当

解析：由题意口」知

x+5X-525

即菱。l(xW±5),

Z5lo

A项,c2=a2-b2=25-16=9,c=3,即曲线C的焦点坐标为F.(-3,0),F2(3,0),故A项正

确；

B项.根据椭圆焦点三角形的面积公式得

Sz^MFiF2=16Xtan与^=16><(2-、")，故B项错误；

C项.在△FMF2中，设NFMF2二a,内切圆的半径为r,由椭圆定义得

2

IMF1|+|MF2|=10,IKK1=6,所以SAMFJ2glMFI|+|MF2|+|F1F2|)•r=btanp解得

r=2tan^(0<tan当点M在上顶点时,tan咨，内切圆半径r取得最大值，

22424

则内切圆最大面积为故C项正确；

4

D项.在△MFF2中，|MFJ+1MF2|=10,则|MA|+1MFJ=|MA|+10-1MF2|,当M,A,F2三点

共线,并且M在A的上方时，|MA|+|MFJ有最小值,即

(|MA|+1MF/)min=10-1AF2|=10-1^,故D项正确.故选ACD.

性质二曲线上的点到定点的距离和定直线的距离之比等于常数

22

［问题2-1］在前面我们探究椭圆，为验证满足方程三+*I(a>b>0)的点P(x,y)

a2bz

都在满足以F.(-c,0),F2(C,0)为焦点且长轴长为2a的椭圆上,我们导出了

IPFj=a+-x,|PF|=a--x,也可变形为|PF1—|x-(--)

aa2aac

I,|PF21=a--x=-1X-—|;在验证满足方程学*1(a>0,b>0)的点P(x,y)都在

aaca2b2

F,(-c,0),F(C,0)为焦点且实轴长为2a的双曲线上时,我们导出了IPFJ=-x+a或

2a0

|PFi|=-(-xo+a),BP|PFi|—|x-(--)I,|PF|=^|x-—|.

aacac2

14/20

其中"(-贮)|可以看作点P(x,y)到直线x=Q的距离dx-%可以看作点

CCC1；

P(x,y)到直线x=f的距离d2.你能据此得出椭圆和双曲线上的任意点满足的一个

几何性质吗？

提示:在椭圆、双曲线中均有牛二,*工.根据椭圆、双曲线定义,R,F2为定

CLU2CL

2222

点，匕为定值,也即直线X二土匕为定直线.也说明椭圆2+*l(a>b>0)和双曲线

ccazbz

g_g=l(a>0,b>0)上的点均满足到定点F1(-C,0)和定直线的距离之比等于

2

工(离心率)；到定点F(C,0)和定直线X二匕的距离之比等于£(离心率).

a2ca

2222

结论2-1:椭圆(a>b>0)和双曲线巳-(a>0,b>0)上的点均满足到定点

a2b2a2b2

F(-c,0)和定直线x-妙的距离之比等于工(离心率)；到定点F(C,0)和定直线

tca2

2

X二幺的距离之比等于£(离心率).

ca

[问题2-2]是否平面内到定点F.(-c,0)和定直线x二-贮的距离之比等于上的点的

ca

坐标x,y满足方程管+g(a>b>0)或今(a>0,b>0)?是否平面内到定点

222

F(C,0)和定直线x=上的距离之比等于£的点的坐标x,y满足方程弋+2口(a>b>0)

2caa2

或=l(a>0,b>0)?

azb2

提示:设满足条件的轨迹上的点P的坐标为(x,y),则上当二,即

|x—(W)|a

J(x+c)2+y2=£|x+贮|,两边平方并整理,得(a2-c2)x2+a2y2=(a2-c2)a2.

若a>c,令b2=a2-c2,得，+章=](a〉b)0);

若a<c,令b2=c2-a2,得马-[=1(a>0,b>0).即得平面内到定点件(-c,0)和定直线

a2b2

222

X二，-的距离之比等于£的点的坐标X,y满足方程(a>b>0)或

caa2b2

g-g=l(a>0,b>0).

2

同理可得,平面内到定点F(C,0)和定直线x二匕的距离之比等于£的点的坐标x,y

2ca

满足方程马+91(a>b〉0)或马-去1(a>0,b>0).

aza2炉

结论2-2:平面内到定点F(c,0)(或F(-c,0))的距离与到定直线x二贮(或x=--)

CC

的距离之比等于常数£的点的轨迹方程为马+91(a>b>0)或(a>o,b>0).

结论2-3:平面内到定点和定直线(定点不在定直线上)的距离之比为常数e的点

的轨迹,当0<晨1时为椭圆，当e>l时为双曲线.在这个定义下，定点叫作焦点、

定直线叫作准线、中心在坐标原点、焦距为2c、焦点在x轴上、长轴(实轴)长

为2a,椭圆(双曲线)的准线方程为x二土匕.

C

[例2-1](2020•西安交大苏卅附中高二期中)已知椭圆橙+之1上一点P到其左

1612

焦点的距离为6,则点P到右准线的距离为()

(A)4(R)6(C)8(D)12

解析:设点P的坐标为(x,y),则白白1,y2=12-^x2,且-4WxW4.

16124

22

对于椭圆弓+*1,a=4,b=2V5,c二被中二2.设其左、右焦点为件,F2,根据椭圆定

1612

义点P到右焦点的距离IPF2|=2a-|PF1|=8-6=2,椭圆的离心率e=-i设点P到右

a2

准线的距离为d2,则快二e,即所以d2=4.故选A.

U2«22

[例2-2](2020•南平第八中学高二期中)点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到

定直线l:x弃的距离的比是常数占求点M的轨迹方程.

45

解：因为点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和它到定直线1:x二手的距离的比是常数

4

4

所以国巨*4将此式两边平方,并化简，得9x2+25y2=225,即1+91.

|--x|5259

g方法总结

平面内到定点和定直线的距离之比等于常数的点的轨迹虽然为圆锥曲线，但由

于定点、定直线的位置不同,轨迹方程有可能不是标准形式,解题时仍然要按照

求一般轨迹方程的方法进行.

16/20

［应用2-1］如果椭圆1+1=1上的点A到右焦点的距离等于4,那么点A到两条

2516

准线的距离分别是()

©8,^(B”o，m

(C)10,6(D)10,8

解析：由题意可得a2=25,b2=16,则a=5,b=4,c=Va2-fe2=3,

所以椭圆的离心率为e-4又由点A到右焦点的距离等于4,即|AF2=4.

根据椭圆的定义可得义可+1根21=2a=10,可得|AF.|=6.

根据椭圆的性质，可得点A到左准线的距离为d尸上共6义I=10,

e3

点A到右准线的距离为d2二44x"W，

e33

所以点A到两准线的距离分别为10,争故选B.

［应用2-2］(2020•江苏镇江高二月考)已知点P(x。,y。)是椭圆C:^+g=l上一点

716

(异于椭圆的顶点)，件,F2分别为C的左、右焦点,A,B分别是椭圆的左、右顶点,

则下列结论正确的是()

(A)ZkPFF2的周长为16

(B)PFJ的最大值为7

(C)准线方程为y=±|x

(D)直线PA与PB的斜率的乘积为--

解析:因为椭圆C:。鲁1,故其焦点在y轴上,且a=4,b=V7,c=3,

因为点P在椭圆上，

故APFFz的周长为2a+2c=14,故A错误；

因为点P(x0,y°)异于椭圆的顶点,所以IPFi|<a+c=7,故B错误；

准线方程为y=±-故C错误；

C3

y

易知AH/7,0）,B（V7,0）,故kPA•k布备•°-而