辽宁专升本数学（无穷级数）模拟试卷1（共169题）

辽宁专升本数学（无穷级数）模拟试卷1（共6套）（共169题）辽宁专升本数学（无穷级数）模拟试卷第1套一、单项选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设级数un收敛(un≠0)，则下列级数中必收敛的为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：记(un＋un＋1)的部分和为σn，一般项为vn则σn＝v1＋v2＋…＋vn＝(u1＋u2)＋(u2＋u3)＋…＋(un＋un＋1)＝u1＋2u2＋2u3＋…＋2un＋un＋1＝2(u1＋u2＋…＋un＋1)－u1－un＋1，因为un收敛，所以其部分和数列{Sn}极限存在，且＝0．令＝A，从而＝2A－u1，所以(un＋un＋1)收敛．故选D．2、若级数an收敛，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为an收敛，所以都收敛．由收敛级数的性质知收敛．故选D．取an＝，可以验证A、B、C项中的级数均发散．3、下列级数中为正项级数的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：正项级数须满足un≥0，A项是交错级数；B项．－1＜sinn＜1，所以B项也不是正项级数；D项，当a＜0且n为奇数时an／np＜0，故D项也不是正项级数；C项，1＋(－1)n≥0。0＜sin(1／n)≤sin1，则≥0，故C项是正项级数．4、下列级数中收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：，故由比值审敛法可知A项级数收敛；(5／7)n收敛，(7／5)n发散，故B项级数发散；发散，故C项级数发散；，所以发散．故选A．5、级数是()A、发散的B、绝对收敛的C、条件收敛的D、不能确定敛散性的标准答案：B知识点解析：收敛，所以由比较审敛法知绝对收敛．6、设级数都收敛，则a的范围为()A、0＜a≤1／2B、1／2＜a≤1C、1＜a≤3／2．D、3／2＜a＜2标准答案：D知识点解析：由于＝1，又对于，当p＞1时收敛，当p≤1时发散，因此a－1／2＞1，3－a＞1，解得3／2＜a＜2．7、幂级数的收敛半径是()A、1B、0C、2D、＋∞标准答案：D知识点解析：ρ＝＝0，所以收敛半径R＝＋∞．8、设幂级数的收敛半径是2，则级数在点x＝1处()A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、不能确定敛散性标准答案：A知识点解析：幂级数的收敛半径为2，则级数在｜x＋2｜＜2内收敛，在｜x＋2｜＞2内发散，故级数在x＝1处发散．9、函数f(x)＝1／(3－x)在(－3，3)内展开成x的幂级数是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由于故选B．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、若级数un收敛于S，则un收敛于________．标准答案：s－u1知识点解析：因为级数un收敛于s，则un＝s，故－u1＝s－u1．11、设级un是收敛的，且un≠0，n∈N＋，则级数是________的．(填“收敛”或“发散”)标准答案：发散知识点解析：由un收敛可知＝0，则＝∞，所以发散．12、已知级数un收敛，则(un2＋2un＋1)＝________．标准答案：1知识点解析：由级数un收敛可得＝0，故＋1＝1．13、级数的敛散性是________．(填“绝对收敛”、“条件收敛”或“发散”)标准答案：条件收敛知识点解析：发散，所以发散；但满足莱布尼茨定理，所以级数即条件收敛．14、若级数收敛，则a＝________．标准答案：0知识点解析：因为级数收敛，由此可知a＝0．15、幂级数的收敛半径为________．标准答案：3知识点解析：所给幂级数通项为，所以收敛半径R＝3．16、若幂级数an(x＋3)n的收敛半径为2，则该级数的收敛区间为________．标准答案：(－5，－1)知识点解析：幂级数的收敛半径为2，则令｜x＋3｜＜2，得－5＜x＜－1，故其收敛区间为(－5，－1)．17、＝________，＝________．标准答案：e2，0知识点解析：因为=ex，所以当x＝2时，＝e2，则＝0．三、计算题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)18、判定级数的敛散性．标准答案：由题意可知通项un＝(3n－1)／3n因为，所以根据级数收敛的必要条件可知原级数发散．知识点解析：暂无解析19、判定级数的敛散性．标准答案：由于是公比q＝4／25＜1的等比级数，收敛，故由比较审敛法知收敛．知识点解析：暂无解析20、判定级数的敛散性．标准答案：所给级数为正项级数，且令un＝2nn！／nn，因为收敛，由比较审敛法知原级数收敛．知识点解析：暂无解析21、判定级数是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛?标准答案：因为，且级数发散，故级数发散．又因为由莱布尼茨定理可知收敛，所以级数条件收敛．知识点解析：暂无解析22、设an≥0，且数列{nan}有界，判定级数的敛散性．标准答案：由于{nan}有界，即存在M＞0，使得对任意的正整数n，有0≤nan≤M，也就是0≤an≤M／n，故an2≤M2／n2．又收敛，则由比较审敛法知级数an2收敛．知识点解析：暂无解析23、求幂级数的收敛区间．标准答案：因为ρ＝＝1，所以收敛半径R＝1，故该幂级数的收敛区间为(－1，1)．知识点解析：暂无解析24、求幂级数的收敛域．标准答案：因为ρ＝所以收敛半径R＝1／ρ＝1／4，收敛区间为(－1／4，1／4)．当x＝1／4时，级数为，发散；当x＝－1／4时，级数为，收敛．因此原级数的收敛域为[－1／4,1／4)．知识点解析：暂无解析25、求幂级数的和函数．标准答案：所以幂级数的收敛域为(－∞，＋∞)．设所求幂级数的和函数为S(x)，则S(x)＝[x(cosx－1)]’＝cosx－1－xsinx，x∈(－∞，＋∞)．知识点解析：暂无解析26、将函数f(x)＝展开成x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析27、将函数f(x)＝(x＋1)／(x2－4x＋3)展开成x－5的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析28、将f(x)＝xarctanx－展开成x的幂级数．标准答案：由于f(0)＝0，f’(x)＝知识点解析：暂无解析辽宁专升本数学（无穷级数）模拟试卷第2套一、单项选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设un＞0(n＝1，2，…)，sn＝ui，则数列{sn}有界是数列{un}收敛的()A、充分必要条件B、充分非必要条件C、必要非充分条件D、既非充分也非必要条件标准答案：B知识点解析：由于un＞0(n＝1，2，…)，sn＝u1＋u2＋-…＋un。故数列{sn}单调递增，因此数列{sn}有界时．数列{sn)极限存在，即级数un收敛，于是＝0，即数列{un}收敛于0．反过来，当数列{un)收敛时，数列{sn)未必有界．例如un＝1．＝1，但sn＝n是无界的。因此数列{sn}有界是数列{un}收敛的充分非必要条件．2、下列命题错误的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：对于选项D，举反例：可取un＝1．un＝－1．则(un＋un)收敛，但是级数un和vn均发散．3、下列级数中发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：A项的通项为un＝2／en．其是公比为q＝1／e＜1的等比级数，收敛；B项的通项为un＝1／4n，其是公比为q＝1／4＜1的等比级数，收敛；C项的通项为un＝(0．001)1／n，因为＝1，所以由级数收敛的必要条件知该级数发散；D项的通项为un＝(－1)n－1(3／7)n．其是公比为q＝－3／7，｜q｜＜1的等比级数，收敛．4、设{un}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：取un＝－1／n，则un发散，故A项不一定收敛．由题意可知{un)是单调增加的有界数列，则1／un单调递减但不趋于零，故由级数收敛的必要条件可知B项发散．取un＝－1／n，则发散，C项错误．对于D选项：(un＋12－un2)＝(u22－u12)＋(u32－u22)＋…＝(un＋12－u12)存在，故(un＋12－u12)存在，故选D．5、下列级数中发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：A项中，所给级数为正项级数，且故由比值审敛法知级数收敛．B项中，所给级数为正项级数，且当n→∞时，，由于级数(1／n3)收敛，故由比较审敛法的极限形式知收敛；C项中，，不满足级数收敛的必要条件，则C项级数发散；D项中．所给级数为正项级数，且，故由比值审敛法知收敛．故选C．6、当________时，无穷级数(－1)nun(un＞0)收敛．()A、un＋1≤un(n＝1．2，…)B、un＝0C、un＋1＜un(n＝1，2，…)且un＝0D、un＋1≥un(n＝1，2，…)标准答案：C知识点解析：由交错级数的莱布尼茨定理可知，级数(－1)nun(un＞0)同时满足un＋1-≤un，＝0两个条件时收敛．故选C．7、设级数an满足0≤an≤1／5n，则下列级数发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：级数收敛，又0≤an≤1／5n，所以an也收敛，因此A、B项均收敛；C项中，为π＝2／3＜1的P级数，发散，故发散；D项中，为p＝3／2＞1的p级数，收敛，故收敛．8、如果级数的收敛区间是(3，4)，则a＝()A、3B、4C、5D、7标准答案：D知识点解析：对于级数＝1，令－1＜2x－a＜1，得(a－1)／2＜x＜(a＋1)／2，由已知条件可得(a－1)／2＝3，(a＋1)／2＝4，所以a＝7．9、幂级数(｜x｜＜1)的和函数是()A、ln(1＋xz)B、ln(1－x)C、－ln(1＋x)D、－ln(1－x)标准答案：D知识点解析：10、函数f(x)＝sin(x－π／4)在x＝π／4处展开成幂级数是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：x∈(－∞，＋∞)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)11、级数的和S＝________．标准答案：5／(5－ln2)知识点解析：此级数为等比级数，公比q＝ln2／5．首项a＝1．等比级数求和公式得S＝12、设un＝(n＝1，2，…)，则级数un是________的，级数un2是________的．(填“收敛”或“发散”)标准答案：发散，收敛知识点解析：是p＝3／4＜1的p级数，故发散，是p＝3／2＞1的p级数，故收敛．13、已知级数(a≥0)收敛，则a满足的条件为________．标准答案：0≤a≤1知识点解析：＝a，当0＜a＜1时，由比值审敛法可知级数收敛；当a＝0时，收敛；当a＝1时，级数也收敛，所以a满足的条件为0≤a≤1．14、幂级数的收敛区间为________．标准答案：(－6，6)知识点解析：所以收敛半径为R＝6，收敛区间为(－6，6)．15、幂级数的收敛半径是________，收敛区间是________，收敛域是________．标准答案：1／3，(－1／3，1／3)，[－1／3，1／3]知识点解析：因为＝3，所以幂级数的收敛半径是1／3，收敛区间是(－1／3，1／3)．当x＝－1／3时，原级数为，收敛；当x＝1／3时，原级数为，收敛，所以原级数的收敛域为[－1／3，1／3]．16、函数f(x))＝ln(1－x－2x2)展开成x的幂级数为________．标准答案：知识点解析：ln(1－x－2x2)＝ln[(1－2x)(1＋x)]＝ln(1－2x)＋ln(1＋x)，因为In(1＋x)＝收敛域为(－1，1]．所以In(1－2x)＝，收敛域为[－1／2，1／2)，故ln(1－x－2x2)＝，x∈[－1／2，1／2)．三、计算题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)17、讨论级数的敛散性，若收敛，求其和．标准答案：知识点解析：暂无解析18、判定级数的敛散性．标准答案：令un＝n／2n，则故由比值审敛法知级数收敛，所以由比较审敛法可知也收敛．知识点解析：暂无解析19、判定级数的敛散性．标准答案：因为un＝2n／5lnn＞0，且所以由比值审敛法知发散．知识点解析：暂无解析20、判定级数的敛散性．标准答案：因为当n→∞时，nln(1＋1／3n)～n／3n，而对于级数由比值审敛法可得级数收敛，所以由比较审敛法的极限形式可知级数收敛，则原级数绝对收敛．知识点解析：暂无解析21、根据常数a的取值情况，讨论级数的敛散性．标准答案：将级数的一般项进行分子有理化，得到所以有由比较审敛法的极限形式可知：(1)当a＋1／2＞1，即a＞1／2时，由于收敛，因此级数收敛；(2)当a＋1／2≤1，即a≤1／2时，由于发散，因此级数发散．知识点解析：暂无解析求下列幂级数的收敛半径和收敛域：22、标准答案：ρ＝＝3，故收敛半径R＝1／3，则级数在｜x｜＜1／3，即－1／3＜x＜1／3时收敛．当x＝－1／3时，收敛，当x＝1／3时，发散，故收敛域为[－1／3，1／3)；知识点解析：暂无解析23、标准答案：ρ＝＝＋∞，故收敛半径R＝0。级数仅在x＝0处收敛；知识点解析：暂无解析24、标准答案：ρ＝＝3，故收敛半径R＝1／3．则级数在－1／3＜x－1＜1／3，即2／3＜x＜4／3时收敛．当x＝4／3时，级数为因为发散，收敛，故发散；当x＝2／3时，级数为因为满足莱布尼茨定理，收敛，由比值审敛法知收敛，故原级数收敛．从而幂级数的收敛域为[2／3,4／3)．知识点解析：暂无解析25、标准答案：un(x)＝＝(x－3)2．当(x－3)2＜1，即｜x－3｜＜I时级数收敛，收敛半径R＝1．当x－3＝1即x＝4时，收敛；当x－3＝－1即x＝2时，收敛．故收敛域为[2，4]．知识点解析：暂无解析26、求幂级数的和函数．标准答案：因为ρ＝＝1，所以其收敛半径R＝1，收敛区间为｜x－1｜＜1，即(0，2)．当x＝0或2时，级数均发散．所以该级数的收敛域是(0．2)．知识点解析：暂无解析27、若，求an．标准答案：知识点解析：暂无解析28、将f(x)＝ln(4x－5)展开成x－2的幂级数，并指出其收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)29、设a1＝2，an＋1＝an／2，且an＞0，证明：级数(an－an＋1)收敛．标准答案：由题意可知an＞0，且＝1／2＜1，所以an＝收敛，则＝0，从而因此级数收敛．知识点解析：暂无解析辽宁专升本数学（无穷级数）模拟试卷第3套一、单项选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、级数＝()A、0B、1／5C、1／3D、1／3标准答案：D知识点解析：设所给级数的前n项和为Sn，由于，则2、若级数an发散，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：若an发散，可能有＝0，如(1／n)，故A项正确；由(1／n)发散可知B、C项均不成立；由(－1)n发散知D项不成立．3、下列选项中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：设收敛，但发散，故B项错误．设un＝(1／2n)．虽然正项级数un发散，但1／2n＜1／n，故C项错误．D项成立的前提条件是un和vn是正项级数，即un≥vn≥0．故D项错误．对于选项A，由于(un＋vn)2＝un2＋vn2＋2unvn≤2(un2＋vn2)，由题意可知2(un2＋vn2)收敛，故(un＋un)2收敛，故选A．4、下列级数发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：A项中，，故级数收敛；B项中，收敛，故级数sin(π／2n)收敛；C项中，，故由级数收敛的必要条件知级数发散；D项中，，故级数收敛．5、下列级数绝对收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：对于A项，，因为(1／n)发散，所以级数发散，又满足莱布尼茨定理，故原级数条件收敛；对于B项，un＝，故｜un｜收敛，原级数绝对收敛；对于C项，由级数收敛的必要条件知该级数发散；对于D项，发散，所以发散，即D项级数不绝对收敛．6、设un＞0(n＝1，2，…)，且un收敛，常数λ∈(0，π／2)，则级数()A、收敛B、不能确定敛散性C、发散D、敛散性与λ有关标准答案：A知识点解析：n→∞时，由un＞0，且un收敛可得u2n收敛，从而可得收敛．7、幂级数的收敛域为()A、(－1，1)B、(－1，1]C、[－1，1)D、[－1，1]标准答案：A知识点解析：级数的收敛半径为R＝＝1，收敛区间为(－1，1)．又当x＝1时，级数发散．当x＝－1时，级数也发散，故其收敛域为(－1，1)．8、设＝ρ(ρ＞0)，若幂级数的收敛半径分别为R1、R2、R3，则下列关系式成立的是A、R3＞R2＞R1B、R3＞R2＝R1C、R3＝R2＜R1D、R1＝R2＝R3标准答案：D知识点解析：对于级数＝ρ；对于级数＝ρ；对于级数＝ρ，所以R1＝R2＝R3＝1／ρ，故选D．9、函数f(x)＝1／(x－6)展开成(x－2)的幂级数是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、已知u1＝，u2＝，u3＝，u4＝，…，un＝，…，则un＝________．标准答案：1知识点解析：un＝，前n项和Sn＝因为＝1，所以＝1．11、已知级数an＝2，a2n－1＝5，则级数(－1)n－1an＝________．标准答案：8知识点解析：因为an＝a1＋a2＋…＋an＋…＝2，a2n－1＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋…＝5，且(－1)n－1an＝a1－a2＋a3－a4＋…＋a2n－1－a2n＋…，所以(－1)n－1an＝2a2n－1－an＝8．12、级数的敛散性为________．(填“收敛”或“发散”)标准答案：发散知识点解析：是p＝1／3＜1的p级数，发散，则原级数也发散．13、设un≥(n＝1，2，…)，则级数是________的．(填“收敛”或“发散”)标准答案：发散知识点解析：un≥1／n2／5＞0(n＝1，2，…)，则发散．14、若级数(a＞0)收敛，则a应满足________．标准答案：0＜a＜2知识点解析：，当a／2＜1，即a＜2时，原级数收敛；当a＝2时，＝1≠0，原级数发散．又因为a＞0，所以a的取值范围为0＜a＜2．15、已知anxn的收敛半径为27，则anx3n的收敛半径是________．标准答案：3知识点解析：因为anxn的收敛半径为27，令x3＝t，则的收敛半径也为27，故anx3n的收敛半径为3．16、幂级数的收敛域为________．标准答案：(－4，4]知识点解析：由于则幂级数的收敛半径R＝4，收敛区间为(－4，4)．而x＝4时，级数收敛x＝－4时，级数发散，所以收敛域为(－4，4]．17、函数f(x)＝2x在x＝1处的幂级数展开式为________．标准答案：知识点解析：因为ex＝，x∈(－∞．+∞)，所以2x＝2×2x－1=＝2e(x－1)ln2＝，x∈(－∞，＋∞)．三、计算题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)18、判定级数的敛散性．标准答案：因为所以根据级数收敛的必要条件知级数发散．知识点解析：暂无解析19、判定级数的敛散性．标准答案：因为un＝4n／n33n＝0，且所以由比值审敛法知发散．知识点解析：暂无解析20、判定级数的敛散性．标准答案：故由根值审敛法知收敛．知识点解析：暂无解析21、判定级数是否收敛，若收敛，是条件收敛还是绝对收敛?标准答案：因为n→∞时，，而级数所以级数收敛，故由比较审敛法知收敛，从而级数绝对收敛．知识点解析：暂无解析22、求幂级数的收敛区间．标准答案：un(x)＝，故得原幂级数的收敛区间为知识点解析：暂无解析23、求幂级数的收敛域．标准答案：令(x－1)2＝t，则级数化为由于ρ＝的收敛半径R＝1，令｜(x－1)2｜＜1，即0＜x＜2，则级数的收敛区间为(0，2)．当x＝0或x＝2时，原级数均为，由莱布尼茨定理可知该级数收敛，故原级数的收敛域为[0，2]．知识点解析：暂无解析24、求幂级数的和函数，并求级数的和S．标准答案：由ρ＝＝1得幂级数的收敛半径为R＝1／ρ＝1，收敛区间为(－1，1)．当x＝±1时，级数都收敛，故收敛域为[－1，1]．设该幂级数的和函数为S(x)，则S(x)＝其中设g(x)＝又g(0)＝0，于是g(x)＝∫0xg’(t)dt＝∫0x1／(1－t)dt＝－ln(1－x)，而故S(x)＝(－1≤x＜1且x≠0)．当x＝0时，S(0)＝0．当x＝1时，S(1)＝，故令x＝1／2∈[－1，1)，得S＝知识点解析：暂无解析25、将函数f(x)＝展开成x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析26、将函数f(x)＝arctan[(1－2x)／(1＋2x)]展开成关于x的幂级数，并求级数的和．标准答案：因为x＝1／2时级数收敛，且函数f(x)在x＝1／2处连续，所以令x＝1／2，得f(1／2)＝又因为f(1／2)＝0，所以知识点解析：暂无解析27、将展开为x的幂级数，并求的和．标准答案：知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)28、利用级数收敛的必要条件证明极限标准答案：显然令un＝n／3n，因为则由比值审敛法知级数收敛．再由比较审敛法知级数收敛，故知识点解析：暂无解析辽宁专升本数学（无穷级数）模拟试卷第4套一、单项选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、若级数an收敛于S，则(an＋an＋1－an＋2)收敛于()A、S＋a1B、S＋a2C、S＋a1－a2D、S－a1＋a2标准答案：B知识点解析：a2＝S＋a2，故选B．2、若级数(u2n－1＋u2n)收敛，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：级数(u2n－1＋u2n)是由un加括号后所得到的级数，由(u2n－1＋u2n)收敛不能得出级数un收敛．例如(－1)n－1发散，但(u2n－1＋u2n)＝(1－1)＋(1－1)＋…＋(1－1)＋…＝0收敛，且不存在．3、下列级数收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：＝1≠0，故A项级数发散；1＝1≠0．故B项级数发散；极限(－1)n不存在。故C项级数发散；，此级数为q＝－8／9的等比级数，由于｜q｜＝8／9＜1．故该级数收敛．4、设un＝，则级数()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：n→∞时，均发散。所以级数un和un2均发散．5、下列级数中发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：A项中，级数(n／3n)为正项级数。又所以根据正项级数的比值审敛法知(n／3n)收敛；B项中，级数为正项级数，而ln(1＋1／n)～1／n(n→∞)，于是为p＝3／2＞1的p级数，收敛．因此由正项级数的比较审敛法的极限形式可知收敛；C项中，由于，而正项级数发散，根据莱布尼茨定理知交错级数收敛，那么由级数的性质知发散；D项中，级数为正项级数，而，根据正项级数的比值审敛法知级数收敛．6、对任意的n，有an＜0，且＝λ，要使级数an收敛，λ应满足()A、λ＞1B、0≤λ＜1C、λ＝1D、λ≥0标准答案：B知识点解析：由比值审敛法可知，当时，级数－an收敛，即an收敛。故0≤λ＜1．7、设a为常数，则级数()A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、收敛性与a的取值有关标准答案：A知识点解析：由于≤1／n2．又收敛，根据正项级数的比较审敛法知绝对收敛．故选A．8、设幂级数在x＝6处收敛，则该级数在x＝－3处()A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、不能确定敛散性标准答案：C知识点解析：在x＝6处收敛，则R≥6，又因x＝－3在收敛区间内，故该级数在x＝－3处必定绝对收敛．9、已知f(x)＝，则f’(x)＝()A、－2xsinx2B、cosx2C、－cosx2D、2xsinx2标准答案：A知识点解析：f(x)＝＝cosx2，f’(x)＝－2xsinx2．10、已知f(x)＝，则f(1)＝()A、－1B、0C、1D、π标准答案：B知识点解析：因为sinx＝＝sinπx，f(1)＝sinπ＝0．故本题选B．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)11、级数的和为________．标准答案：－2知识点解析：，故原级数的和为－2．12、若级数(un＋a)收敛，且n为常数，则un＝________．标准答案：－a知识点解析：根据级数收敛的必要条件可知＝－a．13、级数的敛散性是________．(填“绝对收敛”、“条件收敛”或“发散”)标准答案：绝对收敛知识点解析：当n≥1时，是公比为1／2＜1的等比级数，所以级数收敛，故由比较审敛法可知绝对收敛．14、当p________时，级数收敛．标准答案：＞1知识点解析：因为当P＞1时收敛，所以由比较审敛法知P＞1时，收敛．15、幂级数的收敛区间为________．标准答案：(－1，1)知识点解析：因为ρ＝所以幂级数的收敛半径R＝1／ρ＝1．故收敛区间为(－1，1)．16、若幂级数在x＝0处收敛，则该级数在x＝5处________．(填“收敛”或“发散”)标准答案：收敛知识点解析：阿贝尔定理知对于所有满足的点，即0＜x＜6时，幂级数绝对收敛，所以级数在x＝5处必收敛．17、函数f(x)＝x／(2＋x－x2)展开成x的幂级数为________．标准答案：知识点解析：三、计算题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)18、讨论级数的敛散性，若收敛，求其和．标准答案：由于un＝所以Sn＝u1＋u2＋…＋un知识点解析：暂无解析19、判定级数的敛散性．标准答案：因为，而级数发散．所以由比较审敛法知所给级数是发散的．知识点解析：暂无解析20、判定级数的敛散性．标准答案：当n≥5时，un＝＞0，则级数为正项级数．取un＝，则由p级数的收敛性知发散，故由比较审敛法的极限形式知发散，因此级数发散．知识点解析：暂无解析21、判定级数是否收敛，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛?标准答案：原级数为交错级数，并可化为对于正项级数发散．但满足莱布尼茨定理，从而条件收敛．知识点解析：暂无解析22、若级数均收敛，且an≤cn≤bn(n＝1，2，3，…)，判定级数的收敛性，并说明理由．标准答案：cn收敛，理由如下：因为an≤cn≤bn(n＝1，2，3，…)，所以0≤cn－an≤bn－an．由级数an与bn均收敛，可得(bn－an)收敛．由正项级数的比较审敛法可得(cn－an)收敛．又cn＝(cn－an)＋an，所以由收敛级数的性质知级数cn收敛．知识点解析：暂无解析23、求幂级数的收敛半径和收敛域．标准答案：令x2＝t，先考虑则幂级数的收敛半径R＝3，而的收敛半径为所以当t＜3即时原级数收敛，当x＝时，发散；当x＝－时，发散．故原级数的收敛域为知识点解析：暂无解析24、求幂级数的和函数，并求标准答案：设所给级数的和函数为S(x)，即S(x)＝因为S’(x)＝－1＜x＜1，且S(0)＝0，所以S(x)＝∫0xS’(t)dt＝∫0x＝[1／(1＋t2)]dt＝arctanx．当x＝－1时，级数是收敛的；当x＝1时，级数也是收敛的．于是把x＝代入S(x)得知识点解析：暂无解析25、将f(x)＝cos2x展开成x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析26、求f(x)＝1／(1＋x)2在x＝0处的幂级数展开式．标准答案：知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)27、已知级数un满足un＋1＝(1／4)(1＋1／n)nun(n∈N*)，且u1＝1，证明＝0．标准答案：∵u1＝1，un＋1＝un，∴un＞0，n＝1，2，…，即级数un为正项级数，知识点解析：暂无解析辽宁专升本数学（无穷级数）模拟试卷第5套一、单项选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、级数的前n项和为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：级数的通项为un＝，故前n项和sn＝u1＋u2＋…＋un＝2、已知级数un的前n项和Sn＝sinn，级数vn的前n项和Tn＝(n＋1)／(n2＋1)，则下列常数项级数中，收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：，不存在，．所以级数un发散，vn收敛，故由级数的性质可知级数均发散．3、若an＝0，则常数项级数an()A、收敛且和不为零B、必发散C、收敛且和为零D、可能收敛也可能发散标准答案：D知识点解析：＝0是级数an收敛的必要条件．但不是充分条件．令an＝1／3n，由(1／3n)收敛可知B项不正确；令an＝1／n．由(1／n)发散可知A、C项错误，故选D．4、设un为正项级数，则下列结论正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由＝λ，得＝λ．因为un为正项级数，λ≠0。级数(1／n)发散，故由比较审敛法的极限形式知级数un发散，故B项正确．取un＝1／nlnn，则nun＝0，但发散，因此可以排除A项；再取un＝，显然级数收敛(p＞1的P级数)，但n2un＝＋∞，故排除C项；由于npun存在，不妨设而当P＞1时，级数收敛．于是由正项级数的比较审敛法的极限形式可知级数un收敛．故排除D．5、下列级数发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A项中，所给级数为正项级数，且当n→∞时，收敛，故由正项级数的比较审敛法的极限形式知收敛；B项中，所给级数为正项级数，且，故由正项级数的比值审敛法知收敛；C项中，所给级数为正项级数，且当n→∞时，arctan(1／n5)～1／n5，由于级数(1／n5)收敛，故由正项级数的比较审敛法的极限形式知arctan(1／n5)收敛；D项中，所以由级数收敛的必要条件知级数发散．故选D．6、设0≤un≤1／n(n＝1，2，…)，则下列级数中，一定收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由0≤un≤1／n，可知0≤un2≤1／n2，又级数(1／n2)收敛，故由正项级数的比较审敛法知级数un2收敛，从而(－1)nun2绝对收敛．7、设a是常数，且a＝0，则级数()A、发散B、不能确定敛散性C、收敛D、敛散性与a有关标准答案：C知识点解析：由1－cos(a／n)≥0可知是正项级数，且，因为收敛，故由正项级数的比较审敛法的极限形式可得收敛．8、幂级数的收敛域为()A、(－1，1)B、[－1，1)C、(－1，1]D、[－1，1]标准答案：C知识点解析：因ρ＝，故R＝1／ρ＝1，收敛区间为(－1，1)．当x＝－1时，原级数为，发散；当x＝1时，原级数为，收敛．所以原级数的收敛域为(－1，1]．9、如果＝1／8，则幂级数anx3n()A、当｜x｜＜2时，收敛B、当｜x｜＜8时，收敛C、当｜x｜＜1／8时，发散D、当｜x｜＞1／2时，发散标准答案：A知识点解析：令t＝x3，则级数antn的收敛半径Rt＝8，故当｜t｜＜8时，级数antn收敛，所以有｜x3｜＜8，即｜x｜＜2时，级数anx3n收敛．10、函数f(x)＝lnx展开成(x－2)的幂级数是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：lnx＝ln(2＋x－2)＝x∈(0，4]．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)11、已知常数a＞0，则a满足条件________时，收敛．标准答案：n＞1知识点解析：当｜1／a｜＜1时，级数收敛，所以a＞1或a＜－1，又因a＞0，故a＞1．12、设(－1)n－1un＝2，un＝6，又vn＝3u2n－1－u2n，则vn＝________．标准答案：10知识点解析：由已知条件有(－1)n－1un＝u1－u2＋u3－u4＋…＋u2n－1－u2n＋…＝(u1－u2)＋(u3－u4)＋…＋(u2n－1－u2n)＋…＝(u2n－1－u2n)＝2．13、级数的敛散性为________．(填“收敛”或“发散”)标准答案：收敛知识点解析：因为收敛，所以原级数收敛．14、＝________．标准答案：0知识点解析：15、若幂级数anxn在x＝5处条件收敛，则其收敛半径R＝________．标准答案：5知识点解析：幂级数anxn在x＝5处条件收敛，说明x＝5是该幂级数的收敛区间端点，故R＝5．16、幂级数的收敛域是________．标准答案：(1，2]知识点解析：＝1，令｜2x－3｜＜1，得1＜x＜2，则幂级数的收敛区间为(1，2)．当x＝1时，级数为，发散；当x＝2时，级数为收敛，故幂级数的收敛域为(1，2]．17、函数f(x)＝2／(2x＋1)展开成(x－1／2)的幂级数为________．标准答案：知识点解析：三、计算题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)利用级数收敛的定义判定下列各级数的敛散性：18、标准答案：知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、标准答案：知识点解析：暂无解析21、判定级数的敛散性．标准答案：由于0＜un＝是公比q＝＜1的等比级数，收敛，因此由正项级数的比较审敛法可知级数收敛．知识点解析：暂无解析22、判定级数的敛散性．标准答案：因为un＝7n／(7n＋6)＞0，且所以由比值审敛法可得原级数发散．知识点解析：暂无解析23、判定级数的敛散性．标准答案：因为故由根值审敛法可知级数收敛．知识点解析：暂无解析24、判定级数的敛散性，其中a＞0．标准答案：令ρ＝当0＜a＜1时，ρ＝a＜1，故级数收敛；当a＞1时，ρ＝1／a＜1，故级数收敛；当a＝1时，．从而级数发散．知识点解析：暂无解析25、求幂级数的收敛区间标准答案：知识点解析：暂无解析26、求幂级数的和函数．标准答案：ρ＝＝0，所以R＝＋∞，故该级数的收敛域为(－∞，＋∞)．知识点解析：暂无解析27、求幂级数的和函数f(x)及其极值．标准答案：f(x)＝f’(x)＝－x／(1＋x2)，令f’(x)＝0，求得唯一驻点x＝0．当0＜x＜1时，f’(x)＜0．当－1＜x＜0时，f’(x)＞0．故f(x)在x＝0处取得极大值，且极大值f(0)＝1．知识点解析：暂无解析28、将函数f(x)＝1／(x2＋2x－8)展开成x的幂级数，并指出其收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析四、证明题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)29、若正项级数an收敛，证明级数收敛．标准答案：设bn＝an，则由题意可知bn为正项级数．所以由正项级数的比较审敛法的极限形式知an也收敛．知识点解析：暂无解析辽宁专升本数学（无穷级数）模拟试卷第6套一、单项选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、级数()A、收敛于0B、收敛于ln2C、发散D、无法判断敛散性标准答案：C知识点解析：由于ln(1＋1／n)＝ln[(n＋1)／n]＝ln(n＋1)－lnn则级数的前n项和Sn＝In2－In1＋ln3－ln2＋-…＋ln(n＋1)－lnn＝ln(n＋1)，＝＋∞．故级数发散．2、若级数un收敛，则下列级数中发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据题意可知＝0．从而可知≠0．故由级数收敛的必要条件可知B项级数发散；由收敛级数的性质可知A、C、D项级数均收敛．故选3、若正项级数un收敛，C为非零常数，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：设un＝1／n2，则＝1／n，而(1／n)发散，所以A项不正确；由题意可得un＝0，(un＋C)2＝C2≠0，(un＋C)＝C≠0．所以C、D项不正确；因为un＝0。故当n足够大时，0≤un2≤un＜，则由比较审敛法知un2收敛．故选B．4、下列级数中收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因为，且收敛，故根据比较审敛法的极限形式知，级数收敛；因为，故根据比较审敛法的极限形式知，级数发散；因为，故根据比较审敛法的极限形式知，级数发散；因为ln(1＋n)＝＋∞，所以由级数收敛的必要条件知级数ln(1＋n)发散．5、下列级数绝对收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：A项中，的绝对值级数为，是p＝4／3＞1的p级数，故收敛，则绝对收敛；B项中，，由级数收敛的必要条件知，B项所给级数发散，故不绝对收敛；C项中，因为级数发散，故C项所给级数不绝对收敛；D项中，对于级数由于级数(1／n)发散，故由比较审敛法的极限形式知级数发散，故D项所给级数不绝对收敛．6、设un≠0(n＝1，2。3，…)，且＝1，则级数()A、发散B、绝对收敛C、条件收D、不能确定敛散性标准答案：C知识点解析：由题中极限条件可得且1／un～1／n(n→∞)．因为级数与均条件收敛，从而收敛；而由发散可知发散，从而级数条件收敛．7、幂级数(1＋2＋3＋…＋n)xn的收敛半径是()A、1B、0C、2D、＋∞标准答案：A知识点解析：所以级数的收敛半径R＝1．8、设幂级数an(x－1)n在x＝－3处收敛，则级数在点