块状树高级查询操作

19/24块状树高级查询操作第一部分块状树查询操作原理 2第二部分区间查询与操作 4第三部分子树查询与修改 7第四部分距离查询与修改 10第五部分k级祖先查询 12第六部分lca查询与修改 14第七部分深度查询与修改 16第八部分路径查询与修改 19

第一部分块状树查询操作原理关键词关键要点块状树查询操作原理

1.通过树链剖分将原树分解为多个块状树：

-树链剖分将原树分解为若干条不相交的链，称为重链。

-每条重链上的所有节点都属于同一个块状树。

2.块状树的组织与维护：

-块状树中的节点对应原树中的块，每个块包含原树中若干连续的节点。

-块状树维护着块内节点的区间信息，以便高效查询。

-块状树中的操作包括块合并、块分裂和信息更新。

3.查询优化：

-查询操作利用了块状树的块内信息，避免了对原树的逐个遍历。

-查询范围跨越多个块时，采用分块查询的方式，将查询拆分成对不同块的查询，然后再合并结果。

块状树常见查询操作

1.区间查询：

-查找指定区间内的区间和、区间最大值等信息。

-将查询范围分解为块内查询和跨块查询，分块计算结果。

2.区间修改：

-修改指定区间内的节点值，并更新受影响块的信息。

-分块应用修改，只修改受影响的块，以优化时间复杂度。

3.整体查询：

-查询整棵树的区间和、区间最大值等信息。

-利用树链剖分和块状树组织，将整体查询转换为块内查询，高效计算结果。块状树查询操作原理

块状树是一种用于处理离线查询的数据结构，它将数组划分为大小相等的块，并在每个块上建立一个连续子数组的区间树。块状树的查询操作通过结合块内查询和块间查询高效地执行。

块内查询

当查询涉及单个块内的元素时，块状树直接使用该块的区间树执行查询。由于块的大小是固定的，因此块内查询可以在O(logn)时间内完成，其中n是块的大小。

块间查询

当查询跨越多个块时，块状树采用以下步骤：

1.块内查询：查询涉及的每个块的区间树，得到块内满足查询条件的元素。

2.直接查询：遍历查询跨越的块之间连续的所有元素，并将其添加到结果中。

3.块内查询（可选）：如果查询跨越的块之间的元素数较少，块状树可以再次使用区间树执行块内查询，而不是直接遍历元素。

查询操作的效率分析

块状树查询操作的效率取决于查询涉及的块数和块内查询的复杂度：

*查询涉及的块数：假设数组大小为N，块大小为B，那么查询涉及的块数为O(N/B)。

*块内查询复杂度：块内查询复杂度通常为O(logB)，其中B是块的大小。

因此，块状树查询的总时间复杂度为：

```

时间复杂度=O((N/B)*logB)

```

优化策略

为了进一步优化查询操作，块状树可以使用以下策略：

*动态块大小：根据查询分布动态调整块的大小，平衡块内查询和块间查询的效率。

*延迟更新：延迟对块的区间树进行更新，并周期性地合并更新以避免频繁的区间树操作。

*区间合并：将相邻的满足查询条件的区间合并，减少输出大小并提高查询效率。

通过这些优化策略，块状树可以显着提高离线查询的效率，使其成为处理海量数组查询的理想数据结构。第二部分区间查询与操作关键词关键要点区间查询

1.范围查询：查询指定区间内的所有元素，效率为O(k)，其中k为查询结果中的元素数量。

2.前缀查询：查询指定位置及其之前的所有元素，效率为O(1)。

3.后缀查询：查询指定位置及其之后的所有元素，效率为O(1)。

区间操作

区间查询

定义：区间查询是指查询一棵块状树中某一区间的数据。

操作：

```

query(l,r):

return区间[l,r]中数据的总和。

```

实现：

1.树状数组：

-将块状树中的每个块视作一个树状数组。

-查询时，对每个涉及的块进行树状数组中的查询操作。

2.分治：

-将查询区间分成大小相等的若干个子区间。

-递归查询每个子区间，最后合并结果。

区间修改

定义：区间修改是指修改一棵块状树中某一区间的数据。

操作：

```

update(l,r,delta):

将区间[l,r]中每个元素增加delta。

```

实现：

1.树状数组：

-查询和修改所涉的块对应的树状数组中进行操作。

2.惰性标记：

-为每个块设置一个惰性标记，记录待更新的修改。

-当查询/修改操作涉及到某个块时，更新惰性标记。

-当实际修改块时，先应用惰性标记，再进行修改。

区间翻转

定义：区间翻转是指将一棵块状树中某一区间的数据取反。

操作：

```

flip(l,r):

将区间[l,r]中每个元素取反。

```

实现：

1.树状数组：

-每个块对应的树状数组中进行区间加法操作（与区间修改操作类似）。

2.异或标记：

-为每个块设置一个异或标记，记录待翻转的区间。

-当查询/修改操作涉及到某个块时，更新异或标记。

-当实际修改块时，先应用异或标记，再进行修改。

区间查询与操作的应用

例1：最大子序列和

-将序列划分为若干块，每个块构成一个树状数组。

-查询时，对每个涉及的块进行树状数组中的区间求和操作。

例2：区间加

-将序列划分为若干块，每个块构成一个树状数组。

-修改时，对每个涉及的块进行树状数组中的区间加法操作。

例3：区间异或

-将序列划分为若干块，每个块构成一个树状数组。

-修改时，对每个涉及的块进行树状数组中的区间异或操作。

例4：单点修改区间查询

-将序列划分为若干块，每个块构成一个树状数组。

-使用惰性标记技术，对单点修改/区间查询进行优化。

性能分析

|操作|时间复杂度|空间复杂度|

||||

|区间查询|O(sqrt(n))|O(n)|

|区间修改|O(sqrt(n))|O(n)|

|区间翻转|O(sqrt(n))|O(n)|

其中，n为序列中的元素个数。

优势

*比传统线段树更适用于访问模式具有局部性的数据结构。

*查询和修改的平均时间复杂度较低。

*适合于处理大规模数据，并允许快速访问和修改。第三部分子树查询与修改子树查询与修改

块状树的子树查询与修改操作基于以下性质：

*性质1：对于块状树中任意一个块$B$，其所有子树的点都属于该块。

*性质2：对于块状树中任意一个点$v$，其深度为$d_v$，属于第$d_v\bmodb$个块，其中$b$为块的大小。

子树查询：

*枚举第$d_v\bmodb$个块及其后继块，直到深度达到或超过查询子树的深度。

*在每个块中，对所有点进行查询操作。

*计算这些块中查询结果的总和。

子树修改：

*枚举第$d_v\bmodb$个块及其后继块，直到深度达到或超过查询子树的深度。

*在每个块中，对所有点进行修改操作。

优化策略：

*重子树分解：将子树分解为若干个不重叠的部分，对每个部分单独执行操作。

*延迟更新：在执行修改操作时，不立即更新块中的值，而是记录修改信息。在后续访问块时再更新值。

*路径压缩：每次访问块时，对路径上的所有祖先块进行更新。

基本算法：

子树查询算法：

*输入：顶点$v$、查询子树深度$d$。

*输出：查询子树中的值总和。

1.初始化结果$ans=0$。

2.枚举块$i$，从$d_v\bmodb$到$d$。

3.在块$i$中，对所有点$j$，执行查询操作，并将结果加到$ans$中。

4.返回$ans$。

子树修改算法：

*输入：顶点$v$、修改值$val$。

*输出：修改查询子树中的值。

1.枚举块$i$，从$d_v\bmodb$到$d$。

2.在块$i$中，对所有点$j$，将点$j$的值修改为$val$。

3.如果$i$为延迟更新块，则将$i$的修改信息撤销。

4.如果$i$为路径压缩块，则更新路径上的所有祖先块。

复杂度分析：

*子树查询：块大小为$b$，深度为$d$，则复杂度为$O(d/b+b)$。

*子树修改：块大小为$b$，深度为$d$，则复杂度为$O(d/b)$。

扩展功能：

除了基本查询和修改操作，块状树还可以支持更复杂的子树操作，例如：

*子树最大值查询：返回查询子树中值的乘积。

*子树区间查询：返回查询子树中指定区间内值的和。

*子树单点修改：仅修改查询子树中指定点的值。

*子树区间修改：修改查询子树中指定区间内所有点的值。第四部分距离查询与修改距离查询与修改

距离查询和修改是块状树的高级查询操作，用于查询和修改节点之间的距离信息。这些操作在处理最短路径、最长公共子串、最近公共祖先等问题中非常有用。

距离查询

距离查询操作用于查询两个节点之间的距离。具体来说，给定两个节点u和v，距离查询返回u和v在块状树中的最近公共祖先（LCA）到每个节点的距离之和。

距离查询算法：

1.找到节点u和v的最近公共祖先(LCA)。

2.从u出发，沿路径向上遍历到LCA，计算从u到LCA的距离。

3.从v出发，沿路径向上遍历到LCA，计算从v到LCA的距离。

4.将上述两个距离相加，得到u和v之间的距离。

距离修改

距离修改操作用于修改两个节点之间的距离。具体来说，给定两个节点u和v以及一个距离值d，距离修改将u和v之间的距离修改为d。

距离修改算法：

1.找到节点u和v的最近公共祖先(LCA)。

2.从u出发，沿路径向上遍历到LCA，将每个节点到u的距离减少d/2。

3.从v出发，沿路径向上遍历到LCA，将每个节点到v的距离增加d/2。

距离修改的应用

距离修改操作在优化算法和解决实际问题中有着广泛的应用，例如：

*最短路径查询：在有向或无向图中，我们可以使用块状树来动态维护边权重，并通过距离修改操作快速更新边权重，从而高效地查询最短路径。

*最近公共祖先查询：在树形结构中，我们可以使用块状树来快速查询两个节点的最近公共祖先，并通过距离修改操作改变节点的祖先关系，从而解决诸如最近公共祖先查询、LCA替换等问题。

*动态连通性维护：在并查集或连通分量算法中，我们可以使用块状树来高效地合并和拆分连通分量，并通过距离修改操作更新连通分量信息，从而维护动态的连通性信息。

*后缀自动机优化：在后缀自动机中，我们可以使用块状树来优化后缀链的合并和分裂操作，并通过距离修改操作更新后缀链信息，从而提高后缀自动机的性能。

块状树高级查询操作：距离查询与修改

块状树的高级查询操作不仅限于距离查询和修改，还包括以下内容：

子树信息查询：查询一个节点的子树中满足某一条件的节点数量或其他信息。

路径信息查询：查询两点之间的路径上满足某一条件的节点数量或其他信息。

子树信息修改：修改一个节点的子树中所有满足某一条件的节点的信息。

路径信息修改：修改两点之间的路径上所有满足某一条件的节点的信息。

这些高级查询操作可以进一步扩展块状树的应用范围，使其适用于更广泛的算法和问题解决。第五部分k级祖先查询k级祖先查询

在块状树数据结构中，k级祖先查询操作检索给定节点的k级祖先。此操作在解决各种图论问题中至关重要，例如最短路径查询、最近公共祖先查找和树形动态规划。

算法概述

k级祖先查询算法使用以下分层结构对块状树进行预处理：

*深度指针：对于每个节点v，维护一个指向其深度为\(2^i\)最近祖先的指针\(p_i(v)\)。

预处理复杂度：O(nlogn)

查询算法

给定节点v和祖先级别k，查询算法通过以下步骤检索k级祖先：

2.回溯：从深度\(2^k\)的祖先沿着深度指针回溯k步，以得到k级祖先。

查询复杂度：O(logn)

证明

预处理阶段的时间复杂度为O(nlogn)，因为对于每个节点v，需要计算logn个深度指针和跳跃表中的n个条目。

查询操作需要执行k次跳跃，其中每次跳跃最多需要logn时间，以及k次回溯，其中每次回溯需要O(1)时间。因此，查询操作的总时间复杂度为O(klogn)=O(logn)，因为k通常是一个较小的常数。

应用场景

k级祖先查询在以下问题中有着广泛的应用：

*最短路径查询：在带权树中，可以通过查询两个节点的最近公共祖先及其k级祖先来计算两个节点之间的最短路径。

*最近公共祖先查找：对于两个节点v和w，可以通过查询它们的k级祖先找到它们的最近公共祖先。

*树形动态规划：在树形动态规划中，k级祖先查询可用于高效地计算子树中的值或解决其他动态规划问题。

扩展

k级祖先查询可以进一步扩展到以下操作：

*任意祖先查询：检索给定节点的任意祖先。

*区间祖先查询：检索给定区间内的所有祖先。

*历史祖先查询：检索给定节点在特定时间点的祖先。

这些扩展操作需要对块状树数据结构进行额外的预处理和维护，但可以进一步提高查询效率和解决复杂问题时的实用性。第六部分lca查询与修改关键词关键要点【LCA查询】

1.LCA（最低公共祖先）查询是一种在块状树中查找两个节点的最低公共祖先的查询操作。

2.LCA查询通常通过自下而上遍历块状树，依次合并父块的LCA，最终得到目标节点的LCA。

3.LCA查询的时间复杂度通常为O(logn)，其中n为树的节点数。

【LCA修改】

LCA查询与修改

在块状树数据结构中，LCA（最近公共祖先）查询操作用于查找给定两个顶点之间的最近公共祖先。

#查询操作

时间复杂度：O(nlogn)

操作步骤：

1.初始化两个顶点所属块的指针`i`和`j`。

2.比较两个块的位置。如果`i`和`j`相同，则答案位于该块内。使用`find_lca`函数在块内进行查询。

3.否则，将较深块的指针移至其父块。

4.继续比较块的位置，直至`i`和`j`相同或达到根块。

5.如果`i`和`j`相同，则答案位于该块内。使用`find_lca`函数在块内进行查询。

6.否则，答案是`i`或`j`的父块的LCA。

#修改操作

在块状树中修改一个顶点的祖先时，需要更新块内的LCA信息。

时间复杂度：O(nlogn)

操作步骤：

1.找到顶点`u`所属的块`i`。

2.使用`find_lca`函数在块内找到顶点`u`的LCA`p`。

3.更新块内`u`的父指针为`q`。

4.从`p`到`q`的路径上更新所有块内的LCA信息。这包括更新`find_lca`函数中的祖先指针和`dfs`函数中子树LCA信息。

5.对于路径上经过的每个块`j`，执行以下步骤：

-使用`find_lca`函数在块`j`内找到`u`的LCA`new_p`。

-更新块`j`内所有顶点的祖先指针。其中，原先指向`p`的指针现在指向`new_p`。

#细节实现

`find_lca`函数：

此函数在给定块内查找两个顶点之间的LCA。

时间复杂度：O(logn)

`dfs`函数：

此函数用于预处理块状树并计算每个块内的LCA信息。

时间复杂度：O(nlogn)

#应用场景

LCA查询与修改操作在以下场景中非常有用：

-回答树状结构中的距离查询。

-动态维护树状结构中的LCA。

-进行基于辈分的修改操作，例如将顶点移动到祖先节点下。第七部分深度查询与修改关键词关键要点主题名称：深度查询

1.通过指定深度范围或限制祖先节点，从给定节点出发在块状树中查询指定深度范围内的子树信息。

2.利用预处理技术，例如深度数组或LCA跳表，快速高效地获得子树深度信息。

3.适用于统计子树节点数量、查找指定深度处的节点或路径等查询场景。

主题名称：修改深度

深度查询与修改

深度查询与修改是块状树高级查询操作中的重要功能，它允许对树中节点及其子树进行高效的查询和修改。

深度查询

深度查询是指在给定节点及其深度范围内的所有节点中执行特定查询的操作。具体实现方式取决于查询的性质，这里介绍两种常见的深度查询：

*子树查询：查询给定节点及其所有子节点中的信息（通常是值或属性的和）。例如，查询节点`u`及其子树中所有节点的权重和。

*路径查询：查询从给定节点到其祖先节点的路径上的信息（通常是路径上的权重和或其他属性）。例如，查询节点`u`到其根节点的路径上的边权重和。

深度修改

深度修改是指在给定节点及其深度范围内的所有节点上执行特定修改的操作。常见的深度修改包括：

*子树修改：修改给定节点及其所有子节点的值或属性（通常是增量或赋值）。例如，将节点`u`及其子树中所有节点的权重增加1。

*路径修改：修改从给定节点到其祖先节点的路径上的边权重或其他属性。例如，将节点`u`到其根节点的路径上所有边的权重增加1。

实现

深度查询和修改操作通过在块状树上进行动态规划来实现。主要思路是预处理出每个节点在不同深度范围内的信息，并使用这些预处理信息快速回答查询或执行修改。

预处理

对于深度查询，预处理信息通常包括：

*给定节点在不同深度范围内子树的信息（例如，权重和或其他属性的和）

*给定节点到其祖先节点的路径信息（例如，路径上的权重和或其他属性）

对于深度修改，预处理信息通常包括：

*给定节点及其子节点的值或属性的增量

*给定节点到其祖先节点的路径上边权重的增量

查询与修改

有了预处理信息，深度查询和修改操作可以高效执行：

*深度查询：使用预处理的信息直接计算给定节点及其深度范围内的信息，无需遍历树。

*深度修改：使用预处理的信息直接修改给定节点及其深度范围内的值或属性，无需遍历树。

时间复杂度

深度查询和修改操作的时间复杂度通常为O(logN)，其中N是树中节点的数量。预处理的时间复杂度也为O(NlogN)。

应用

深度查询和修改操作在许多算法和应用中都有应用，包括：

*树形动态规划

*子树查询和修改

*路径查询和修改

*范围查询和修改

*离线算法

总之，深度查询与修改是块状树高级查询操作中强大的工具，它们通过动态规划技术实现了对树中节点及其子树的高效查询和修改。第八部分路径查询与修改关键词关键要点【路径统计】

1.介绍路径统计的目的和意义，如统计路径上指定节点的出现次数、权值之和或其他信息。

2.详细描述常用的路径统计算法，如线段树、树状数组、区间修改点查询树状数组，阐明其原理、时间复杂度和适用范围。

3.结合实例，展示如何利用路径统计求解常见问题，如计算树中指定路径节点的总权值、统计指定端点之间的最长路径长度等。

【路径修改】

路径查询与修改：块状树高级查询操作

路径查询

在块状树中，路径查询指查询树中两个节点之间的路径上的所有节点。利用块状树的块分解特性，可以高效地进行路径查询。

具体来说，设要查询节点u到v的路径，可将其分解为两段：从u到其所在块的块底，以及从v到其所在块的块顶。这两段路径可以在O(1)时间内获取。

对于位于同一块内的u和v，直接遍历即可得到路径。

对于跨越多个块的u和v，则需依次遍历u和v所在块的边界的两个块，直至达到公共祖先块。

路径查询算法：

1.初始化路径结果path为空列表。

2.设当前查询块为u所在块B。

3.遍历B的块底到u的路径，将其添加到path。

4.更新B为v所在块。

5.重复步骤3-4，直至B为u和v的公共祖先块。

6.遍历公共祖先块的块顶到v的路径，将其添加到path。

7.返回path。

路径修改

路径修改指修改树中两个节点之间的路径上的某几个节点的值。由于块状树将路径分解为多个块，因此路径修改可以分为块内修改和跨块修改。

块内修改：

如果要修改的节点位于同一块内，则直接修改即可。时间复杂度为O(1)。

跨块修改：

如果要修改的节点跨越多个块，则需要分块修改。具体步骤为：

1.确定要修改节点所在的块集合。

2.依次遍历这些块，修改块中的相应节点。

3.更新块信息，确保修改后块信息仍然满足块状树的特性。

路径修改算法：

1.确定要修改的路径[u,v]。

2.初始化已修改块集合M为空集合。

3.设当前块为u所在块B。

4.遍历B中的节点，修改满足条件的节点。

5.将B添加到M中。

6.更新B为v所在块。

7.重复步骤4-6，直至B为u和v的公共祖先块。

8.遍历公共祖先块中的节点，修改满足条件的节点。

9.将公共祖先块添加到M中。

10.遍历M中的每个块，更新块信息。

11.返回修改后的路径[u,v]。

路径查询与修改的应用

*最短路径查询：利用块状树，可以高效地查询树中两节点间的最短路径。

*子树信息查询：块状树可以查询某节点为根的子树中满足特定条件的节点数量。

*路径修改：可以修改树中某条路径上的节点权值，用于解决路径加权、路径取值区间等问题。

*动态树问题：块状树可以处理动态树问题，即树结构不断变化，但需要高效查询和修改。关键词关键要点子树查询与修改

关键要点：

1.子树查询：

-在给定树中，查询指定子树中的指定信息，例如子树大小、子树深度、子树中特定元素的出现次数等。

-常用算法：子树和、树上差分、点分治等。

2.子树修改：

-在给定树中，修改指定子树中的指定信息，例如更新子树权值、子树范围内的元素值等。

-常用算法：树状数组、权值线段树、并查集等。

主题名称：动态子树查询

关键要点：

1.离线查询：预处理树结构，使用数据结构存储查询信息，一次性处理所有查询。

2.在线查询：在每次查询时动态修改树结构，并在修改后立即处理查询。

3.查询时空复杂度优化：利用数据结构优化查询算法，降低查询时间复杂度。

主题名称：子树修改与维护

关键要点：

1.延时修改：先记录修改操作，不立即执行修改，在后续查询或维护时统一更新。

2.惰性传播：当修改影响子节点时，将修改操作向下传播，避免重复修改。

3.区间赋值和区间修改：支持对子树区间进行统一赋值或修改，提高效率。

其他相关主题：

*子树动态规划：利用子树结构进行动态规划，解决与子树相关的复杂问题。

*子树树形图：将子树表示为树形图，使用图论算法解决子树查询和修改问题。

*树链剖分：利用树剖算法预处理树结构，优化子树查询和修改的效率。关键词关键要点主题名称：距离查询

关键要点：

1.查找树中两个节点之间的距离：利用块状树的层次结构和路径压缩技术，可以在O(log^2(n))时间内完成距离查询。

2.优化查询性能：通过维护块状树的子树信息，例如子树大小和子树重心，可以进一步优化距离查询，将其复杂度降至O(log(n))。

3.应用场景：在需要频繁计算树中节点距离的场景中，例如网络路由、社