八年级初二数学下学期平行四边形单元 期末复习同步练习试题

八年级初二数学下学期平行四边形单元期末复习同步练习试题

一、选择题

1.如图，在菱形ABC。中，点R为边A3的中点，。尸与对角线AC交于点G,过点G

作GE1A。于点E,若48=2,且N1=N2,则下列结论不正确的是（）

A.DF±ABB.CG=2GAC.CG=DF+GED.S四边形所0c

2.如图，已知正方形ABC。的边长为8,点E,尸分别在边BC、CO上,

ZEAF=45°.当七尸=8时，4EF的面积是（）.

A.8B.16C.24D.32

3.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,且AD>BC,BC=6cm,AD=9cm,P、Q分别从A、C同时出

发,P以lcm/s的速度由A向D运动,Q以2cm/s的速度由C向B运动，多少s时直线将四边

形ABCD截出一个平行四边形（）

A.1B.2C.3D.2或3

4.如图，点E在正方形A8C。外，连接AE,BE,DE,过点A作AE的垂线交OE于

F,若AE=AF=4i,BF=M，则下列结论不正确的是（）

A.zVIFDsMEBB.点B到直线AE的距离为2

C.EBJ.EDD.SMFD+SAAFB=1+V^

5.如图，E是边长为2的正方形43C。的对角线AC上一点，且AE=4B,F为BE上

任意一点，FGAAC于点G,尸"_143于点〃，则尸6+尸〃的值是（）

A.-B.72C.2D.1

6.如图所示，在周长是10cm的ABCD中，AB*AD,AC>B£>相交于点。，点E

在AO边上，且是AASE的周长是（）

AE_______D

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

7.如图，矩形ABC。中，AB=4,AD=3,.折叠纸片使点。落在AC边上的加处，

折痕为A”,则C”的长为（）

DHC

囱

.1u

53

A.-B.2C•—D.1

22

8.如图，点P,Q分别是菱形ABCD的边AD,BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为

8石，最小值为8,则菱形ABCD的边长为（）

一

A.476B.10C.12D.16

9.如图，正方形ABCD的边长为10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接GH,则线段GH的长为

（）

10.如图，矩形ABCD的面积为20cm2,对角线相交于点。.以AB、AO为邻边画平行四边

形AOQB,对角线相交于点O;以AB、A。为邻边画平行四边形AOiCzB,对角线相交于点

02：......以此类推，则平行四边形AO,CsB的面积为（）

二、填空题

11.如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E为边CD的中点，点尸在线段AB

上运动，尸是CP的中点，则ACE尸的周长的最小值是.

12.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形A6CO中,

AB=3,AC=2,则BD的长为.

13.如图，四边形ABCD是菱形，NDAB=48°,对角线AC,BD相交于点。，OH_LA8于

H,连接。H,贝ljNDHO=度.

D

14.如图，在等边ABC和等边OEF中，在直线AC上，BC=3£>E=3,连接

BD,BE,则BD+BE的最小值是.

15.菱形。8CD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2石，0）,ZDOB=

60°,点P是对角线。C上一个动点，E（0,-1）,则EP十BP的最小值为

16.如图，菱形ABC。的边长是4,NA8C=60°,点E,F分别是AB,边上的

动点（不与点A,B,。重合），且BE=BF,若EGHBC,FGHAB,EG与EG相

交于点G,当AOG为等腰三角形时，8E的长为.

17.如图，在平行四边形ABCD中，AC±AB,AC与BD相交于点O,在同一平面内将AABC

沿AC翻折，得到△ABC若四边形ABCD的面积为24cm2,则翻折后重叠部分（即S^ACE）

的面积为cm2.

B'

18.如图，已知在AABC中，AB=AC=13,BC=10,点M是AC边上任意一点，连接MB,以

MB、MC为邻边作平行四边形MCNB,连接MN,则MN的最小值是

19.在菱形A8CD中，M是AD的中点，AB=4,N是对角线AC上一动点，△DMN的周长

最小是2+2g，则8。的长为.

B

D

20.如图，在四边形ABCO中，AD//8cAD=5,8C=18,E是8C的中点.点P以每秒

1个单位长度的速度从点4出发，沿AO向点。运动;点。同时以每秒3个单位长度的速度

从点。出发，沿C5向点8运动.点P停止运动时，点。也随之停止运动，当运动时间为

/秒时，以点为顶点的四边形是平行四边形，贝V的值等于.

三、解答题

21.已知，四边形ABCD是正方形，点E是正方形ABCD所在平面内一动点（不与点。重

合），AB^AE,过点8作DE的垂线交。E所在直线于F,连接CF.

DC

提出问题：当点E运动时;线段CF与线段。E之间的数量关系是否发生改变？

探究问题：

（1）首先考察点E的一个特殊位置：当点E与点8重合（如图①）时，点F与点B也重

合.用等式表示线段CF与线段DE之间的数量关系：_；

（2）然后考察点E的一般位置，分两种情况：

情况1:当点E是正方形ABCD内部一点（如图②）时；

情况2：当点E是正方形ABCD外部一点（如图③）时.

在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中的结论是否相同？如

果都相同，请选择-一种情况证明：如果只在一种情况下相同或在两种情况下都不相同，请

说明理由；

拓展问题：

（3）连接AF,用等式表示线段AF、CF、OF三者之间的数量关系：

22.如图，点E为必BCD的边AD上的一点，连接EB并延长，使8F=8E,连接EC并延

长，使CG=CE,连接FG."为FG的中点，连接D”，AF.

（1）若N8AE=70。，ZDCE=20°,求/DEC的度数；

（2）求证：四边形AFH。为平行四边形；

（3）连接EH,交BC于点。，若。C=OH,求证：EF±EG.

连线的方法，分别在图(1)、图(2)中按要求作图(保留作图痕迹，不写作法).

(1)在如图(1)的边上求作一点N,连接CN,使CV=40；

(2)在如图(2)的AO边上求作一点Q,连接C。，使CQPAM.

24.共顶点的正方形ABCD与正方形AEFG中，48=13,AE=572.

(1)如图1,求证：DG=BE；

(2)如图2,连结BF,以8F、8c为一组邻边作平行四边形8CHF.

①连结8H,BG,求——的值；

BG

②当四边形8C”F为菱形时，直接写出8”的长.

25.已知，如图，在三角形A4BC中，AB^AC=20cm,8。_LAC于。，且

5O=16cvn.点M从点A出发，沿AC方向匀速运动，速度为4cm/s；同时点P由B

点出发，沿8A方向匀速运动，速度为Icm/s,过点P的动直线PQ//AC,交BC于点

Q,连结PM,设运动时间为f(s)(0<r<5),解答下列问题：

备用图

(1)线段AO=cm-

(2)求证：PB=PQ-

（3）当t为何值时，以Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形？

26.如图，在正方形ABCD中，点E是BC边所在直线上一动点（不与点8、C重合），过

点B作BF1.0E,交射线0E于点F,连接CF.

备用图

（1）如图，当点E在线段BC上时，ZBDF=a.

①按要求补全图形；

②ZEBF=（用含a的式子表示）；

③判断线段BF,CF,DF之间的数量关系，并证明.

（2）当点E在直线BC上时，直接写出线段BF,CF,DF之间的数量关系，不需证明.

27.如图，四边形ABCD是边长为3的正方形，点E在边AD所在的直线上，连接CE,以

CE为边，作正方形CEFG（点C、E、F、G按逆时针排列），连接BF.

（1）如图1,当点E与点D重合时，BF的长为；

（2）如图2,当点E在线段AD上时，若AE=1,求BF的长；（提示：过点F作BC的垂

线，交BC的延长线于点M,交AD的延长线于点N.）

（3）当点E在直线AD上时，若AE=4,请直接写出BF的长.

28.已知E,F分别为正方形ABCD的边BC,CD上的点，AF,DE相交于点G,当E,F分

别为边BC,CD的中点时，有：①AF=DE；②AF,DE成立.

试探究下列问题：

(1)如图1,若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF,上述结论①，

②是否仍然成立？(请直接回答"成立"或"不成立")，不需要证明)

(2)如图2,若点E,F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF,此时，上述结

论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；

(3)如图3,在(2)的基础上，连接AE和BF,若点M,N,P,Q分别为AE,EF,FD,

AD的中点，请判断四边形MNPQ是"矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论.

29.如图，在矩形ABCD中，AD=nAB,E,F分别在A8,8c上.

(1)若n=l,AF±DE.

①如图1,求证：AE=BF；

②如图2,点G为CB延长线上一点，0E的延长线交AG于若AH=AD,求证：AE+BG

=AG；

CF

(2)如图3,若E为AB的中点，ZADE=NEDF.则—的值是(结果用

30.如图，在矩形ABC。中，AB=a,8C=6,点口在ZX7的延长线上，点E在AD

上，且有

2

(1)如图1,当。=匕时，若NCBE=60°,求证：BE=BF；

3

(2)如图2,当匕=一。时，

2

①请直接写出NABE与N8尸C的数量关系：；

②当点E是AD中点时，求证：CF+BF=2a；

③在②的条件下，请直接写出S/F:S矩形相8的值.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1.D

解析：D

【分析】

A、由四边形ABCD是菱形，得出对角线平分对角，求得NGAD=N2,得出AG=GD,

AE=ED,由SAS证得4AFG丝Z^AEG,得出NAFG=/AEG=90°,即可得出A正确；

B、由DF_LAB,F为边AB的中点，证得AD=BD,证出4ABD为等边三角形，得出

ZBAC=Z1=Z2=3O°,由AC=2A8-cosNBAC,AG=-------------，求出AC,

cosNBAC

AG,即可得出B正确；

C、由勾股定理求出£)/?=-A/7?，由GE=tan/2•ED求出GE,即可得出C正确;

D、四边形BFGC的面积=Z\ABC的面积-Z\AGF的面积，可以发现D不对.

【详解】

解：•.•四边形A8CO是菱形，

ZFAG=ZEAG,Zl=ZGAD,AB=AD，

Zl=Z2,

NGAD=Z2,

AG=GD.

GE1AD,

：.GE垂直平分AO.

AE-ED.

点尸为AB的中点，

AF^AE.

易证AAFG三AAEG(SAS).

：.ZAFG=ZAFG=90°.

DF_LAB故A正确.

_LAB,点尸为AB的中点，

AF^-AB=1,AD=BD.

2

AD=BD=AB，

：.ABO为等边三角形.

NBAD=ABCD=60°.

N84C=N1=N2=3O。.

：.AC=2ABcosZBAC=2x2x—=2>/3，

2

_AF12百

AG=---------------==------

cosABAC>/33•

T

.ACATFi2G46

33

:.CG=2GA,故B正确.

GE垂直平分AO,

:.ED=-AD=\,

2

DF=VAD2-AF2=y/3>

h

...GE=tanN2ED=lxtan30°=上.

3

：.DF+GE=43+—=—=CG.故C正确.

33

N54C=N1=3O。，48c的边AC上的高等于AB的一半，即为1,

“1cE

FCJ——AG=,

23

S^iilK.BFGC-S&ABC~SAGF=*26X1-;X1X,故D不止确.

2236

【点睛】

本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、线段垂直平分

线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题综合性强，有一定难度.

2.D

解析：D

【分析】

如图：ZXADF绕点A顺时针旋转90°,得到AABH,可得AH=AF,ZBAH-ZDAF,进

一步求出NEAH=NEAF=45°,再利用"边角边"证明4AEF和aAEH全等，再根据全等三

角形的面积相等，即可解答.

【详解】

解：如图，将4ADF绕点A顺时针旋转90°,得到△ABH,

根据旋转的性质可得：AH=AF,NBAH=/DAF,

；NEAF=45°,/BAD=90°

.•.NEAH=/EAF=45°

在AAEF和AAEH中

AF=AHZEAH=ZEAF=45°,AE=AE

.,.△AEF^AAEH(SAS),

，EH=EF=8,

1

SAFE=SZ\AEH=--x8X8=32.

2

故选：D.

【点睛】

本题考查了正方形和全等三角形的判定与性质，熟记并灵活应用它们的性质并利用旋转作

辅助线、构造出全等三角形是解题的关键.

3.D

解析：D

【解析】

【分析】

根据题意设t秒时，直线将四边形ABCD截出一个平行四边形，AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-

2t.要使成平行四边形，则就有AP=BQ或CQ=PD,计算即可求出t值.

【详解】

根据题意设t秒时，直线将四边形ABCD截出一个平行四边形

则AP=t,DP=9-t,CQ=2t,BQ=6-2t

要使构成平行四边形

则：AP=BQ或CQ=PD

进而可得：t=6-2t或2f=9—f

解得f=2或t=3

故选D.

【点睛】

本题主要考查四边形中的动点移动问题，关键在于根据平行四边形的性质列出方程求解即

可.

4.B

解析：B

【分析】

A、首先利用已知条件根据边角边可以证明△APDgAAEB；

B、利用全等三角形的性质和对顶角相等即可解答；

C、由(1)可得NBEF=90°,故BE不垂直于AE过点B作BP_LAE延长线于P,由①得

ZAEB=1350所以/PEB=45°,所以4EPB是等腰内△,于是得到结论；

D、根据勾股定理和三角形的面积公式解答即可.

【详解】

解：在正方形ABCD中，AB=AD,

VAF±AE,

/BAE+NBAF=90°,

又：/DAF+/BAF=/BAD=90°,

/BAE=NDAF,

在AAFD和AAEB中，

AE^AF

<NBAE=NDAF

AB=AD

.".△AFD^AAEB(SAS),故A正确；

VAE=AF,AF1AE,

.•.△AEF是等腰直角三角形，

NAEF=NAFE=45°,

/AEB=/AFD=180°-45°=135°,

/BEF=135°-45°=90°,

；.EB_LED,故C正确;

VAE=AF=V2>

•••FE=0AE=2,

在Rt^FBE中，BE=，FB2-FE?=J10_4=#，

.".SAAPD+SAAPB=SAAPE+SABPE,

=—xV2+—x2xV6

22

=1+#),故D正确；

过点B作BP1AE交AE的延长线于P,

•/NBEP=180°-135°=45°,

.••△BEP是等腰直角三角形，

:.BP="x瓜=#),

2

即点B到直线AE的距离为6,故B错误，

故选：B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾

股定理的应用，综合性较强，难度较大，熟记性质并仔细分析图形，理清图中三角形与角

的关系是解题的关键.

5.B

解析：B

【分析】

过点E作EM_LAB,连接AF,先求出EM,由S«ABE=AB・EM=AE・GF+'AB・FH,可得

222

FG+FH=EM,则FG+FH的值可求.

【详解】

解：如图，过点E作EM_LAB,连接AF,

:四边形ABCD是正方形，

AZACB=45°,

...△AEM是等腰直角三角形，

VAB=AE=2,

•••AM2+EM2=2EM2=AE2=4

；.EM=0,

+

SAABE=SAAEFSAABF，

111

••・SAABE=-AB・EM=-AE・GF+-AB・FH，

222

.\EM=FG+FH=72；

故选:B.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，运用面积法得出线段的和差关系是解

题的关键.

6.D

解析：D

【分析】

根据平行四边形的性质求出AB+AD=5cm,根据线段的垂直平分线求出BE=DE,求出A4BE的

周长等于AB+AD,代入求出即可.

【详解】

C语=10cm

AB+AD=5cm

•.•在ABC。中，OB=OD,OE±BD

：.EB=ED

CAEB=AB+AE+BE-AB+AE+BE=AB+AD

CAEB=5CM

故选：D.

【点睛】

本题主要考查的知识点是平行四边形对边相等的这条性质，结合线段的垂直平分线的性质

来进行计算是解题的关键.

7.A

解析：A

【分析】

先利用勾股定理求出AC=5,再令CH=X,则。"=4-x,利用勾股定理求出答案.

【详解】

•.•四边形ABCO为矩形，

AB=DC=4,

AD—3,

在RtADC中，

由勾股定理得：

AD2+DC2=AC2.

得：AC=5,

令CH=x,则。”=4—x,

由折叠性质可知：

DH=HD'=4—x,

AD=AD'=3,

故。'C=AC-AD'=5-3=2,

在Rt^”r)'C中，

由勾股定理得：HD'2+D'C2=HC2，

.-.(4-X)2+22=X2,

5

2

故c”=9.

2

故选：A.

【点睛】

此题考查矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，涉及直角三角形的边长的计算题时可多次

进行勾股定理的计算.

8.B

解析：B

【分析】

当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，当PQLBC时，PQ的值最

小，利用这两组数据，在RtZXABQ中，可求得答案.

【详解】

当点P和点A重合时，当点C和点Q重合时，PQ的值最大，PQ=8小

当PQJ_BC时，PQ的值最小，

；.PQ=8,ZQ=90°,

在RtAACQ中，

CQ=J(8WL8?=16.

在RtAABQ中，设AB=BC=x,则BQ=16-x,

.\AQ2+BQ2=AB2B[J82+(16-x)2=x2

解之：x=10.

故答案为：B.

【点睛】

本题考查菱形的性质和勾股定理的运用，解题关键是根据菱形的性质，判断出PQ最大和最

小的情况.

9.B

解析：B

【分析】

延长BG交CH于点E,根据正方形的性质证明4ABGg/XCDH丝ABCE,可得GE=BE-

BG=2,HE=CH-CE=2,ZHEG=90",从而由勾股定理可得GH的长.

【详解】

解：如图，延长BG交CH于点E,

•.•四边形ABCD是正方形，

AZABC=90°,AB=CD=10,

VAG=8,BG=6,

.\AG2+BG2=AB2,

ZAGB=90°,

AZl+Z2=90°,

又；N2+N3=90。，

.,.Z1=Z3,

同理：N4=N6,

在ZkABG和ACDH中，

AB=CD=10

AG=CH=8

BG=DH=6

.♦.△ABG丝△CDH(SSS),

.\Z1=Z5,Z2=Z6,

.\Z2=Z4,

在4ABG和ABCE中，

VZ1=Z3,AB=BC,Z2=Z4,

.".△ABG^ABCE(ASA),

；.BE=AG=8,CE=BG=6,ZBEC=ZAGB=90°,

GE=BE一BG=8—6=2,

同理可得HE=2,

在RtAGHE中，

GH=ylGE2+HE2=A/22+22=272，

故选：s.

【点睛】

本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运

用，通过证三角形全等得出AGHE为直角三角形且能够求出两条直角边的长是解题的关

键.

10.A

解析：A

【分析】

设矩形ABCD的面积为S=20cm2,由O为矩形ABCD的对角线的交点，可得平行四边形

AOCiB底边AB上的高等于BC的L,依此类推可得下一个图形的面积是上一个图形的面积

2

的!，然后求解即可.

【详解】

设矩形ABCD的面积为S=20cm2,

VO为矩形ABCD的对角线的交点，

，平行四边形AOCiB底边AB上的高等于BC的,，

2

平行四边形AOGB的面积=，S,

2

•••平行四边形AOGB的对角线交于点。1，

,平行四边形AO1C2B的边AB上的高等于平行四边形AOCiB底边AB上的高的;，

]1S

平行四边形AO1C2B的面积=7x—S=f，

2222

S205

依此类推，平行四边形AOGB的面积二A二尹二(cm2),

故选：A.

【点睛】

本题考查了矩形的对角线互相平分，平行四边形的对角线互相平分的性质，得到下一个图

形的面积是上一个图形的面积的-是解题的关键.

2

二、填空题

11.272+2

【分析】

由题意根据三角形的中位线的性质得到EF=：PD,得到CMEF=CE+CF+EF=CE+；(CP+PD)

=~(CD+PC+PD)=；CACDP，当aCDP的周长最小时，Z\CEF的周长最小；即PC+PD的值

最小时，4CEF的周长最小；并作D关于AB的对称点D',连接CD，交AB于P,进而分

析即可得到结论.

【详解】

解：为CD中点，F为CP中点，

,1

・・EF=一PD,

2

111

CACEF=CE+CF+EF=CE+—(CP+PD)=—(CD+PC+PD)=—CACDP

当acDP的周长最小时，acEF的周长最小；

即PC+PD的值最小时，ACEF的周长最小；

如图，作D关于AB的对称点T,连接CT,则PD=PT,

T

VAD=AT=BC=2,CD=4,ZCDT=90°,

2

•••CT=ylCDr+DT=A/42+42=40，

VACDP的周长=CD+DP+PC=CD+PT+PC,

VPT+POCT,

PT+PC>472，

APT+PC的最小值为4a,

.,.△PDC的最小值为4+472，

••CACEF=_CACDP=2-72+2•

故答案为：2&+2.

【点睛】

本题考查轴对称-最短距离问题以及三角形的周长的计算等知识，解题的关键是学会利用轴

对称解决最值问题.

12.472

【分析】

首先由对边分别平行可判断四边形ABCD为平行四边形，连接AC和BD,过A点分别作DC

和BC的垂线，垂足分别为F和E,通过证明4ADF丝Z^ABC来证明四边形ABCD为菱形,

从而得到AC与BD相互垂直平分，再利用勾股定理求得BD长度.

【详解】

解：连接AC和BD,其交点为0,过A点分别作DC和BC的垂线，垂足分别为F和E,

VAB/7CD,AD〃BC,

四边形ABCD为平行四边形，

AZADF=ZABE,

•••两纸条宽度相同，

;.AF=AE,

■ZADF=NABE

<ZAFD=ZAEB=90°

AF^AE

.•.△ADF^AABE,

；.AD=AB,

四边形ABCD为菱形，

；.AC与BD相互垂直平分，

BD=2y1AB2-AO2=4A/2

故本题答案为：472

【点睛】

本题考察了菱形的相关性质，综合运用了三角形全等和勾股定理，注意辅助线的构造一定

要从相关条件以及可运用的证明工具入手，不要盲目作辅助线.

13.24

【分析】

由菱形的性质可得OD=OB,ZCOD=90°,由直角三角形的斜边中线等于斜边的一半，可

得。H=,BD=OB,可得NOHB=NOBH,由余角的性质可得/DHO=NDCO,即可求解.

2

【详解】

【解答】解：；四边形ABC。是菱形，

AOD=OB,ZCOD=90°,NDAB=NDCB=48°,

DH1AB,

1

AOH=-BD=OB,

2

：.ZOHB=ZOBH,

又,：AB〃CD,

；.NOBH=/ODC,

在Rt^CO。中，ZODC+ZDCO=90°,

在中，ZDH0+Z0H8=90°,

AZDH0=ZDC0=-ZDCS=24°,

2

故答案为：24.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线的性质，余角的性质，是几何综合题，判断

出0H是BD的一半，和/DH0=NDC。是解决本题的关键.

14.737

【分析】

如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接TW,

DW,过点W作WK_LBC交BC的延长线于K.证明BE=DT,BD=DW,把问题转化为求

DT+DW的最小值.

【详解】

解：如图，延长CB到T,使得BT=DE,连接DT,作点B关于直线AC的对称点W,连接

TW,DW,过点W作WKJ.BC交BC的延长线于K.

1•△ABC,ADEF都是等边三角形,BC=3DE=3,

；.BC=AB=3,DE=1,ZACB=ZEDF=60",

ADE//TC,

VDE=BT=1,

...四边形DEBT是平行四边形，

，BE=DT,

；.BD+BE=BD+AD,

VB,W关于直线AC对称，

；.CB=CW=3,ZACW=ZACB=60°,DB=DW,

ZWCK=60",

VWK1CK,

AZK=90°,ZCWK=30",

13r3^3

，CK=—CW=-,WK=V3CK=—I-,

222

.311

・・TK=l+3+—=—,

22

•••TW-y/TK2+WK2=+(苧=而，

ADB+BE=DB+DT=DW+DT>TW,

.".BD+BE>737，

ABD+BE的最小值为病,

故答案为J方.

【点睛】

本题考查轴对称-最短问题，等边三角形的性质，解直角三角形，平行四边形的判定和性质

等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题.

15.V19

【分析】

先根据菱形的性质可得0C垂直平分BD,从而可得DP=BP,再根据两点之间线段最短

可得EP+BP的最小值为DE,然后利用等边三角形的判定与性质求出点D的坐标，最后

利用两点之间的距离公式即可得.

【详解】

如图，连接BP、DP、EP,DE、BD,过点D作。A_L。8于点A,

8(2&,0),

:.OB=25

四边形ABCD是菱形，

.・•0C垂直平分BD,OB=OD=25

点P是对角线oc上的点，

:.DP=BP，

:.EP+BP=EP+DP,

由两点之间线段最短可知，EP+OP的最小值为DE,即EP+BP的最小值为DE,

OB=OD,NDOB=60°,

：.BOD是等边三角形,

DA1OB,

:.OA=^OB=y/3,A£)=J"一32=也后一(扬2=3,

.•.7X6,3)，

又E(0,-D，

DE=Op+(3+1)2=719，

即EP+8P的最小值为J历，

故答案为：719.

【点睛】

本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、两点之间的距离公式等知识点，根据

两点之间线段最短得出EP+BP的最小值为DE是解题关键.

16.—或4-3百

33

【分析】

连接AC交BD于0,由菱形的性质可得AB=BC=4,ZABD=30°,AC1BD,B0=D0,

A0=C0,可证四边形BEGF是菱形，可得NABG=30。，可得点B,点G,点D三点共线，由

直角三角形性质可求BD=46,AC=4,分两种情况讨论，利用等腰三角形的性质可求解.

【详解】

如图，连接AC交BD于。，

；.AB=BC=4,NABD=30。，AC1BD,B0=D0,A0=C0,

：EG〃BC,FG〃AB,

，四边形BEGF是平行四边形，

又；BE=BF,

.•.四边形BEGF是菱形，

/ABG=30°,

...点B,点G,点D三点共线，

VAC1BD,ZABD=30°,

A0=yAB=2,B0=J-AO?=飞4。-展=2百，

ABD=45/3.AC=4,

lBG

同理可求BG=GBE,即BE=耳，

若AD=DG,=4时,

.".BG'=BD-DG'=4^-4，

46-4.473

..BE=-----=—=4------------;

V33

若AG"=G"D时，过点G"作G"HJ_AD于H,

；.AH=HD=2,

VZADB=30°,G"H1AD,

.,.DG"=2HG",

VHD2+HG"2=DG"2.

解得：HG"=^1,DG"=2HG"=^I,

33

BG"=BD-DG"=4V3，

综上所述：BE为言或4-迪.

33

【点睛】

本题考查了菱形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论

思想解决问题是本题的关键.

17.6

【分析】

2

由折叠的性质可得NBAC=NB'AC=9O°,AB=AB',SiABc=SAAB'c=12cm,可证点B,点A,点

B，三点共线，通过证明四边形ACDB，是平行四边形，可得B，E=CE,即可求解.

【详解】

解：...四边形ABCD是平行四边形，

2

；.AB〃CD,SAABc=-x24=12cm,

2

•.•在同一平面内将aABC沿AC翻折，得到aAB'C,

2

...NBAC=NB'AC=90°,AB=AB',SAABc=SAAB'c=12cm,

AZBAB'=180°,

.••点B,点A,点e三点共线，

VAB//CD,AB'//CD,

；•四边形ACDB，是平行四边形，

，B'E=CE,

._1_2

=

•«SAACE=~SAAB'c6cm,

故答案为：6.

【点睛】

本题考查了翻折变换，平行四边形的判定和性质，证明点B,点A,点夕三点共线是本题

的关键.

120

18.—

13

【分析】

设MN与8c交于点。，连接A。，过点。作O”_LAC于H点，根据等腰三角形的性质和勾

股定理可求4。和。H长，若MN最小，则M0最小即可，而。点到AC的最短距离为0H

长，所以MN最小值是2。从

【详解】

解：设与BC交于点。，连接A。，过点。作。于H点，

•.•四边形MCNB是平行四边形,

，。为8c中点，MN=2M0.

：A8=AC=13,BC=10,

：.AO1BC.

在Rt/XAOC中，利用勾股定理可得

A0=4AC1-CO'=V132-52=12.

利用面积法：A。义CO=ACXOH,

即12X5=13XOH,解得。H=竺.

13

当M。最小时，则就最小，。点到AC的最短距离为。”长,

所以当M点与H点重合时，MO最小值为0H长是瑞.

120

所以此时MN最小值为2OH=.

120

故答案为：n.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质、垂线段最短、勾股定理、等腰三角形的性质，解题的

关键是分析出点到某线段的垂线段最短，由此进行转化线段，动中找静.

19.4

【分析】

根据题意，当B、N、M三点在同一条直线时，ZXDMN的周长最小为：BM+DM=2+2>/5,

由DM=；AO=2,则BM=2A^，利用勾股定理的逆定理，得到/AMB=90°,则得到

△ABD为等边三角形，即可得到BD的长度.

【详解】

解：如图：连接BD,BM,则AC垂直平分BD,则BN=DN,

B

D

当B、N、M三点在同一条直线时，ZXDMN的周长最小为：BM+DM=2+26，

VAD=AB=4,M是AD的中点，

，AM=DM」AD=2,

2

.••BM=25

AM2+BM2=22+(2V3)2=16=AB2,

.二△ABM是直角三角形，即NAMB=90°；

VBM是AABD的中线，

**.AABD是等边三角形，

，BD=AB=AD=4.

故答案为：4.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理的逆定理，以及三线合一定

理.解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确得到4ABD是等边三角形.

20.2或3.5

【分析】

分别从当Q运动到E和B之间、当Q运动到E和C之间去分析求解即可求得答案.

【详解】

，BE=CE=—BC=9,

2

①当Q运动到E和B之间，则得：

3t-9=5-t,

解得：t=3.5；

②当Q运动到E和C之间，则得：

9-3t=5-t,

解得：t=2,

当运动时间t为2秒或3.5秒时，以点P,Q,E,D为顶点的四边形是平行四边形.

【点睛】

“点睛”此题考查了梯形的性质以及平行四边形的判定与性质.解题时注意掌握辅助线的

作法，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用.

三、解答题

21.⑴。E=0CF；(2)在情况1与情况2下都相同，详见解析；⑶AF+CF=

y[2DF^\AF-CF\^y/2DF

【分析】

(1)易证ABCD是等腰直角三角形，得出DB=eCB,即可得出结果；

(2)情况1：过点C作CG_LCF,交DF于G,设BC交DF于P,由ASA证得

△CDG^ACBF,得出DG=FB,CG=CF,则AGCF是等腰直角三角形，FG=&CF,连接BE,

设NCDG=a,则/CBF=a,ZDEA=ZADE=90°-a,求出NDAE=2a,则NEAB=90--2a,

ZBEA=ZABE=y(180°-ZEAB)=45°+a,ZCBE=45°-a,推出/FBE=45°,得出ZiBEF是等腰

直角三角形，则EF=BF,推出EF=DG,DE=FG,得出DE=&CF；

情况2：过点C作CG_LCF交DF延长线于G,连接BE,设CD交BF于P,由ASA证得

△CDG丝△CBF,得出DG=FB,CG=CF,则AGCF是等腰直角三角形，得FG=J^CF,设

ZCDG=a,则/CBF=a,证明4BEF是等腰直角三角形，得出EF=BF,推出DE=FG,得出

DE=0CF；

(3)①当F在BC的右侧时，作HDLDF交FA延长线于H,由(2)得ABEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS证得4ABF丝z\AEF,得出/EFA=NBFA=；NBFE=45°,则4HDF是等腰

直角三角形，得HF=J^DF,DH=DF,VZHDF=ZADC=90°,由SAS证得△HDAg^FDC,得

CF=HA,即可得出AF+CF=&DF；

②当F在AB的下方时，作DH_LDE,交FC延长线于H,在DF上取点N,使CN=CD,连接

BN,证明ABFN是等腰直角三角形，得BF=NF,由SSS证得ACNF之4CBF,得

NNFC=NBFC=；NBFD=45°,则ADFH是等腰直角三角形，得FH=J^DF,DF=DH,由SAS

证得AADF丝ZXCDH,得出CH=AF,即可得出AF+CF=夜DF：

③当F在DC的上方时，连接BE,作HD_LDF,交AF于H,由（2）得4BEF是等腰直角三

角形，EF=BF,由SSS证得△ABFg/^AEF,得NEFA=NBFA=]NBFE=45°,则4HDF是等腰直

角三角形，得出HF=J^DF,DH=DF,由SAS证得AADC且△HDF,得出AH=CF,即可得出

AF-CF=V2DF；

④当F在AD左侧时，作HD_LDF交AF的延长线于H,连接BE,设AD交BF于P,证明

△BFE是等腰直角三角形，得EF=BF,由SSS证得aABF四Z\AEF,得

ZEFA=ZBFA=—ZBFE=45°,则NDFH=NEFA=45。，AblDF是等腰直角三角形，得DH=DF,

2

HF=0DF,由SAS证得△HDAg/^FDC,得出AF=CF,即可得出CF-AF=夜DF.

【详解】

解：（1）♦..四边形ABCD是正方形，

，CD=CB,ZBCD^90°,

.••△BCD是等腰直角三角形，

.".DB=V2CB,

当点E、F与点B重合时，则DE=J^CF,

故答案为：DE=0CF；

（2）在情况1或情况2下，线段CF与线段DE之间的数量关系与（1）中结论相同；理由

如下：

情况1：：四边形ABCD是正方形，

；.CD=CB=AD=AB=AE,ZBCD=ZDAB=ZABC=90°,

过点C作CG_LCF,交DF于G,如图②所示：

国16

则NBCD=NGCF=90°,

AZDCG=ZBCF,

设BC交DF于P,

VBF1DE,

.\ZBFD=ZBCD=90°,

VZDPC=ZFPB,

.\ZCDP=ZFBP,

在ACDG和ACBF中，

ZDCG=ZBCF

CD=CB

NCDG=NCBF

.".△CDG^ACBF(ASA),

；.DG=FB,CG=CF,

•••△GCF是等腰直角三角形，

.-.FG=V2CF,

连接BE,

设NCDG=a,则/CBF=a,ZADE=90°-a,

VAD=AE,

.,.ZDEA=ZADE=90--a,

.,.ZDAE=180°-2(900-a)=2a