2.2.1对数与对数运算示范课公开课一等奖课件省赛课获奖课件

对数与对数运算1.如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫做

,记作

，其中a叫做

，N叫做

.2.对数的性质:(1)1的对数等于

;(2)底数的对数等于

;(3)零和负数没有

.3.以10为底的对数叫做

,log10N记作

.4.以无理数e=2.71828…为底的对数称为

，logeN记作

.以a为底N的对数x=logaN对数的底数真数01对数惯用对数lgN自然对数lnN5.alogaN=

.6.对数换底公式为

.7.如果a>0，且a≠1，M>0;N>0，那么：（1）loga(MN)=

；loga(N1N2…Nk)=

;（2）loga=

;（3）logaMn=

.NlogaM+logaNlogaN1+logaN2+…+logaNklogaM-logaNnlogaMlogbN=学点一不查表计算对数值计算下列各式的值:(1);(2);(3)(lg2)3+(lg5)3+3lg2·lg5;(4)lg500+lg-lg64+50(lg2+lg5)2.【分析】根据对数的运算性质发明条件，灵活地加以应用.【解析】（1）原式=（2）原式=（3）原式=(lg2+lg5)［(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2］+3lg2·lg5=(lg2)2-lg2·lg5+(lg5)2+3lg2·lg5=(lg2+lg5)2=1.（4）解法一：原式=lg（500×85）-lg+50［lg(2×5)］2=lg800-lg8+50=lg+50=lg100+50=2+50=52.解法二：原式=lg5+lg100+lg8-lg5-lg82+50=lg100+50=52.【评析】（1）对于有关对数式的化简问题，解题的惯用办法：①“拆”：将积（商）的对数拆成两对数之和（差）；②“收”：将同底的和（差）的对数收成积（商）的对数.（2）分是为了合，合是为了分，注意本例解法中的拆项、并项不是盲目的，它们都是为了求值而进行的.计算下列各式的值:(1)lg52+lg8+lg5·lg20+(lg2)2;(2);(3)(1)原式=2lg5+2lg2+lg5(2lg2+lg5)+(lg2)2=2lg10+(lg5+lg2)2=2+(lg10)2=2+1=3.(2)原式=.

(3)原式=学点二求值问题【分析】解本题的核心是设法将45的惯用对数分解为2,3的惯用对数,再代入计算.【解析】解法一:=lg45=lg=(lg9+lg10-lg2)=(2lg3+1-lg2)=lg3+-lg2=0.4771+0.5-0.1505=0.8266.已知lg2=0.3010,lg3=0.4771,求的值.【评析】在运算过程中注意运算法则的对的运用,体会lg2+lg5=1性质的灵活运用.解法二:=lg45=lg(5×9)=(lg5+2lg3)=(1-lg2+2lg3)=-lg2+lg3=0.8266.(1)用lg2和lg3表达lg75;(2)用logax,logay,logaz表达loga.(1)原式=lg(25×3)=lg(52×3)=2lg5+lg3=2lg（）+lg3=2(1-lg2)+lg3=2-2lg2+lg3.(2)原式=loga(x4·)-loga=4logax+loga(y2z)-loga(xyz3)=4logax+(2logay+logaz)-(logax+logay+3logaz)=logax+logay-logaz.学点三条件求值已知log189=a,18b=5,求log3645.【分析】运用对数换底公式和其它对数公式变形.【解析】解法一：∵log189=a,18b=5,∴log185=b,于是log3645==解法二：∵log189=a,18b=5,∴log185=b,于是log3645=.【评析】（1）解决这类问题，要注意分析条件和所求式子之间的联系，找到联系就找到了思路.（2）当出现多个不同底的对数时，往往要用换底公式统一成适宜的同底来解决，要有“化同底”的意识.（3）题中运用了“方程组”的观点，把log32,log35作为两个未知数解决.(1)已知6a=27,求log1618;(2)已知log310=a,log625=b,求log445.(1)∵6a=27,∴a=log627=,∴log23=.∴log1618=.(2)a=log310=log32+log35①b=log325log36=②由①②可知log32=,log35=.于是log445=.学点四对数方程已知log3(x-1)=log9(x+5)，求x.【分析】对简朴的对数方程，同底法是最基本的求解办法，运用换底公式可得logaN=loganNn(N>0,n≠0).【解析】原方程可化为log9(x-1)2=log9(x+5),∴(x-1)2=x+5,∴x2-3x-4=0,解得x=-1或x=4.将x=-1，x=4分别代入方程,检查知x=-1不合题意，舍去.∴原方程的根为x=4.【评析】注意解题的等价变形，如本题中将log3(x-1)化为log9(x-1)2，实质上是非等价变形，扩大了定义域，因此，在解对数方程后要验根.方程log2(x-1)=2-log2(x+1)的解为

.(1)∵log2(x-1)=2-log2(x+1),∴log2(x2-1)=2,∴x2-1=4,∴x=±5.经检验,x=-5是增根,舍去.∴方程的解为x=5.【评析】对数的换底公式在对数式的化简、求值、证明中有广泛的应用.当对数式的底数不同时，可运用换底公式化为同底的对数式，再进行有关的运算.【解析】(1)换为常用对数,得log89·log2732==.(2)原式=71+lg2·21-lg7=(7×2)(7lg2×2-lg7)=14.【分析】运用换底公式及其它对数公式化简求值.(1)求log89·log2732的值;(2)求7lg20·()lg0.7的值.学点五换底公式的应用(1)（2）15

解：(1)原式=(log32+)（)=log32×log23=.(2)原式=++13=15.(1)(log32+log92)(log43+log83)=

.(2)log2+log927+4=

.1.如何理解对数的有关概念？(1)对数概念比较难理解,学习时要注意对数是幂运算的逆运算,是由底和幂求幂指数的运算.抓住对数与指数的互相联系,深刻理解对数与指数的关系.(2)重视指数式与对数式的互化,运用指数式研究对数式的运算性质.(3)对数运算是指数运算的逆运算,结合对数运算培养自己的逆向思维能力.2.如何掌握对数的有关运算公式?（1）对公式形式要熟悉,公式的导出要理解,公式中的限制条件要记住.（2）运用对数运算法则时,要注意各个字母的取值范畴:M>0,N>0,a>0,a≠1,要注意,只有所得成果中对数和所给出的数的对数都存在时,等式才干成立.例如:log2［(-3)×(-5)］是存在的,但lo